Элементы комбинаторики и теории вероятности в школьном курсе

 

Методические рекомендации  к проведению занятия №7.

Данное занятие по теме «Частота события. Статистическая вероятность. Геометрическая вероятность» можно провести в форме поисковой беседы. Вначале необходимо попросить учащихся указать недостатки классического определения вероятности. Перед знакомством со статистической вероятностью требуется ввести понятие относительной частоты. Для отработки навыка нахождения частоты события можно пользоваться результатами экспериментов проводимых на занятии №5. Далее необходимо познакомить учащихся с геометрической вероятностью. Рассмотрение геометрической вероятности развивает у учащихся пространственное воображения и способствует формированию умений переводить исходную вероятностную ситуацию на геометрический язык. Геометрическую вероятность можно дать в ознакомительном порядке, разобрав для этого ряд задач.

Содержание занятия №7. «Частота события. Статистическая вероятность. Геометрическая вероятность».

Классическое определение не требует, чтобы испытание обязательно проводилось в действительности: теоретическим способом определяются все равновозможные и благоприятствующие событию исходы. Такое определение предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно и выражается конкретным числом. Однако на практике – при изучении случайных явлений в естествознании, экономике, медицине, производстве – часто встречаются испытания, у которых число возможных исходов необозримо велико. А в ряде случаев до проведения реальных испытаний трудно или не возможно установить равновозможность исходов испытания. Поэтому, наряду с классическим, на практике используют и так называемое статистическое определение вероятности. Вначале введем определение частоты события.

Относительной частотой события A называют отношение числа испытаний m, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний n.

 

Таким образом, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту после опыта.

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало, колеблясь около некоторого постоянного числа.

Например, по данным шведской статистики, относительная частота рождения девочек в 1935 г по месяцам характеризуется следующими числами: 0,486; 0,489; 0,490;0,471;0,478;0,482;0,462;0,484;0,485;0,491;0,482. относительная частота колеблется около числа 0,482, которое можно принять за приближенное значение вероятности рождения девочек

Таким образом, в качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней.

Свойства вероятности, вытекающие из классического определения, сохраняются и при статистическом определении вероятности. Назовите их.

Задачи:

1. Во время тренировки в стрельбе по цели было сделано 30 выстрелов и зарегистрировано 26 попаданий. Какова относительная частота попадания по цели в данной серии выстрелов?
2. Отдел технического контроля обнаружил пять бракованных книг в партии из случайно отобранных 100 книг. Найти относительную частоту появления бракованных книг.
3. Дано распределение дней рождения старшеклассников (учащихся 9-11 классов) по месяцам и дням недели.

Таблица 1.2.2.3

	Пн.	Вт.	Ср.	Чт.	Пт.	Сб.	Вс.
январь	0	1	3	4	0	0	1
февраль	2	4	1	2	3	0	2
март	2	2	0	2	4	2	0
апрель	3	2	5	8	0	3	2
май	4	0	2	1	1	1	2
июнь	4	2	2	1	3	2	0
июль	0	1	4	2	1	2	0
август	1	2	4	4	2	0	1
сентябрь	0	1	2	1	2	3	5
октябрь	1	2	0	0	2	1	0
ноябрь	0	2	4	1	1	5	1
декабрь	2	2	3	2	0	2	2

 

Найдите относительные частоты событий:

А = {старшеклассник родился в майское воскресенье};

В ={старшеклассник родился в зимний четверг};

С = {старшеклассник родился в понедельник};

D = {старшеклассник родился весной}.

Геометрическая вероятность – это своеобразный аналог формулы классического определения вероятности события: отношение двух натуральных чисел (количество благоприятных исходов к количеству всевозможных исходов) в формуле классического определения вероятности событий заменяется отношением мер (длин, площадей, объемов) геометрических множеств, где оба множества (в общем случае) представляют собой бесконечные множества исходов. Тем самым достигается возможность найти вероятность и в случае бесконечного множества исходов. В этом – конечное и бесконечное множества исходов – и заключается основное различие между классическим определением вероятности события и геометрическим.

Задачи:

1. На отрезок длины 1 бросают наудачу две точки. Они разбивают отрезок, на три отрезка. Какова вероятность, что из полученных трех отрезков можно сложить треугольник?

Решение: Заданный  отрезок рассматриваем как отрезок [0:1] числовой прямой. Тогда на удачу брошенные точки имеют координаты- х и у, принадлежащие отрезку [0:1]. Но любую пару чисел можно рассматривать как координаты точки на плоскости. Поскольку 0 х1 и  0 у1, то эти точки (х; у) наудачу брошены в квадрат со стороной 1. Посмотрим теперь, какую фигуру образуют точки, координаты которых удовлетворяют условию примера.

Для того чтобы из трёх отрезков можно было построить треугольник, необходимо и достаточно, чтобы длины этих отрезков удовлетворяли неравенству треугольника. При ху получаем: х<(у-х)+(1-у),    у-х<х+(1-у),  1-у<х+(у-х),  что после преобразований даёт систему неравенств, которой на плоскости определяется треугольник.

 

Рисунок 1.2.2.8

При х>y аналогично получатся система неравенств, которой на плоскости определяется ещё один треугольник.

 

 

Рисунок 1.2.2.9

Общая площадь фигур, заштрихованных на рисунках равно 0,25. Следовательно, вероятность построить треугольник равна 0,25.

2. На отрезке L длины 20 см помещен меньший отрезок l длины 10 см. найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на большой отрезок, попадет и на меньший отрезок. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.
3. Внутри квадрата со стороной 10 см выделен круг радиусом 2 см. случайным образом внутри квадрата отмечается точка. Какова вероятность того, что она попадет в выделенный круг?
4. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения.
5. Перед окопами вдоль прямой линии через каждые 10 м установлены противотанковые мины. Перпендикулярно этой линии движется танк, ширина которого 3 м. Какова вероятность того, что танк пересечет линию установки мин невредимым, то есть, что мина не взорвется?

 

Методические рекомендации  к проведению занятия №8.

Вначале занятия необходимо повторить, какие события называются не совместными, противоположными, не зависимыми. Ввести определение суммы и произведения событий можно предложить ученикам. Из четырех теорем о сложении вероятностей (для двух несовместных событий, для n несовместных событий (обобщение), для событий, образующих полную группу и для противоположных событий) практический интерес для слушателей курса представляют лишь две теоремы: первая и третья. Обе они часто используются при решении вероятностных задач, и поэтому их следует подробно с доказательством рассмотреть на занятии. Теорему о противоположных событиях (как частный случай третьей теоремы) можно поручить рассказать одному из учащихся.

Перед тем как излагать теорему умножения вероятностей необходимо ввести понятие условной вероятности. Опираясь на определение условной вероятности, учащиеся без труда смогут сформулировать теорему о вероятности совместного появления двух событий.

Содержание занятия №8. «Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей»

Определение 1. Суммой событий А и В называется событие заключающееся в том, что наступит либо событие А, либо событие В, либо одновременно А и В.

Определение 2. Произведением событий А и В называется событие заключающееся в том, что и наступит событие А и событие В одновременно.

Определение 3. Говорят, что события образуют полную группу, если в результате испытании наступит ровно 1 из этих событий.

Теорема 1. Пусть события А и В – несовместные, причем вероятности этих событий известны. Тогда вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Доказательство. Введем обозначения: n – общее число возможных элементарных исходов испытания; m1 – общее число исходов, благоприятствующих событию А; m2 – общее число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m1+m2. Следовательно,

.

Приняв во внимание, что , окончательно получим

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Теорема 2. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А1+А2+…+Аn)=Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn).

Теорема 3. Сумма вероятностей событий А1, А2, …, Аn, образующих полную группу, равна 1:

Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn)=1.

Доказательство. Так как появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события равна единице, то

Р(А1+А2+…+Аn)=1. (*)

Любые два события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения:

Р(А1+А2+…+Аn)=Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn). (**)

Сравнивая (*) и (**), получим

Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn)=1.

Теорема 4. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:

Р(А)+Р()=1.

Задачи:

1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.
2. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете. (Решить двумя способами: с помощью 1 и 4 теорем).
3. Производится бомбометание по трем складам боеприпасов, причем сбрасывается одна бомба. Вероятность попадания в первый склад 0,01; во второй 0,008; в третий 0,025. При попадании в один из складов взрываются все три. Найти вероятность того, что склады будут взорваны.
4. Круговая мишень состоит из трех зон: I, II, III. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле 0,15, во вторую 0,23, в третью 0,17. найти вероятность промаха.

Теорема умножения вероятностей.

 Привести  учащихся к этому понятию условной вероятности поможет разбор следующего примера.

Пример 1: Из ящика, в котором 3 белых и 3 черных шаров, наугад вынимают последовательно один за другим два шара. Какова вероятность появления белого шара при втором испытании, если при первом испытании был извлечен черный шар?

Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, равна

 

Теорема 4. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предложении, что первое событие уже наступило:

Р(АВ)=Р(А)РА(В).

Пусть вероятность события В не зависит от появления события А.

Так как событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, то

РА(В)=Р(В)   или   РВ(А)=Р(А).

Теорема 5. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей:

Р(АВ)=Р(А)Р(В).