Контрольная работа по "Методам оптимальных решений"

Контрольное задание по дисциплине «Методы оптимальных решений».

 

1. Что такое инструментальные переменные и параметры математической модели? В чем состоит их отличие?

 

Пусть имеются факторы Z, некоррелированые со случайными ошибками, количество которых равно количеству исходных факторов. Эти переменные называются инструментальными переменными.

Параметр модели — относительно постоянный показатель, характеризующий моделируемую систему (элемент системы) или процесс.

 

2. Что такое допустимое множество?

 

Допустимое множество – это множество допустимых значений переменных задачи линейного программирования.

ДОПУСТИМОЕ МНОЖЕСТВО

(feasible set) Множество вариантов распределения  ресурсов, которое удовлетворяет  всем введенным в экономическую  модель ограничениям. Для потребителя, например, допустимым множеством являются все планируемых расходы, не выходящие за рамки его бюджетных ограничений.

Д.М.- множество допустимых векторов в задачах программирования математического. Д.м. может быть ограниченным либо неограниченным, открытыми  либо замкнутыми,выпуклым либо невыпуклым.От перечисленных свосйств д.м. зависит существование,единственность и характеристически свойства экстремума.

 

3. Что такое критерий оптимизации и целевая функция?

 

Критерий оптимальности (критерий оптимизации) — характерный показатель решения задачи, по значению которого оценивается оптимальность найденного решения, то есть максимальное удовлетворение поставленным требованиям. В одной задаче может быть установлено несколько критериев оптимальности.

Целевая функция – это математическое представление зависимости критерия оптимальности от искомых переменных

 

4. Что такое линии уровня целевой функции?

 

 Линией уровня функции называется множество точек из ее области определения, в которых функция принимает одно и то же фиксированное значение.

Линия уровня ЦФ строится перпендикулярно радиус-вектору  (градиента целевой функции).

 

5. Дайте формулировку детерминированной статической задачи оптимизации.

 

 В самом общем случае детерминированная задача состоит в нахождении максимума или минимума целевой функции

                                            (1) 
при условии, что переменные удовлетворяют соотношениям 
(2) 
,                                       (3) 
где q и gi – некоторые известные функции n переменных;

bi - заданные числа.

Если все параметры модели не меняются во времени, она называется статической.

 

6. Назовите причины неопределенности в параметрах математической модели и объясните ее влияние на решение.

 

При построении математических моделей возникают случаи, когда некоторые входные величины не определены и найти их численные значения не представляется возможным. Таким образом возникает, так называемая, неопределенность в параметрах математической модели, которая приводит к усложнению нахождения решения.

В общем случае неопределенность в моделях принятии решений следует понимать как наличие нескольких возможных исходов каждой альтернативы. Действительно, в обыденном понимании неопределенность обычно связывается с такими характеристиками, как непредсказуемость, случайность, неоднозначность, нечеткость. Если факторы, влияющие на принятие решения, обладают этими свойствами, то нельзя говорить о каком-либо определенном исходе альтернативы. В этих условиях необходимо рассматривать все возможные исходы или хотя бы наиболее вероятные из них. Например, управленческое решение о производстве новой продукции или открытии нового вида деятельности принимается в условиях неопределенности, поскольку его последствия не определены в силу влияния таких факторов, как потребительский спрос, действия конкурентов, изменения в законодательстве и других. Следовательно, при анализе данного решения необходимо рассматривать несколько возможных исходов, т.е. значений показателей эффективности (ожидаемой прибыли, объема продаж, доли рынка и т.д.), которые используются для принятия решения

 

7. Приведите примеры использования математических моделей для описания поведения экономических агентов.

 

Примером использования математических моделей для описания поведения экономических агентов может быть знаменитый труд Иоганна фон Тюнена «Изолированное государство», в котором была изложена достаточно полная и абстрактная модель поведения экономического агента, созданная с применением математического аппарата.

 

8. Что такое рациональное поведение с точки зрения теории оптимизации?

 

Согласно Хайеку рациональным поведением можно назвать такой тип поведения, которое «нацелено на получение строго определенных результатов». При том отмечается, что теория рационального выбора объясняет, только нормальное поведение людей. Остается дело за малым: исследовать, что есть норма в экономической действительности.

В экономической теории используются следующие две основные модели рационального поведения:

1) Рациональность (как  таковая);

2) Следование своим  интересам.

Рассмотрим эти модели подробнее:

1. Рациональность

Согласно О. Уильямсону существует 3 основные формы рациональности:

1) Максимизация. Она  предполагает выбор лучшего варианта  из всех имеющихся альтернатив. Этого принципа придерживается  неоклассическая теория. В рамках этой предпосылки фирмы представлены производственными функциями, потребители - функциями полезности, распределение ресурсов между различными сферами экономики рассматривается как данное, а оптимизация является повсеместной.

2) Ограниченная  рациональность - познавательная предпосылка, которая принята в экономической теории трансакционных издержек. Это полусильная форма рациональности, которая предполагает, что субъекты в экономике стремятся действовать рационально, но в действительности обладают этой способностью лишь в ограниченной степени.

3) Органическая  рациональность - слабая рациональность  процесса. Ее используют в эволюционном  подходе Нельсон, Уинтер, Алчиан, прослеживая  эволюционный процесс в рамках  одной или нескольких фирм. А  также представители австрийской школы Менгер, Хайек, Киирзнер, связывая ее с процессами более общего характера - институтами денег, рынков, аспектами прав собственности и так далее. Такие институты «нельзя запланировать. Общая схема таких институтов не созревает в чьем-либо сознании. В самом деле, существуют такие ситуации, когда незнание «оказывается даже более «эффективным» для достижения определенных целей, нежели знание этих целей и сознательное планирование их достижения».

2. Ориентация на  собственный интерес

1) Оппортунизм. Под оппортунизмом в новой институциональной экономике понимают: «Следование своим интересам, в том числе обманным путем, включая сюда такие явные формы обмана, как ложь, воровство, мошенничество, но едва ли ограничиваясь ими. Намного чаще оппортунизм подразумевает более тонкие формы обмана, которые могут принимать активную и пассивную форму. В общем случае речь идет только об информации и всем, что с ней связано: искажения, сокрытие истины, запутывание партнера.

2) Простое следование  своим интересам это тот вариант эгоизма, который принят в неоклассической экономтеории. Стороны вступают в процесс обмена, заранее зная исходные положения противоположной стороны. Все их действия оговариваются, все сведения об окружающей действительности, с которыми им придется сталкиваться - известны. Контракт выполняется, так как стороны следуют своим обязательствам и правилам. Цель достигается. Не существует никаких препятствий в виде нестандартного или нерационального поведения, а также отклонения от правил.

3) Послушание. Последняя слабая форма ориентации на собственный интерес - послушание. Адольф Лоу формулирует ее следующим образом: «Можно представить себе крайний случай монолитного коллективизма, где плановые задания в централизованном порядке выполняются функционерами, которые полностью идентифицируют себя с поставленными перед ними глобальными задачами». Но в чистом виде такой тип вряд ли существует в экономике, поэтому он скорее применим к изучению эволюции социализации человека, чем к объяснению мотивов при принятие решений, так как за него решают другие.

 

9. Как методы оптимизации используются при принятии экономических решений?

 

При принятии экономических решений используются точные и приближенные методы решения. Например: решение задач линейного программирования (простой перебор, направленный перебор, симплексный метод), целочисленного программирования (Метод приближения непрерывными задачами, метод направленного беребора) и другие.

 

10. Расскажите об использовании оптимизации в задачах идентификации параметров математических моделей.

 

Оптимизационные модели характеризуются системой математических уравнений и неравенств экономической задачи, объединенных какой-либо целевой функцией, при решении которой определяется наилучшее решение.

 

При решении экономических задач ставится определенная цель, которую необходимо достичь. Однако в большинстве случаев мы располагаем ограниченным количеством средств или ресурсов для достижения этой цели.

 

Экономико-математические модели включают в себя систему ограничений, целевую функцию. Система ограничений состоит из отдельных математических уравнений или неравенств, называемых балансовыми уравнениями или неравенствами. Целевая функция связывает между собой различные величины модели. Как правило, в качестве цели выбирается экономический показатель (прибыль, рентабельность, себестоимость, валовая продукция и т.д.)

 

Решением экономико-математической модели, или допустимым планом называется набор значений неизвестных, который удовлетворяет ее системе ограничений. Модель имеет множество решений, или множество допустимых планов, и среди них нужно найти единственное, удовлетворяющее системе ограничений и целевой функции. Возникает проблема выбора из множества вариантов решения задачи того, который обеспечивает наилучшее или наиболее эффективное распределение ресурсов. Этот наилучший вариант и называется оптимальным. Выбор оптимального варианта определяется каким-либо показателем, который называется критерием оптимизации.

 

Таким образом, для принятия оптимального решения любой экономической задачи необходимо построить ее экономико-математическую модель, по структуре включающую в себе систему ограничений, целевую функцию, критерий оптимальности и решение.

11. Что такое глобальный максимум критерия и оптимальное решение?

 

Глобальный максимум — вектор инструментальных переменных, если он принадлежит допустимому множеству и целевая функция принимает на этом векторе значение не меньшее, чем в любой другой допустимой точке.

В задачах оптимизации глобальный максимум целевой функции означает решение задачи, условия существования которого определяются теоремой Вейерштрасса.

Оптимальное решение — решение, которое минимизирует или максимизирует (в зависимости от характера задачи) критерий качества оптимизационной модели (критерий оптимальности) при заданных условиях и ограничениях, представленных в этой модели.

 

12. Достаточное условие существования глобального максимума (теорема Вейерштрасса).

 

Теорема Вейерштрасса:                                       (4)

Для того, чтобы в задаче  существовала точка глобального максимума, достаточно, чтобы допустимое множество X было компактно в Rn, а целевая функция f непрерывна на X.

 

13. Назовите причины отсутствия оптимального решения.

 

Оптимального решения может не существовать тогда, когда заданные ограничения не удовлетворяют возможным решениям.

Например: отсутствие седловой точки в решении игры; остановка решения симплекс-метода при отсутствии следующего шага нахождения оптимального решения.

 

14. Что такое локальный максимум?

 

Точка называется точкой локального максимума, если существует такая окрестность, для которой эта точка принимает максимальное значение функции в заданной окрестности.

 

15. Сформулируйте общую задачу нелинейного программирования.

 

В общем виде задача нелинейного программирования состоит в определении максимального (минимального) значения функции

                                                                                            (5)

при условии

,                                                                (6)