Контрольная работа по " Математический анализ"

 

 

Федеральное агентство связи

 

Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики

 

Межрегиональный центр переподготовки специалистов

 

 

 

Контрольная работа

По дисциплине: Математический анализ

                                  

 

 

 

 

Выполнил:

Группа: _________

Вариант:____№11_______

Проверил: Агульник Ольга Николаевна

 

 

 

 

Новосибирск 2013 г

Задание 1. Найти пределы функции

а)     б)    в)

Решение:

         a) ===;

б)====

в)  ==

 

Сделаем замену переменных. Пусть

 

Если  то

Исходный предел после  замены примет вид:

=

 

Задание 2. Найти значение производных функции в точке x=0

 

Решение:

 

 

 

  Задание 3. Провести исследование функций с указанием:

а) области определения  и точек разрыва;

б) экстремумов;

в) асимптот.

По полученным данным построить  графики функций.

 

Решение: 
         

а)  ,

 

Область определения: 

Точками разрыва функции  являются: -1; 1

б)- -  условия экстремума.

 

 

 

 

Найдем точки, в которых  первая производная равна нулю или  не существует: для любого x из области определения функции; не существует при x₁=-1; x₂=1

 

 - - - 

                   -1 1

Таким образом, функция убывает  на всей области существования. Точек  экстремума нет.

в) Асимптоты

вертикальные: прямые x=-1; x=1-вертикальные асимптоты.

горизонтальные асимптоты:

 Прямая y=0- горизонтальная асимптота.( ось ox)

 

Найдем точки, в которых  вторая производная равна нулю или  не существует:

 

 

 

Д=

 

 

 точки перегиба

 

- + - +

-1 0 1

 

Таким образом, на промежутках (-1;0) и (1;+ ) функция вогнута, а на промежутках(-и(0;1) выпукла. Так как при переходе через точку x=0 вторая производная поменяла знак, то эта точка является точкой перегиба.

 

 

 

 

 y

 

 

                                            1                                                                  

   

                                                              -1              0  1 x

    

                                                                         -1

 

 

 

 

Задание 4. Найти неопределенные интегралы:

1.    б)   ;

Решение:

а)

       

б)

       

Задание 5. Вычислить площади областей, заключённых между линиями:

y=3x-1; y=x²-2x+5

Решение:

y=3x-1; это прямая, для построения графика необходимо 2 точки

x	0	1
y	-1	2

 

;- парабола, ветви направлены  вверх.

 

y=1-2+5=4

(1;4)- координаты вершины параболы

X	o	-1	-2	1	2	3	4
y	5	8	13	4	5	8	13