Контрольная работа по «Вычислительная математика»

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 05 Января 2014 в 15:11, контрольная работа

Краткое описание

а) Система двух Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) с двумя неизвестными задана своей расширенной матрицей. Решите СЛАУ методом Зейделя с точностью до 0,001. Поменяйте порядок следования уравнений в СЛАУ и решите полученную таким образом СЛАУ тем же методом Зейделя. Постройте графики уравнений СЛАУ в обоих случаях и покажите на них первые три-четыре итерации.

Прикрепленные файлы: 1 файл

Vychislitelnaya_matematika (1).doc

— 409.00 Кб (Скачать документ)

Рис. 1. График функции

 

Анализируя полученное изображение графика, можно сказать, что уравнение имеет один корень – это видно из пересечения графика функции с осью OX. Можно выбрать отрезок, содержащий данный корень: [0,5;1] – отрезок изоляции.

Для подтверждения полученных данных, можно решить эту же задачу вторым способом. Для этого необходимо уравнение  преобразовать к виду: . Затем следует каждую часть уравнения рассмотреть как отдельную функцию. Т. е.

x

y1

y2

-15

-3375

188

-14

-2744

176

-13

-2197

164

-12

-1728

152

-11

-1331

140

-10

-1000

128

-9

-729

116

-8

-512

104

-7

-343

92

-6

-216

80

-5

-125

68

-4

-64

56

-3

-27

44

-2

-8

32

-1

-1

20

0

0

8

1

1

-4

2

8

-16

3

27

-28

4

64

-40

5

125

-52

6

216

-64

7

343

-76

8

512

-88

9

729

-100

10

1000

-112

11

1331

-124

12

1728

-136

13

2197

-148

14

2744

-160

15

3375

-172


 

Рис. 2. Наложение искомых  функций

 

Анализируя полученный результат, можно сказать, что точка  пересечения двух графиков попадает на тот же самый отрезок изоляции [0,5;1], что и при решении задачи первым способом.

Сделаем крупнее масштаб.

Рис. 3. Увеличенный масштаб

 

При увеличенном масштабе, корень уравнения х=0,644.

Метод бисекции (метод  половинного деления). Пусть мы отделили корень на отрезке . Разделим отрезок пополам точкой . Если , то возможны два случая: либо меняет знак на отрезке , либо на отрезке . Выбираем в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и продолжаем процесс деления до тех пор, пока , где - точность.

Таким, образом х=0,644

Строим график функции 

x

y

-15

-0,99118

-14

-0,98438

-13

-0,97253

-12

-0,95215

-11

-0,91748

-10

-0,85938

-9

-0,76367

-8

-0,60938

-7

-0,36719

-6

0

-5

0,53125

-4

1,25

-3

2,125

-2

3

-1

3,5

0

3

1

1

2

-1

3

7

4

63

5

287

6

1023

7

3199

8

9215

9

25087

10

65535

11

165887

12

409599

13

991231

14

2359295

15

5537791


 

Рис. 1. График функции

 

Анализируя полученное изображение графика, можно сказать, что уравнение имеет три кореня – это видно из пересечения графика функции с осью OX. Можно выбрать несколько отрезков, содержащий данный корень: [-17,5;-16,5], [-6,5;-5,5], [1,5;2,5] – отрезки изоляции.

Для подтверждения полученных данных, можно решить эту же задачу вторым способом. Для этого необходимо уравнение преобразовать к виду: . Затем следует каждую часть уравнения рассмотреть как отдельную функцию. Т. е.

x

y1

y2

-15

3,05176E-05

0,00346

-14

6,10352E-05

0,003906

-13

0,00012207

0,004444

-12

0,000244141

0,005102

-11

0,000488281

0,005917

-10

0,000976563

0,006944

-9

0,001953125

0,008264

-8

0,00390625

0,01

-7

0,0078125

0,012346

-6

0,015625

0,015625

-5

0,03125

0,020408

-4

0,0625

0,027778

-3

0,125

0,04

-2

0,25

0,0625

-1

0,5

0,111111

0

1

0,25

1

2

1

2

4

 

3

8

1

4

16

0,25

5

32

0,111111

6

64

0,0625

7

128

0,04

8

256

0,027778

9

512

0,020408

10

1024

0,015625

11

2048

0,012346

12

4096

0,01

13

8192

0,008264

14

16384

0,006944

15

32768

0,005917


 

Рис. 2. Наложение искомых  функций

 

Анализируя полученный результат, можно сказать, что точки пересечения двух графиков попадает на те же самые отрезки изоляции [-17,5;-16,5], [-6,5;-5,5], [1,5;2,5] – отрезки изоляции, что и при решении задачи первым способом.

Сделаем крупнее масштаб.

Рис. 3. Увеличенный масштаб

 

При увеличенном масштабе, корень уравнения х=0,644.

Метод бисекции (метод  половинного деления). Пусть мы отделили корень на отрезке . Разделим отрезок пополам точкой . Если , то возможны два случая: либо меняет знак на отрезке , либо на отрезке . Выбираем в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и продолжаем процесс деления до тех пор, пока , где - точность.

Таким, образом х=-6

 

Задание 3

а) Используя обобщенные формулы трапеций и Симпсона вычислить определенные интегралы с заданной точностью. Проверку достижения требуемой точности проводить по правилу Рунге.

Решение

Сначала отрезок интегрирования разбивается на несколько больших отрезков, как правило, на 4-5-6. Разобьем отрезок интегрирования, например, на те же 5 частей.

И шаг, естественно, тоже известен:

В данном случае необходимая  точность 0,01. Согласно рекомендации, после  запятой для верности оставим  пять знаков (можно было и четыре):

i

0

1

2

3

4

5

xi

4

5

6

7

8

9

f(xi)

2

1.809

1.689

1.607

1.546

1.5


 

В результате:

После первичного результата количество отрезков удваивают. В данном случае необходимо провести разбиение  на 10 отрезков.

Для  n= 10 формула трапеций приобретает следующий вид:

Вычислим шаг разбиения:

Результаты расчётов сведём в таблицу:

i

0

1

2

3

4

5

xi

4

4.5

5

5.5

6

6.5

f(xi)

2

1.891

1.809

1.743

1.689

1.645

i

6

7

8

9

10

 

xi

7

7.5

8

8.5

9

 

f(xi)

1.607

1.575

1.546

1.522

1.5

 

 

В результате:

Теперь рассчитаем, на сколько улучшился результат:

Полученная оценка погрешности меньше,  чем требуемая точность.

Ответ:

 

б) Используя обобщенную формулу Симпсона составить таблицу значений функции, заданной в виде интеграла с переменным верхним пределом.

Решение

Если функция у = f(x) интегрируема на отрезке , то функция Ф(х) непрерывна на этом отрезке.

Если подынтегральная  функция непрерывна, то производная  определенного интеграла с переменным верхним пределом существует и равна  значению подынтегральной функции  для этого предела. т.е.

Сначала отрезок интегрирования разбивается на 8 отрезков. Разобьем отрезок интегрирования, например, на те же 8 частей.

И шаг, естественно, тоже известен:

В данном случае необходимая  точность 0,01. Согласно рекомендации, после  запятой для верности оставим  пять знаков (можно было и четыре):

i

0

1

2

3

4

5

6

7

8

xi

0

f(xi)

                 

Информация о работе Контрольная работа по «Вычислительная математика»