Элементы комбинаторики и теории вероятности в школьном курсе

Решение:  Состав выборки меняется и порядок элементов существенен (ведь если, например, в выборке КЖЗКЖЗ поменять местами К и Ж, ситуация на дороге будет другой). Поэтому применяем формулу для вычисления числа размещений с повторениями из 3 по 6, получаем  комбинаций.

Перестановки 100: Что меньше число перестановок с повторениями или число перестановок без повторений?

Ответ: число перестановок с повторениями меньше числа перестановок без повторения в (n1)!(n2)!...(nk)! раз.

Перестановки 200: Что называется перестановками без повторений? Запишите формулу для нахождения.

Ответ: Перестановкой без повторений называется упорядоченная выборка n элементов из n возможных.

Перестановки 300: Сколькими способами могут сесть в автомобиль 5 человек, каждый из которых может быть водителем?

Решение: способов.

Перестановки 400: Что называется перестановками с повторениями?  Запишите формулу для нахождения.

Ответ: Перестановки,  которые можно образовать из n элементов, среди которых элементов 1-ого типа, — 2-ого типа, ..., — r-ого типа

Перестановки 500: Что вероятнее: при образовании всех возможных перестановок из букв слова «задача» получить слово, где три буквы «а» будут идти подряд, или «слово», где эти буквы не будут идти подряд?

Решение: Если бы все буквы были бы различными, то общее число перестановок равнялось бы 6! = 720. Но слово «задача» содержит три

одинаковых буквы «а». Поэтому число всех перестановок из букв

слова «задача» равно Р. Это общее число исходов опыта - число всех перестановок. Обозначим через А событие «в перестановке три буквы «а» идут подряд». Вычислим число исходов опыта, благоприятствующих наступлению этого события. «Свяжем» три буквы «а», фактически будем иметь перестановки из четырех различных элементов, их число равно 4! = 24. Итак, P(A) . Вероятность противоположного события равна Р(=1 – 0,2 = 0,8. Итак, Р()> P(A).

Сочетания 100: Дайте определение сочетаний без повторений и запишите формулу для нахождения.

Ответ: Неупорядоченная выборка без возвращения из n элементов по k.

Сочетания 200: Перечислите свойства сочетаний

Ответ: ; =1; , где ;

; =.

Сочетания 300: Дайте определение сочетаний с повторениями и запишите формулу для нахождения.

Ответ: Неупорядоченная выборка k элементов из m возможных называется сочетанием с повторениями.

Сочетания 400: В хлебном отделе имеются булки белого и черного хлеба. Сколькими способами можно купить 6 булок хлеба?

Решение: порядок элементов несущественен, значит это - сочетания с повторениями из 2 по 6.

Сочетания 500: В первые три вагона поезда садятся 9 пассажиров по 3 человека в каждый вагон. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: В первый вагон садится из 9 человек 3 человека, значит  , в следующий вагон уже из 6 человек выбирается 3человека тогда способов:

 

Методические рекомендации  к проведению занятия №5.

Перед началом проведения занятия необходимо сообщить учащимся задание на итоговое занятие. Каждая группа учащихся должна рассмотреть по одному парадоксу теории вероятностей. Защита должна пройти по плану: история парадокса, содержание, объяснение.

Форма проведения занятия №1 по теме «События. Виды случайных событий. Эксперименты и их исходы» комбинированная. Структуру занятия можно разбить на два этапа. На первом этапе занятие необходимо провести в форме лекции. Учащимся следует рассказать о событиях и видах событий. Привести примеры для каждого типа событий следует попросить учащихся. На втором этапе следует предложить учащимся  провести эксперименты. Для этого их лучше разбить на группы по 2-3 человека, один из которых будет фиксировать результаты эксперимента, а остальные проводить его.

После проведения экспериментов целесообразно ввести понятия эксперимента и его исхода.

Содержание занятия №5. «События. Виды случайных событий. Эксперименты и их исходы».

В жизни под событием понимают любое явление, которое происходит или не происходит. Событиями являются и результаты испытаний (опытов), наблюдений и измерений. Все события можно разделить на невозможные, достоверные и случайные.

Невозможным называют событие, которое в данных условиях произойти не может.

Например: а) Петя родился 30 февраля;

                   б) вода в чайнике закипела  при температуре 50°С.

Достоверным называют событие, которое в данных условиях обязательно произойдёт.

Например:  а) после урока наступит перемена;

                    б) после воскресенья наступит  будний день.

Случайным называют событие, которое в данных условиях может произойти, а может и не произойти.

Например: а) при телефонном звонке абонент оказался занят;

                   б) день рождения двух моих  друзей – 15 марта.

Два события, которые в данных условиях могут происходить одновременно, называют совместными, а те, которые не могут происходить одновременно, несовместными.

Например, события «пошёл дождь» и «наступило утро» являются совместными, а события «наступило утро» и «наступила ночь» - несовместными.

События называются равновозможными, если по условию испытания нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое.

Рассмотрим группы событий:

1. «появление орла» и «появление решки» при одном бросании монеты;
2. «появление 1 очка», «появление 2 очков», …, «появление 6 очков» при одном бросании игральной кости;
3. «падение бутерброда маслом вверх» и «падение бутерброда маслом вниз»;
4. «изъятие из набора домино дубля» и «изъятие из набора домино костяшки с разными очками».

В примерах 1 и 2 нет оснований полагать, что в наступлении одного из событий есть какое-то преимущество (если монета и кубик правильные). Это равновозможные события. Часто равновозможность событий удаётся установить из соображений симметрии.

Примеры 3 и 4 демонстрируют образцы неравновозможных событий. Действительно, бутерброд чаще падает маслом вниз из-за того, что после намазывания хлеба маслом центр тяжести бутерброда смещается из центра его симметрии в сторону слоя масла. Дублей в наборе домино (пример 4) всего 7, а остальных костяшек 21.

Событие  называется событием, противоположным событию А, если оно происходит, когда не происходит событие А.

Пример. Событию «все спортсмены команды завоевали призовые места» противоположным является событие «хотя бы один из спортсменов команды не занял призовое место».

В жизни мы часто встречаемся с ситуациями, когда события некоторым образом связаны. По наступлению одного из них можно судить о более или менее вероятном наступлении другого. Например, если на небе тучи, то дождь более вероятен, чем в ясную погоду.

Бывают так же события, которые явно не связаны друг с другом. По наступлению одного из них нельзя судить о вероятности другого. Например, при бросании двух костей результат бросания первой кости явно не влияет на результат бросания второй кости. Про такие события в жизни обычно говорят, что они независимы.

Несколько событий называются независимыми в совокупности, если любое из них не зависит от любого другого события и от любой комбинации остальных.

Первый шаг на пути ознакомления учащихся с понятием вероятность состоит в длительном экспериментировании, то есть в многочисленных манипуляциях с разнородными предметами (игральными костями, волчками, монетами, шарами и прочими).

Могут быть предложены следующие задания-эксперименты:

Задание №1. 100 раз подбросить монету и зафиксировать количество выпадений «орла» и «решки».

Задание №2. 100 раз подбросить кнопку и зафиксировать количество раз, когда кнопка упала острием вниз и количество раз, когда кнопка упала острием вверх.

Задание №3. Выберите какой-нибудь текст, содержащий 150 слов. Подсчитайте число слов, составленных из 6 букв.

Задание №4. Выберите 7 строк произвольного текста. Подсчитайте, сколько раз встречаются в тексте буквы о, е, а, ю.

Случайным (стохастическим) экспериментом или испытанием называется осуществление какого-либо комплекса условий, который можно практически или мысленно воспроизвести сколь угодно большое число раз.

Явления, происходящие при реализации этого комплекса условий, то есть в результате случайного эксперимента, называются элементарными исходами. Считается, что при проведении случайного эксперимента реализуется только один из возможных элементарных исходов.

Если монету подбросить один раз, то элементарными исходами можно считать выпадение герба или цифры.

 

Методические рекомендации  к проведению занятия №6.

На данное занятие по теме «Классическое определение вероятности. Свойства вероятности» необходимо познакомить учащихся с одним из видов определения вероятности события. Полезно формуле вероятности события придать наглядную иллюстрацию. После рассмотреть свойства вероятности. Доказательства данных свойств могут быть предложены учащимся в качестве домашнего задания.

Содержание занятия №6. «Классическое определение вероятности. Свойства вероятности».

В повседневной жизни в разговоре часто используется слово «вероятный». Например, «к вечеру, вероятно, пойдёт дождь», «это невероятный случай», «вероятнее всего он опоздает». При употреблении этого слова интуитивно оценивается возможность наступления того или иного события. Можно сказать, что одно событие наступает чаще, чем другое. В этом случае говорят, что оно более возможно, т.е. его наступление более вероятно. Естественно. При такой оценке человеку помогает здравый смысл и жизненный опыт.

Вероятность – одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Приведем определение, которое называют классическим. Далее укажем слабые стороны этого определения и приведем другие определения, позволяющие преодолеть недостатки классического определения.

Рассмотрим пример. Пусть в урне содержится 6 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем 2 из них – красные, 3 – синие и 1 –прозрачный. Очевидно, возможность вынуть наудачу из урны цветной шар больше, чем возможность извлечь прозрачный шар. Можно ли охарактеризовать эту возможность числом? Оказывается, можно. Это число и называют вероятностью события. Таким образом, вероятность события – это численная мера объективной возможности его появления.

Поставим перед собой задачу дать количественную оценку возможности того, что взяты наудачу шар цветной. Появление цветного шара будем рассматривать в качестве события А. Каждый из возможных результатов испытания (испытание состоит в извлечении шара из урны) является элементарным исходом (элементарным событием). Легко видеть, что эти исходы образуют полную группу попарно несовместных событий (обязательно появится только один шар) и они равновозможны (шар вынимают наудачу, шары одинаковые и тщательно перемешаны).

Событие А называется благоприятствующим событию В, если появление события А влечёт за собой появление события В.

Вероятность  наступления события А вычисляется как отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению события, к числу всех исходов испытания и обозначают Р(А). В рассматриваемом примере всего элементарных исходов 6; из них 5 благоприятствуют событию А. Следовательно, вероятность того, что взятый шар окажется цветным, равна Р(А)=.Это число и дает ту количественную оценку степени возможности появления цветного шара, которую мы хотели найти. Дадим теперь определение вероятности.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

, где m - число элементарных исходов, благоприятствующих А; n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Изобразим наглядно эту формулу.

 

Рисунок 1.2.2.7

 

 

Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Свойство 4. Вероятность противоположного события находится по формуле: 

Пример 1. Вероятность попадания некоторым стрелком по бегущей мишени равна 0,8. какова вероятность того, что этот стрелок промахнётся , сделав выстрел?

Решение: Пусть событие А – попадание по мишени, тогда Р(А)=0,8. Событие - промах. = 1-Р(А)=1-0,8=0,2.

Ответ: 0,2.

Задачи:

1. Для новогодней лотереи отпечатали 1500 билетов, из которых 120 выигрышных. Какова вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным?
2. Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 25. какова вероятность того, что взятый наугад учеником билет имеет: 1) однозначный номер; 2) двузначный номер?
3. Ученик при подготовке к экзамену не успел выучить один из тех 25 билетов, которые будут предложены на экзамене. Какова вероятность того, что ученику достанется на экзамене выученный билет?
4. Женя купил 2 лотерейных билета, и один из них оказался выигрышным. Можно ли утверждать, что вероятность выигрыша в лотереи
5. Для школьного новогоднего вечера напечатали 125 пронумерованных пригласительных билетов, между которыми предполагается разыграть главный приз. Какова вероятность, что номер счастливчика будет оканчиваться: а) на тройку; б) на девятку? в) Вова получил пригласительный билет с номером 33, а Таня – 99. Верно ли, что у Вовы больше шансов получить главный приз?
6. Два друга живут в одном доме, а учатся в разных классах. Уроки в школе заканчиваются в интервале от 13 до 14 часов. После занятий они договариваются ждать друг друга на автобусной остановке в течение 20 минут. Сколько приблизительно раз за год им удаётся поехать домой вместе, если в году 200 учебных дней?