Контрольная работа по "Математике"

Содержание

 

Вариант4 Тема 4 Теория вероятности

4.1.4. В каждой из трех урн содержится 7 черных и 3 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется черным.

Решение

Рассмотрю полную группу событий, приводящую к заполнению урны 3.

Событие А₁₁ – из первой урны АО вторую переложен белый шар, как и из второй в третью.

 Событие  А₀₀ – из первой урны во вторую, а из нее в третью перекладывались черные шары.

Событие А₁₀ – из первой во вторую переложен белый шар, а из второй в третью – черный.

Событие А₀₁ – из первой во вторую переложен черный шар, а из второй в третью – белый.

По формуле  для условных вероятностей получаем вероятности этих событий:

.

Таким образом, вероятность события А₀ – в третьей урне 4 белых шар, что означает забор белого шара из второй урны по формуле вероятности для несовместных событий составит: р₁ = р₁₁ + р₀₁ =  .

Аналогично, что  вероятность забора из второй урны черного шара составит: р₀ = р₀₀ + р₁₀ =  .

Проверка: р₁ + р₀ = 0,3 + 0, 7 = 1 – верно.

Очевидно, вероятность  выбрать белый шар из третьей  урны составит:

.

вероятность выбрать  черный шар из третьей урны составит:

Проверка: Р_белый + Р_черый = 0,3 + 0,7 = 1 – верно.

Ответ: вероятность  выбора из третьей урны черного шара составляет Р_черый = 0,7.

 

4.2.4. Электрические цепи между точками М и N составлены по схемам, изображенным на рисунке, и состоят из нескольких узлов, в каждом из которых 
n_i, элементов. Выход из строя одного элемента означает выход из строя всего узла. Элементы выходят из строя независимо друг от друга. Прибор может случайным образом работать в одном из двух режимов: благоприятном и неблагоприятном. В благоприятном режиме надежность, т.е. вероятность безотказной работы за время Г, каждого из элементов одна и та же и равна 0,8, в неблагоприятном – 0,3. Вероятность того, что цепь находится в благоприятном режиме равна 0,8. Определить полную (среднюю) надежность электрической цепи при указанном на схеме количестве элементов в узлах.

Решение

Полагаю, что ni – числа, стоящие в прямоугольниках. Считаю вероятности для работы в режимах по отдельности.

P_k – вероятность работы без отказа узла из k элементов.

 

Благоприятный режим

P_k = 0,8^k; P₂ = 0,64; P₃ = 0,512.

Вероятность прохождения  сигнала через первый блок:

Р_А = 1 – (1 – Р₂) (1 – Р₂) (1 – Р₃) по вероятности отказа всех узлов блока А.

Р_А = 1 – (1 – 0,64) (1 – 0,64) (1 – 0,512) = 0,9368.

Вероятность прохода  сигнала через всю цепь в благоприятном режиме:

Р(1/благопр) = Р_А ∙ Р₃ = 0,9368 ∙ 0,512 = 0,4796.

 

Неблагоприятный режим

P_k = 0,3^k; P₂ = 0,09; P₃ = 0,027.

Вероятность прохождения  сигнала через первый блок:

Р_А = 1 – (1 – Р₂) (1 – Р₂) (1 – Р₃) по вероятности отказа всех узлов блока А.

Р_А = 1 – (1 – 0,09) (1 – 0,09) (1 – 0,027) = 0,1943.

Вероятность прохода  сигнала через всю цепь в неблагоприятном  режиме:

Р(1/неблагопр) = Р_А ∙ Р₃ = 0,1943 ∙ 0,027 = 0,0052.

Таким образом, для Р_{благопр} = 0,8; Р_{неблагопр} = 1 – 0,8 = 0,2 получаю:

Р = Р_{благопр} Р(1/благопр) + Р_{неблагопр} Р(1/неблагопр) = 0,8 ∙ 0,4796 + 0,2 ∙ 0,1943.

Ответ: средняя  надежность Р = 0,38474.

 

4.3.4. Вероятность появления события в каждом из 21 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится в большинстве испытаний.

Решение

Для решения  этой задачи существует два подхода  – по биноминальной формуле найти  вероятности для каждого числа  возможных испытаний, и, суммируя их, начиная от 11 испытаний, получить искомую вероятность (если число успехов не меньше 11, то это будет в большинстве испытаний).

Это можно найти сразу, вычтя функцию БИНОМРАСП(10;21;0,7;Истина) приложения Excel пакета MS Office, дающую вероятность того, что число успехов не превысит 10, из единицы. Получаю 0,970361.

Второй подход – использовать факт стремления биноминального распределения к нормальному с математическим ожиданием М(х) = 21 ∙ 0,7 = 
= 14,7 и оценкой стандарта ошибки = 2,1.

В этом случае, искомая вероятность  может быть представлена как разность значений функции в точках, соответствующих максимальному числу успехов (21) и половине успехов:

 и

,  
что составляет 0,4986 – (–0,4772) = 0,9758.

 

4.4.4. В урне имеются 4 шара с номерами 1, 2, 3, 4. Вынуты 2 шара. Случайная величина Х – сумма номеров шаров. Найти закон распределения случайной величины Х, М(Х), Р(Х>5).

Решение

Каждый из далее приведенных  исходов, образующую полную группу событий  равновероятен и имеет вероятность 1 / 12

1 + 2, 1 + 3, 1 + 4; 2 + 1, 2 + 3, 2 + 4; 3 + 1, 3 + 2, 3 + 4; 4 + 1, 4 + 2,  4 + 3.

Исходов с суммой меньше трех быть не может, с суммой 3 будет 2 исхода с вероятностью 2/12; сумма 4 при 2 исходах с вероятностью 2/12; сумма 5 при 4 исходах с вероятностью 4/12; сумма 6 при 2 исходах с вероятностью 2/12; сумма 7 при 2 исходах с вероятностью 2/12; сумма больше 7 быть не может.

Составляю закон  в виде таблицы

Величина Х	3	4	5	6	7
Вероятность, р(Х)	2/12=1/6	2/12=1/6	4/12=1/3	2/12=1/6	2/12=1/6

 

Математическое  ожидание величины Х:

М(Х) = 3 ∙ (1/6) + 4 ∙ (1/6) + 5 ∙ (1/3) + 6 ∙ (1/6) + 7 ∙ (1/6) = 5.

Р(Х>5) = Р(6) + Р(7) = 1/6 + 1/6 = 1/3.

 

4.5.4. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти плотность  распределения вероятностей. М(Х), D(X), вероятность Р(Х>1/6). Построить графики р(х) и F(x).

Решение

Строю график интегрального  закона:

Дифференцирую по x интегральную функцию распределения на каждом из участков, где она задана элементарными функциями. Получил плотность распределения вероятностей (дифференциальный закон распределения):

Строю график дифференциального закона:

Нахожу математическое ожидание:

M(X) = 5/27

Провожу вспомогательное вычисление

Нахожу дисперсию:

Р(Х>1/6) = 1 – F(1/6) = 1 – (3/36 + 2/6) = 7/12.

 

4.6.4. В результате 200 независимых опытов найдены значения случай- 
ной величины x₁, x₂, …, x₂₀₀, причем M(X) = D(X) = 2. Оценить сверху вероятность того, что абсолютная величина разности между средним арифметическим значений случайной величины и математическим ожиданием меньше 1/5.

Решение

Верхнюю границу вероятности появления в испытаниях случайной величины, отклоняющейся от математического ожидания на ε, не зависящую от вида закона распределения, дает неравенство Чебышева:

 

Приму, что дисперсия  оценки среднего значения меньше предложенной дисперсии выборки в n раз, что составляет . Оценка стандарта этого отклонения:

Так как 1/5 = 2σ, то вопрос звучит так: «Найти верхнюю оценку вероятности отклонения случайной величины, превышающую 2σ». Неравенство Чебышева принимает вид: = 0,0025.

 

4.7.4. Проверить независимость дискретного случайного вектора, заданного таблицей вероятности.

X\Y	1	2	3
5	0,6	0,04	0,16
6	0,06	0,08	0,06

 

Найдем коэффициент  корреляции r_xy из:

средних значений

=5∙(0,6 + 0,04 + 0,16) + 6∙(0,06 + 0,08 + 0,06) = 5,2;

= 1∙(0,6 +0,06) + 2∙(0,04 + 0,08) + 3∙(0,16 + 0,06) =1,56;

оценок дисперсий

= (5 – 5,2)²∙(0,6 + 0,04 + 0,16) + ( 6 – 5,2)²∙(0,06 + 0,08 + 0,06) = 0,16;

 = (1 – 1,56)²∙(0,6 +0,06) + (2 – 1,56)²∙(0,04 + 0,08) + (3 – 1,56)²∙(0,16 + 0,06) = =0,5766;

 = 0,6 (5 – 5,2) (1 – 1,56) + 0,04 (5 – 5,2) (2 – 1,56) +0,16(5 – 5,2) (3 – 1,56) + 
+ 0,06( 6 – 5,2) (1 – 1,56) +0,08( 6 – 5,2) (2 – 1,56) +0,06(5 – 5,2) (3 – 1,56);

 =0,0880.

Величина  при нормальном распределении величин X и Y распределена по распределению Стьюдента с 
n – 2 = 4 степеням свободы. По распределению Стьюдента, при 4 степенях свободы, функция Excel СТЬЮДРАСП(0,2897;4;2) дает, что значение двухстороннего квантиля равна 0,561. Такое значение (в инженерной практике обычно границей является 0,1, 0,05 или 0,01) позволяет сделать вывод о независимости компонентов вектора.

 

Вариант 4 Тема 5 Математическая статистика

5.1.4. Построить гистограмму частот по данным выборки. Найти выборочнoe среднее, выборочную дисперсию и исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение. В качестве вариант взять середины интервалов.

Интервалы	2 – 6	6 – 10	10 – 14	14 – 18	18 – 22
Частоты	7	5	7	3	4

 

Решение

Интервалы	2 – 6	6 – 10	10 – 14	14 – 18	18 – 22	Итого
Варианты	4	8	12	16	20
Частоты	7	5	7	3	4	26
Относительные частоты	0,2692	0,1923	0,2692	0,1154	0,1538	1
Накопленные частоты	7	12	19	22	26
Накопленные относительные частоты	0,2692	0,4615	0,7308	0,8462	1

 

Выборочное  среднее находим по второй и третьей строке последней таблицы:

= (4∙7 + 8∙5 + 12∙7 + 16∙3 + 20∙4) / 26 = 10,769.

Для нахождения выборочной дисперсии ищу предварительно

 = (4∙7² + 8∙5² + 12∙7² + 16∙3² + 20∙4²) / 26 = 146,4615.

Выборочная  дисперсия: = 146,4615 – 10,769² = 30,485

Исправленное  выборочное среднее квадратическое отклонение для N = 5 интервалов разбиения: S = = 6,173.

 

5.2.4. Случайная величина X имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием М(Х) и дисперсией D(Х). По выборке (x₁, x₂, …, x_n) объема n вычислены оценки = 2,1 и S₁² = 0,5 неизвестных параметров. Найти доверительный интервал для математического ожидания М(Х), отвечающий доверительной вероятности γ = 0,95.

Решение

При n < 30 иногда можно рассматривать выборку как малую и использовать распределение Стьюдента – по нему распределена конечная выборка для нормально распределенной случайной величины. Так как это значение не указано, выборку малой не считаем и использую нормальное распределение. Доверительной вероятности γ = 0,95 соответствует значение t = 1,645, таким образом, М(Х) принадлежит отрезку:

 t ∙ = 1,645

 

 

5.3.4. Применяя метод наименьших квадратов, определить параметры корреляционной зависимости y = а + b / x по данным наблюдений, представленных в таблице.

X	1	2	3	4	5
У	9,5	6,5	5	4	3

 

Решение

Замена переменной x = 1 / t приводит задачу к случаю линейной регрессии.

X	1	2	3	4	5
t = 1 / X	1	0,5	1 / 3	0,25	0,2
У	9,5	6,5	5	4	3
Y- (a+bt)	-0,2697	0,5674	0,3465	-0,0140	-0,6303

y = а + b t.

Коэффициенты a и b найду из решения системы линейных уравнений, записанной в обозначениях Гаусса:

Здесь N = 5; [t] = 1 + 0,5 + 1/3 + 0,25 + 0,2 = 2,83333;

[t²] = 1² + 0,5² + (1/3) ² + 0,25² + 0,2² = 1,463611;

[y] = 9,5 + 6,5 +5 + 4 + 3 = 28;

[xy] = 1∙9,5 + 0,5∙6,5 + (1/3)∙5 + 0,25∙4 + 0,2∙3 = 16,01667.

Находим с помощью Excel матрицу, обратную матрице системы:

Умножением  справа на полученную матрицу столбца  свободных членов получаю численные  значения искомых коэффициентов регрессии:

Сумма квадратов  невязок:

[(Y – (a + bt))²] = (-0,2697)² + 0,5674² + 0,3465² + (-0,0140)² + (-0,6303)² = 0,9122.

Оценка дисперсии  случайной величины, вызвавшей разброс  значений Y по n – 2 = 3 степеням свободы составит S₀² = 0,9122/3 = 0,3041. Умножение на него обратной матрицы дает матрицу ковариации B для искомых коэффициентов, на главной диагонали которой стоят соответствующие дисперсии оценок коэффициентов регрессии a и b.

Ответ: = 2,0954 + 7,6742 / x

P.S. Матрица ковариации необходима для расчета дисперсии оценок , полученных по уравнению регрессии.

 

5.4.4. Найти выборочный коэффициент линейной корреляции r_xy^B и уравнение регрессии Х по У по таблице.

X	-1	0	1	3	4
У	3	2	2	1	1
Y- (a+bХ)	0,2791	-0,3372	0,0465	-0,1861	0,1977
Y –	1,2	0,2	0,2	-0,8	-0,8