Контрольная работа по "Вычислительной математике"

Рис. 1. График функции

 

Анализируя полученное изображение графика, можно сказать, что уравнение имеет один корень – это видно из пересечения графика функции с осью OX. Можно выбрать отрезок, содержащий данный корень: [0,5;1] – отрезок изоляции.

Для подтверждения полученных данных, можно решить эту же задачу вторым способом. Для этого необходимо уравнение  преобразовать к виду: . Затем следует каждую часть уравнения рассмотреть как отдельную функцию. Т. е.

x	y1	y2
-15	-3375	188
-14	-2744	176
-13	-2197	164
-12	-1728	152
-11	-1331	140
-10	-1000	128
-9	-729	116
-8	-512	104
-7	-343	92
-6	-216	80
-5	-125	68
-4	-64	56
-3	-27	44
-2	-8	32
-1	-1	20
0	0	8
1	1	-4
2	8	-16
3	27	-28
4	64	-40
5	125	-52
6	216	-64
7	343	-76
8	512	-88
9	729	-100
10	1000	-112
11	1331	-124
12	1728	-136
13	2197	-148
14	2744	-160
15	3375	-172

 

Рис. 2. Наложение искомых  функций

 

Анализируя полученный результат, можно сказать, что точка  пересечения двух графиков попадает на тот же самый отрезок изоляции [0,5;1], что и при решении задачи первым способом.

Сделаем крупнее масштаб.

Рис. 3. Увеличенный масштаб

 

При увеличенном масштабе, корень уравнения х=0,644.

Метод бисекции (метод  половинного деления). Пусть мы отделили корень на отрезке . Разделим отрезок пополам точкой . Если , то возможны два случая: либо меняет знак на отрезке , либо на отрезке . Выбираем в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и продолжаем процесс деления до тех пор, пока , где - точность.

Таким, образом х=0,644

Строим график функции 

x	y
-15	-0,99118
-14	-0,98438
-13	-0,97253
-12	-0,95215
-11	-0,91748
-10	-0,85938
-9	-0,76367
-8	-0,60938
-7	-0,36719
-6	0
-5	0,53125
-4	1,25
-3	2,125
-2	3
-1	3,5
0	3
1	1
2	-1
3	7
4	63
5	287
6	1023
7	3199
8	9215
9	25087
10	65535
11	165887
12	409599
13	991231
14	2359295
15	5537791

 

Рис. 1. График функции

 

Анализируя полученное изображение графика, можно сказать, что уравнение имеет три кореня – это видно из пересечения графика функции с осью OX. Можно выбрать несколько отрезков, содержащий данный корень: [-17,5;-16,5], [-6,5;-5,5], [1,5;2,5] – отрезки изоляции.

Для подтверждения полученных данных, можно решить эту же задачу вторым способом. Для этого необходимо уравнение преобразовать к виду: . Затем следует каждую часть уравнения рассмотреть как отдельную функцию. Т. е.

x	y1	y2
-15	3,05176E-05	0,00346
-14	6,10352E-05	0,003906
-13	0,00012207	0,004444
-12	0,000244141	0,005102
-11	0,000488281	0,005917
-10	0,000976563	0,006944
-9	0,001953125	0,008264
-8	0,00390625	0,01
-7	0,0078125	0,012346
-6	0,015625	0,015625
-5	0,03125	0,020408
-4	0,0625	0,027778
-3	0,125	0,04
-2	0,25	0,0625
-1	0,5	0,111111
0	1	0,25
1	2	1
2	4
3	8	1
4	16	0,25
5	32	0,111111
6	64	0,0625
7	128	0,04
8	256	0,027778
9	512	0,020408
10	1024	0,015625
11	2048	0,012346
12	4096	0,01
13	8192	0,008264
14	16384	0,006944
15	32768	0,005917

 

Рис. 2. Наложение искомых  функций

 

Анализируя полученный результат, можно сказать, что точки пересечения двух графиков попадает на те же самые отрезки изоляции [-17,5;-16,5], [-6,5;-5,5], [1,5;2,5] – отрезки изоляции, что и при решении задачи первым способом.

Сделаем крупнее масштаб.

Рис. 3. Увеличенный масштаб

 

При увеличенном масштабе, корень уравнения х=0,644.

Метод бисекции (метод  половинного деления). Пусть мы отделили корень на отрезке . Разделим отрезок пополам точкой . Если , то возможны два случая: либо меняет знак на отрезке , либо на отрезке . Выбираем в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и продолжаем процесс деления до тех пор, пока , где - точность.

Таким, образом х=-6

 

Задание 3

а) Используя обобщенные формулы трапеций и Симпсона вычислить определенные интегралы с заданной точностью. Проверку достижения требуемой точности проводить по правилу Рунге.

Решение

Сначала отрезок интегрирования разбивается на несколько больших отрезков, как правило, на 4-5-6. Разобьем отрезок интегрирования, например, на те же 5 частей.

И шаг, естественно, тоже известен:

В данном случае необходимая  точность 0,01. Согласно рекомендации, после  запятой для верности оставим  пять знаков (можно было и четыре):

i	0	1	2	3	4	5
xi	4	5	6	7	8	9
f(xi)	2	1.809	1.689	1.607	1.546	1.5

 

В результате:

После первичного результата количество отрезков удваивают. В данном случае необходимо провести разбиение  на 10 отрезков.

Для  n= 10 формула трапеций приобретает следующий вид:

Вычислим шаг разбиения:

Результаты расчётов сведём в таблицу:

i	0	1	2	3	4	5
xi	4	4.5	5	5.5	6	6.5
f(xi)	2	1.891	1.809	1.743	1.689	1.645
i	6	7	8	9	10
xi	7	7.5	8	8.5	9
f(xi)	1.607	1.575	1.546	1.522	1.5

 

В результате:

Теперь рассчитаем, на сколько улучшился результат:

Полученная оценка погрешности меньше,  чем требуемая точность.

Ответ:

 

б) Используя обобщенную формулу Симпсона составить таблицу значений функции, заданной в виде интеграла с переменным верхним пределом.

Решение

Если функция у = f(x) интегрируема на отрезке , то функция Ф(х) непрерывна на этом отрезке.

Если подынтегральная  функция непрерывна, то производная  определенного интеграла с переменным верхним пределом существует и равна  значению подынтегральной функции  для этого предела. т.е.

Сначала отрезок интегрирования разбивается на 8 отрезков. Разобьем отрезок интегрирования, например, на те же 8 частей.

И шаг, естественно, тоже известен:

В данном случае необходимая  точность 0,01. Согласно рекомендации, после  запятой для верности оставим  пять знаков (можно было и четыре):

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8
xi	0
f(xi)