Контрольная работа по "Математике"

Раздел 1 «Линейная алгебра с  элементами аналитической геометрии»

 

Задание №1 Найти матрицу С, если: С=(А-ВА)^Т , А= , В= . 

Решение:

1)

  

2)

3)

Ответ: .

 

Задание №2  Решить систему  линейных уравнений тремя методами:

• методом Гаусса,
• по формулам Крамера,
• методом обратной матрицы.

Решение:

I Методом Гаусса

 

 

II По формулам Крамера

1) Составим и вычислим  определитель системы

2) Составим и вычислим  определитель при неизвестной  , для этого заменим первый столбик столбцом свободных коэффициентов:

3) Составим и вычислим  определитель при неизвестной  , для этого заменим второй столбик столбцом свободных коэффициентов:

4) Составим и вычислим  определитель при неизвестной  , для этого заменим третий столбик столбцом свободных коэффициентов:

5) Используя формулы  Крамера найдем неизвестные:

 

III Методом обратной матрицы

Обратная матрица существует тогда, когда определитель системы не равен нулю.

Ответ: ; ; .

 

Задание №3  На плоскости  даны три точки А, В, С. Найти методами векторной алгебры:

• площадь треугольника АВС,
• точку М, симметричную точке А относительно стороны ВС,
• уравнение медианы ВК.

                   А (2,2)  ;   В (–1,3)  ;   С (0,–5) .

Решение:

1)

2)

   

  и коллинеарен, следовательно .

 

 

3)

   

   

   

   

   

   

Ответ: ; ; .

 

Задание №4  Составить  каноническое уравнение гиперболы, если действительная полуось равна  а, эксцентриситет равен е: а = 36 ; е = .

Решение:

Ответ: .

 

 

Раздел 2 «Математический анализ и  дифференциальные уравнения»

 

Задание №5  Вычислить  пределы:

   _;    

_{Решение:}

1)

Для устранения данной неопределенности применим формулы алгебры:

2)

Для устранения данной неопределенности применим метод замены на эквивалентные функции:

Ответ: 1) ; 2) 1,5

 

Задание №6 Найти  производные  функций:

1. ;  2.

Решение:

1)

 

2)

 

Ответ: 1)

            2)

 

 

Задание №7  Решить задачу : Найти уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке .

Решение:

Ответ: .

 

Задание№8  Исследовать функцию с помощью производных  и построить график:

Решение:

min

max

x
	+	0		0	+
		2
		max		min

x		0
		0	+
		0
		перегиб

Находим пересечение  с осями координат:

а) с осью ох     у=0

Задание № 9 Найти точки экстремума функции нескольких переменных:

Решение:

Ответ: В данном случае экстремум в точке может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

 

Задание №10   Найти  интегралы:

1.   ;    2.

Решение:

1)

2)

Ответ: 1) ;  2)

 

 

Задание №11 Выполнить  чертеж и решить задачу: Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями: .

Решение:

x	– 2	– 1	0	1	2	x=±2               y=4
y	0	3	4	3	0

 

 

 

Ответ:

 

 

Задание №12 Решить дифференциальное уравнение: 

_{Решение:}

Ответ: