Формирование, понятия дроби как рационального числа, на уроках математики в начальной школе

Например, дроби 3/5, 7/8 и 1/2— правильные дроби, в то время как 8/3, 9/5, 2/1и 1/1— неправильные дроби. Всякое целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1.

Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Например,  . В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из–за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь.

Несмотря на то, что рациональных чисел бесконечное множество и то, что мы можем записать только не бесконечно большие числа, можно считать, что мы можем записать любое рациональное число указанным выше способом, потому что любое рациональное число явно не бесконечное и запись ее будет содержать конечное число символов.

1.6.2        Высота дроби

Высота обыкновенной дроби — это модуль суммы числителя и знаменателя этой дроби. Высота рационального числа — это модуль суммы числителя и знаменателя несократимой обыкновенной дроби, соответствующей этому числу.

Например, высота дроби (–15/6) равна 15 + 6 = 21. Высота же соответствующего рационального числа равна 5 + 2 = 7, так как дробь сокращается на 3.

Как следствие, множество рациональных чисел является счетным множеством.

Это множество обладает свойством непрерывности. Это означает, что между любыми неравными между собой числами можно найти третье число, не равное предыдущему. Более того, сечение рациональных чисел на две половинки может быть открытым по одной или обеим границам этого сечения

Множество рациональных чисел является абелевой группой по операциям «сложение» и «умножение» по отдельности.

Множество рациональных чисел является полем по операциям «сложение» и «умножение».

1.6.3        Формальное определение

Формально рациональные числа определяются как множество классов эквивалентности пар {(m, n) | m Î Z, n Î N} по отношению эквивалентности (m, n) ~ (m’, n’), если m ∙ n’ = m’ ∙ n. При этом операции сложения и умножения определяются следующим образом:

(m1, n1) + (m2, n2) = (m1, n2 + m2, n1, n1 ∙ n2),

(m1, n1) ∙ (m2, n2) = (m1 ∙ m2, n1 ∙ n2),

1.6.4        Свойства рациональных чисел

Рациональные числа удовлетворяют шестнадцати основным свойствам, которые легко могут быть получены из свойств целых чисел.

1.      Упорядоченность. Для любых рациональных чисел a и b существует правило, позволяющее однозначно идентифицировать между ними одно и только одно из трёх отношений: « < », « > » или « = ». Это правило называется правилом упорядочения и формулируется следующим образом: два неотрицательных числа a = ma/na и b = mb/nb связаны тем же отношением, что и два целых числа ma/nb и mb/na; два неположительных числа a и b связаны тем же отношением, что и два неотрицательных числа |b| и |a|; если же вдруг a неотрицательно, а b — отрицательно, то a >b.

"a, b Î Q: a < b ˅ b < a ˅ a = b

2.      Транзитивность отношения порядка. Для любой тройки рациональных чисел a, b и c если a меньше b и b меньше c, то a меньше c, а если a равно b и b равно c, то a равно c.

"x, y, z Î Q: (x < y) Ù (y < z)→ x < z (транзитивность порядка);

3.      Операция сложения. Для любых рациональных чисел a и b существует так называемое правило суммирования, которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число c. При этом само число c называется суммой чисел a и b и обозначается (a + b), а процесс отыскания такого числа называется суммированием. Правило суммирования имеет следующий вид: (m1/n1) + (m2/n2) = (m1 ∙ n2 + m2 ∙ n1)/( n1 ∙ n2).

"a, b Î Q: $(a + b) Î Q

4.      Коммутативность сложения. От перемены мест рациональных слагаемых сумма не меняется.

("x, yΠQ): (x + y) = (y + x)

5.      Ассоциативность сложения. Порядок сложения трёх рациональных чисел не влияет на результат.

("x, y, z Î Q): (x + y) + z = x + (y + z)

6.      Наличие нуля. Существует рациональное число 0, которое сохраняет любое другое рациональное число при суммировании. 

($0ΠQ) ("xΠQ) : (x + 0 = x)

7.      Наличие противоположных чисел. Любое рациональное число имеет противоположное рациональное число, при суммировании с которым даёт 0.

("x, yΠQ) $(–x Î Q): (x + (–x) = 0).

8.      Связь отношения порядка с операцией сложения. К левой и правой частям рационального неравенства можно прибавлять одно и то же рациональное число.

"x, y, z Î Q: (x < y) → (x + z) < y + z

9.      Операция умножения. Для любых рациональных чисел a и b существует так называемое правило умножения, которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число c. При этом само число c называется произведением чисел a и b и обозначается (a · b), а процесс отыскания такого числа также называется умножением. Правило умножения имеет следующий вид:ma/na · mb/nb = ma · mb / na · na.

"a, b ÎQ: $(a · b) Î Q

10.  Коммутативность умножения. От перемены мест рациональных множителей произведение не меняется.

"x, yΠQ: (x ∙ y) = (y ∙ x);

11.  Ассоциативность умножения. Порядок перемножения трёх рациональных чисел не влияет на результат.

"x, y, z Î Q: (x ∙ y) ∙ z = x ∙ (y ∙ z);

12.  Наличие единицы. Существует рациональное число 1, которое сохраняет любое другое рациональное число при умножении.

$1ΠQ\{0}: "xΠQ: x ∙ 1 = x;

13.  Наличие обратных чисел. Любое рациональное число имеет обратное рациональное число, при умножении на которое даёт 1.

"xΠQ\{0}:$x–1: x ∙ x–1 = 1.

14.  Связь отношения порядка с операцией умножения. Левую и правую части рационального неравенства можно умножать на одно и то же положительное рациональное число.

"x, y, z Î Q: (x < y) Ù (z > 0) → y ∙ z < x ∙ z

15.  Дистрибутивность умножения относительно сложения. Операция умножения согласована с операцией сложения посредством распределительного закона: 

("x, y, z Î Q: (x + y) ∙ z = x ∙ z + y ∙ z

16.  Аксиома Архимеда. Каково бы ни было рациональное число a, можно взять столько единиц, что их сумма превзойдёт a.

"a Î Q $n Î N:   > a

Дополнительные свойства

Все остальные свойства, присущие рациональным числам, не выделяют в основные, потому что они, вообще говоря, уже не опираются непосредственно на свойства целых чисел, а могут быть доказаны исходя из приведённых основных свойств или непосредственно по определению некоторого математического объекта. Таких дополнительных свойств очень много. Здесь имеет смысл привести лишь некоторые из них.

·         Второе отношение порядка «>» также транзитивно.

"x, y, z Î Q: (x > y) Ù (y > z)→ x > z (транзитивность порядка);

·         Произведение любого рационального числа на ноль равно нулю.

"x Î Q: x · 0 = 0;

·         Отсутствие делителей нуля.

·         Рациональные неравенства одного знака можно почленно складывать.

"a, b, c, d Î Q: a > b ˄ c > d → a + c > b + d

·         Множество рациональных чисел Q является полем (а именно, полем частных кольца целых чисел Z) относительно операций сложения и умножения дробей.

·         Каждое рациональное число является алгебраическим.

Математика в силу своей специфики предоставляет большие возможно-

сти для учителя в плане развития мышления детей. Развивать мышление уча-

щихся можно при изучении, практически, любой математической темы. Мы ос-

тановились на рассмотрении долей и дробей, и именно это обусловило выбор

темы нашего исследования: «Развитие мышления младших школьников в про-

цессе пропедевтической работы по изучению дробей».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                               1.4

Формирование понятия доли и дроби в вариантных программах обучения математике

 

В соответствии с программой по математике, в начальных классах долж-

на быть проведена подготовка к изучению дробей в IV и V классах. Это значит,

в начальных классах надо создать конкретное представление о доле и дроби. С

этой целью предусматривается во 2 классе ознакомить детей с долями, их запи-

сью, научить сравнивать дроби, решать задачи на нахождение доли числа и

числа по доле; в 3 классе ознакомить с дробями, их записью, научить сравни-

вать дроби, научить решать задачи на нахождение дроби числа. Все названные

вопросы раскрываются на наглядной основе.

Методика изучения темы «Дроби» по традиционной программе М.И

Моро, М.А. Бантовой предполагает в начальных классах создание конкретных

представлений о доли и дроби. Уже во 2 классе учащиеся знакомятся с долями

и их записью. Дети учатся сравнивать доли, решать задачи на нахождение доли

числа, и числа по доли. В 3 классе ребята знакомятся с дробями, их записью,

учат сравнивать дроби, решать задачи на нахождение дроби числа.