Контрольная работа по «Вычислительная математика»

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 05 Января 2014 в 15:11, контрольная работа

Краткое описание

а) Система двух Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) с двумя неизвестными задана своей расширенной матрицей. Решите СЛАУ методом Зейделя с точностью до 0,001. Поменяйте порядок следования уравнений в СЛАУ и решите полученную таким образом СЛАУ тем же методом Зейделя. Постройте графики уравнений СЛАУ в обоих случаях и покажите на них первые три-четыре итерации.

Прикрепленные файлы: 1 файл

Vychislitelnaya_matematika (1).doc

— 409.00 Кб (Скачать документ)

Министерство образования  и науки Российской Федерации

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования

«Волгоградский государственный  технический университет»

Факультет  электроники  и вычислительной техники

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по дисциплине «вычислительная математика»

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студент Роспономарев М.Г. 

группы  АУЗ – 263с    

Шифр 20101664     

Проверил: Бочкин А.М.   

 

 

 

 

Волгоград 2012 
Содержание

 

 

 

 

Задание 1

а) Система двух Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) с двумя неизвестными задана своей расширенной матрицей. Решите СЛАУ методом Зейделя с точностью до 0,001. Поменяйте порядок следования уравнений в СЛАУ и решите полученную таким образом СЛАУ тем же методом Зейделя. Постройте графики уравнений СЛАУ в обоих случаях и покажите на них первые три-четыре итерации.

Решение

Метод Зейделя представляет собой модификацию метода простой  итераций.

Имеем СЛАУ

Ax =b                                                   (1)

Предполагая, что aii ≠ 0 разрешим новое уравнение системы (1) относительно x1, второе – относительно x2,…, n-ое уравнение – относительно xn. В результате получим:

x11 - α12x2 - α13x3 - ... - α1nxn

x22 - α21x1 - α23x3 - ... - α2nxn

xnn - αn1xn - αn3x3 - ... - αnn-1xn-1

где βi=bi/aii; αij=aij/aii при i ≠ j; αii=0

Известно начальное  приближение: x0=(x01, x02, ..., x0n).

Основная идея заключается  в том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестной xi учитываются уже вычисленные ранее (k+1) - приближение неизвестных x1, x2, ..., xn.

Итерационная схема  имеет вид:

xk+111 - ∑α1jxkj

xk+122 - α21xk+11 - ∑α2jxkj

xk+1ii - ∑αijxk+11 - ∑α2jxkj

Рассмотрим один из способов преобразования системы: Ax=b,   (1), позволяющий всегда получать сходящийся процесс Зейделя. Помножим (1) слева на AT: ATAx=ATb или Cx=d,     (2).

где C=ATA; d=ATb.

Систему (2) принято называть нормальной (Такая система получается при использовании МНК).

Нормальная система обладает рядом замечательных свойств:

1) матрица С – симметрическая;

2) все элементы главной  диагонали cij > 0;

3) матрица С - положительно  определена.

Умножаем матрицы ATA.

Умножаем матрицы ATb.

Приведем к виду:

x1=0.25-0.45x2

x2=-0.0769-1.38x1

Рис. 1. графики уравнений СЛАУ

 

Покажем вычисления на примере  нескольких итераций.

N=1

x1=0.25 - 0 • (-0.45) - 0 • 0=0.25

x2=-0.0769 - 0.25 • (-1.38) - 0 • 0=0.27

x3=0 - 0.25 • 0 - 0.27 • 0=0

N=2

x1=0.25 - 0.27 • (-0.45) - 0 • 0=0.37

x2=-0.0769 - 0.37 • (-1.38) - 0 • 0=0.44

x3=0 - 0.37 • 0 - 0.44 • 0=0

N=3

x1=0.25 - 0.44 • (-0.45) - 0 • 0=0.45

x2=-0.0769 - 0.45 • (-1.38) - 0 • 0=0.54

x3=0 - 0.45 • 0 - 0.54 • 0=0

Остальные расчеты сведем в таблицу.

 

N

x1

x2

e1

e2

0

0

0

 

 

 

 

1

0.25

0.27

0.25

0.27

2

0.37

0.44

0.12

0.17

3

0.45

0.54

0.0755

0.1

4

0.49

0.61

0.047

0.0651

5

0.52

0.65

0.0293

0.0406

6

0.54

0.67

0.0183

0.0253

7

0.55

0.69

0.0114

0.0158

8

0.56

0.7

0.00709

0.00982

9

0.56

0.7

0.00442

0.00612

10

0.57

0.71

0.00275

0.00381

11

0.57

0.71

0.00171

0.00237

12

0.57

0.71

0.00107

0.00148

13

0.57

0.71

0.000666

0.000922


 

б) Система четырех Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) с четырьмя неизвестными задана своей расширенной матрицей. Решите СЛАУ методом Зейделя с точностью до 0,001.

Решение

Метод Зейделя представляет собой модификацию метода простой итераций.

Имеем СЛАУ

A x =b                                                   (1)

Предполагая, что aii ≠ 0 разрешим новое уравнение системы (1) относительно x1, второе – относительно x2,…, n-ое уравнение – относительно xn. В результате получим:

x11 - α12x2 - α13x3 - ... - α1nxn

x22 - α21x1 - α23x3 - ... - α2nxn

xnn - αn1xn - αn3x3 - ... - αnn-1xn-1

где βi=bi/aii; αij=aij/aii при i ≠ j; αii=0

Известно начальное приближение: x0=(x01, x02, ..., x0n).

Основная идея заключается в  том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестной xi учитываются уже вычисленные ранее (k+1) - приближение неизвестных x1, x2, ..., xn.

Итерационная схема имеет вид:

xk+111 - ∑α1jxkj

xk+122 - α21xk+11 - ∑α2jxkj

xk+1ii - ∑αijxk+11 - ∑α2jxkj

Рассмотрим один из способов преобразования системы: Ax=b,   (1), позволяющий всегда получать сходящийся процесс Зейделя. Помножим (1) слева на AT: ATAx=ATb или Cx=d,     (2).

где C=ATA; d=ATb.

Систему (2) принято называть нормальной (Такая система получается при  использовании МНК).

Нормальная система обладает рядом  замечательных свойств:

1) матрица С – симметрическая;

2) все элементы главной диагонали  cij > 0;

3) матрица С - положительно определена.

Умножаем матрицы ATA.

 

Умножаем матрицы ATb.

 

Приведем к виду:

x1=0.93+0.6x2+0.74x3+0.69x4

x2=0.73+0.45x1+0.51x3-0.0727x4

x3=0.53+0.66x1+0.6x2+0.36x4

x4=-0.18+0.74x1-0.1x2+0.44x3

Покажем вычисления на примере нескольких итераций.

N=1

x1=0.93 - 0 • 0.6 - 0 • 0.74 - 0 • 0.69=0.93

x2=0.73 - 0.93 • 0.45 - 0 • 0.51 - 0 • (-0.0727)=0.31

x3=0.53 - 0.93 • 0.66 - 0.31 • 0.6 - 0 • 0.36=-0.26

x4=-0.18 - 0.93 • 0.74 - 0.31 • (-0.1) - (-0.26) • 0.44=-0.72

N=2

x1=0.93 - 0.31 • 0.6 - (-0.26) • 0.74 - (-0.72) • 0.69=1.44

x2=0.73 - 1.44 • 0.45 - (-0.26) • 0.51 - (-0.72) • (-0.0727)=0.15

x3=0.53 - 1.44 • 0.66 - 0.15 • 0.6 - (-0.72) • 0.36=-0.25

x4=-0.18 - 1.44 • 0.74 - 0.15 • (-0.1) - (-0.25) • 0.44=-1.13

N=3

x1=0.93 - 0.15 • 0.6 - (-0.25) • 0.74 - (-1.13) • 0.69=1.8

x2=0.73 - 1.8 • 0.45 - (-0.25) • 0.51 - (-1.13) • (-0.0727)=-0.046

x3=0.53 - 1.8 • 0.66 - (-0.046) • 0.6 - (-1.13) • 0.36=-0.22

x4=-0.18 - 1.8 • 0.74 - (-0.046) • (-0.1) - (-0.22) • 0.44=-1.43

Остальные расчеты сведем в таблицу.

 

N

x1

x2

x3

x4

e1

e2

e3

e4

0

0

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0.93

0.31

-0.26

-0.72

0.93

0.31

0.26

0.72

2

1.44

0.15

-0.25

-1.13

0.51

-0.15

-0.0147

0.4

3

1.8

-0.046

-0.22

-1.43

0.36

-0.11

-0.0285

0.3

4

2.1

-0.22

-0.21

-1.67

0.3

0.17

-0.0115

0.25

5

2.37

-0.37

-0.21

-1.89

0.27

0.15

-0.000441

0.21

6

2.6

-0.49

-0.21

-2.07

0.23

0.12

0.00419

0.18

7

2.81

-0.59

-0.22

-2.23

0.2

0.1

0.00551

0.16

8

2.98

-0.68

-0.22

-2.37

0.18

0.0887

0.00548

0.14

9

3.13

-0.76

-0.23

-2.49

0.15

0.0762

0.00499

0.12

10

3.26

-0.82

-0.23

-2.59

0.13

0.0655

0.00439

0.1

11

3.38

-0.88

-0.24

-2.68

0.11

0.0564

0.00382

0.0879

12

3.47

-0.93

-0.24

-2.75

0.0971

0.0486

0.0033

0.0758

13

3.56

-0.97

-0.24

-2.82

0.0837

0.0419

0.00285

0.0653

14

3.63

-1

-0.24

-2.88

0.0721

0.0361

0.00245

0.0562

15

3.69

-1.04

-0.25

-2.92

0.0621

0.0311

0.00211

0.0485

16

3.75

-1.06

-0.25

-2.97

0.0535

0.0268

0.00182

0.0417

17

3.79

-1.09

-0.25

-3

0.0461

0.0231

0.00157

0.036

18

3.83

-1.11

-0.25

-3.03

0.0397

0.0199

0.00135

0.031


 

Задание 2

Отделить корни уравнения f(x), используя графико-аналитический метод. Найти корни уравнения с заданной точностью методом бисекций, Ньютона или простых интерций. Выполнить проверку правильности найденных решений, вычислив невязки.

Решение

Строим график функции 

x

y

-15

-3563

-14

-2920

-13

-2361

-12

-1880

-11

-1471

-10

-1128

-9

-845

-8

-616

-7

-435

-6

-296

-5

-193

-4

-120

-3

-71

-2

-40

-1

-21

0

-8

1

5

2

24

3

55

4

104

5

177

6

280

7

419

8

600

9

829

10

1112

11

1455

12

1864

13

2345

14

2904

15

3547


 

Информация о работе Контрольная работа по «Вычислительная математика»