Формирование, понятия дроби как рационального числа, на уроках математики в начальной школе

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 13 Ноября 2014 в 19:52, курсовая работа

Краткое описание

В любой системе общего образования математике занимает одно из центральных мест ,что несомненно говорит об уникальности этой области знаний.
История развития математики тесно связана с измерением величин. Однако как показала практика, для этих целей натуральных чисел недостаточно: довольно часто единица величины не укладывается целое число раз в измеряемой величине. Чтобы в такой ситуации точно выразить результат измерения, необходимо расширить запас чисел, введя числа, отличные от натуральных. К этому выводу люди приняли ещё в глубокой древности .Измерение длин ,площадей, масс и других привело к возникновению дробных чисел, что явилось основой введения понятия рационального числа.

Содержание

1.введение
Глава 1. исторический аспект происхождения дробей.

Понятие рационального числа


Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел.

Формирование понятия доли и дроби в вариантных программах обучения математике

Заключение.
Список используемой литературы.

Прикрепленные файлы: 1 файл

курсовая работа.doc

— 230.50 Кб (Скачать документ)

С начала XVII века начинается интенсивное проникновение десятичных дробей в науку и практику. В Англии в качестве знака, отделяющего целую часть от дробной, была введена точка. Запятая, как и точка, в качестве разделительного знака была предложена в 1617 году математиком Непером.

Развитие промышленности и торговли, науки и техники требовали все более громоздких вычислений, которые с помощью десятичных дробей легче было выполнять. Широкое применение десятичные дроби получили в XIX веке после введения тесно связанной с ними метрической системы мер и весов. Например, в нашей стране в сельском хозяйстве и промышленности десятичные дроби и их частный вид – проценты – применяются намного чаще, чем обыкновенные дроби.

Дроби в музыке. 

     Пифагорейцы, много занимавшихся музыкой и обожествлявшие число, считали, что Земля имеет форму шара и находится в центре Вселенной: ведь нет никаких оснований, чтобы она была смещена или вытянута в какую-то одну сторону. Солнце же, Луна и 5 планет (Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн) движутся вокруг Земли. Расстояния от них до нашей планеты таковы, что они как бы составляют семиструнную арфу, и при их движении возникает прекрасная музыка – музыка сфер. Обычно люди не слышат её из-за суеты жизни, и лишь после смерти некоторые из них смогут насладиться ею. А Пифагор слышал её при жизни. 

    Его ученики – пифагорейцы, много занимавшиеся музыкой и обожествлявшие число, исследовали, насколько повышается тон струны, если её прижать посередине, или на четверть расстояния одного из концов, или на треть. Обнаружилось, что одновременное звучание двух струн приятно для слуха, если длины их относятся как 1:2, или 2:3, или 3:4, что соответствует музыкальным интервалам в октаву, квинту и кварту. Гармония оказалась тесно связанной с дробями, что подтверждало основную мысль пифагорейцев: «число правит миром»…  

          Так дроби сыграли определяющую роль в музыке. И сейчас в общепринятой нотой записи длинная нота – целая – делится на половинки (вдвое короче), четверти, восьмые, шестнадцатые и тридцать вторые. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                            1.2

                                       Понятие рационального числа

 

 

В математике существует много разных чисел. Одни из них называются рациональными.

Рациональное число - это число, представление которого возможно в виде обыкновенной дроби. Например, 3/4 или 5/6. Числитель этой дроби - это целое число, а, в свою очередь, знаменатель - натуральное число. Мы знаем, что натуральное число - это число, которое используют при счете любых предметов. Целые числа - это любые натуральные и противоположные им числа, а также 0.

Также, подмножеством рациональных чисел является множество целых чисел. Рациональные числа имеют четыре основные свойства - это сложение, умножение, деление (кроме ноля) и вычитание. Также, они могут быть упорядочены. Для каждого числа из множества рациональных чисел существует обратное и противоположное число.

Область, в которой применены рациональные числа огромная. Такие числа применяют вфизике, математике, химии, экономике и т.д. Но самое большое значение эти числа имеют в банковских и финансовых системах.

 

Рациональное число (лат. ratio — отношение, деление, дробь) — число, представляемое обыкновенной дробью mn, числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число, к примеру 2/3. Понятие дроби возникло несколько тысяч лет назад, когда, сталкиваясь с необходимостью измерять некоторые вещи (длину, вес, площадь и т. п.), люди поняли, что не удаётся обойтись целыми числами и необходимо ввести понятие доли: половины, трети и т. п. Дробями и операциями над ними пользовались, например, шумеры, древние египтяне и греки.

 

 

 

 Термин "рациональное число" произошел от латинского слова "ratio", что в переводе означает "отношение" (дробь).

 

 

 

                                           

 

 

 

 

 

                                                            1.3.

Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел.

 

Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел

Чтобы множество Q+ положительных рациональных чисел являлось расширением множества N натуральных чисел, необходимо выполнение ряда условий.

 

Первое условие - это существование между N и Q+ отношения включения. Докажем, что N   Q+.

 

Пусть длина отрезка х при единичном отрезке е выражается натуральным  числом т. Разобьем единичный отрезок на правных частей. Тогда n-ая часть единичного отрезка будет укладываться в отрезке х точно   раз, т.е. длина отрезка х будет выражена дробью  . Значит, длина отрезка х выражается и натуральным числом т, и положительным рациональным числом  . Но это должно п быть одно и то же число. Поэтому целесообразно считать, что дроби вида   являются записями натурального числа т. Следовательно, N   Q+.

 

Так, например, натуральное число 6 можно представить в виде следующих дробей:  ,  ,  ,  ,  , и т. д.

 

Отношение между множествами N и Q+ представлено на рисунке 28.

 

Числа, которые дополняют множество натуральных чисел до множества положительных  рациональных, называются дробными.

 

 

                          Второе условие, которое должно быть выполнено при расширении множества натуральных чисел, - это согласованность операций, т.е. результаты арифметических действий, произведенных по правилам, существующим для натуральных чисел, должны совпадать с результатами действий над ними, но выполненных по правилам, сформулированным для положительных рациональных чисел. Нетрудно убедиться в том, что и это условие выполняется.

 

Пусть а и b - натуральные числа,   - их сумма, полученная по правилам сложения в N. Вычислим сумму чисел а и b по правилу сложения в Q+. Так как  ,  , то  .

 

Убедиться в том, что второе условие выполняется и для других операций, можно аналогично или подсмотреть тутhttp://www.zaochnik.com/kontrol.html .

 

Третье условие, которое должно быть выполнено при расширении множества натуральных чисел - это выполнимость в Q+операции, не всегда осуществимой в N. И это условие соблюдено: деление, которое не всегда выполняется в множестве N, в множестве Q+ выполняется всегда.

 

Сделаем еще несколько дополнений, раскрывающих взаимосвязи между натуральными и положительными рациональными числами.

 

1. Черту в записи  дроби   можно рассматривать как знак деления.

 

Действительно, возьмем два натуральных числа т и п и найдем их частное по правилу (4) деления положительных рациональных чисел:

 

 

Обратно, если дана дробь  , то ее можно рассматривать как частное натуральных чисел т и п:  .

 

2. Любую неправильную  дробь можно представить либо  в виде натурального числа, либо  в виде смешанной дроби.

 

Пусть   - неправильная дробь. Тогда т > п. Если т кратно п, то в этом случае дробь   является записью натурального числа. Если число т не кратно п, то разделим т на п с остатком:  , где  . Подставим   вместо т в запись   и применим правило (1) сложения положительных рациональных чисел:

 

.

 

Так как  , то дробь   - правильная. Следовательно, неправильная дробь   оказалась представленной в виде суммы натурального числа q и правильной дроби  . Это действие называется выделением целой части из неправильной дроби. Например, .

 

Сумму натурального числа и правильной дроби принято записывать без знака сложения: т.е. вместо   пишут   и называют такую запись смешанной дробью.

 

Справедливо также утверждение: всякую смешанную дробь можно записать в виде неправильной дроби. Например:

 

.

Основными математическими объектами с незапамятных времен являются числа, множества и элементы множества, их свойства. Число́ — абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа изменялось и обогащалось и превратилось в важнейшее математическое понятие. Письменными знаками (символами) для записи чисел служат цифры. Современная математика оперирует несколько другими математическими понятиями. Если внимательно проанализировать их суть, то они в общем–то являются эквивалентными или изоморфными понятиям "число", "множество", "отображение", "свойство". 

В теоретико–множественном смысле числа являются классом множеств с определенными свойствами. Эти свойства выражаются через тип упорядоченности, размерность, топологические и метрические свойства основанных на них множеств. Основное свойство чисел – это их мощность, которая может быть конечной, счетной или континуальной. Соответственно, числа могут быть представителями любого класса множеств с подходящей мощностью. Даже множества с мощностью больше континуума можно представить как множество всех функций, определенных на числовом множестве. В этом проявляется универсальность понятия "число".

Другое важное свойство чисел – это ее размерность. Есть несколько классов чисел с различающимися свойствами. Есть линейные (одномерные) числа – это натуральные N, положительные N+, целые Z, рациональные R и вещественные Q числа. Есть составные многомерные или гиперкомплексные числа – это комплексные числа C, кватернионы H, бикватернионыB, невырожденные квадратные матрицы M, числа Клиффорда K и другие. Тензор (в том числе и вектор) в обычном понимании не является числом.

Интересным видом чисел являются гипердействительные числа. Они появляются в нестандартном анализе, использующем понятия "бесконечно малые" и "бесконечно большие" чисел как расширение множества действительных до этих "бесконечных" чисел.

Попробуем определить, что такое "число". Точнее, виды чисел.

Самыми простыми числами являются целые, рациональные, вещественные и комплексные числа. Они коммутативны, ассоциативны и дистрибутивны.

Основными видами чисел, обладающими похожими свойствами, являются четыре вида чисел. Это действительные числа, комплексные, кватернионы и октавы. Коммутативность умножения для последних двух видов чисел не выполняется. Но они все обладают алгебрами без делителей нуля.

Дальнейшие расширения чисел могут не иметь и свойство ассоциативности. Дистрибутивность соблюдается.

  • А. А. Кириллов, Что такое число?, выпуск 4 серии «Современная математика для студентов», М., Физматлит, 1993.

1.1        Основные виды чисел

Натуральные числа, получаемые при естественном счёте; множество натуральных чисел обозначается N. Т.о. (иногда к множеству натуральных чисел также относят ноль, то есть N = {0, 1, 2, 3, …}). Натуральные числа замкнуты относительно сложения и умножения (но не вычитания или деления). Натуральные числа коммутативны и ассоциативны относительно сложения и умножения, а умножение натуральных чисел дистрибутивно относительно сложения.

Целые числа получаемые объединением натуральных чисел с множеством отрицательных чисел и нулём, обозначаются Z = {–2, –1, 0, 1, 2, …}. Целые числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения (но не деления).

Рациональные числа — числа, представленные в виде дроби m/n (n ≠ 0), где m — целое число, а n — натуральное число. Для рациональных чисел определены все четыре «классические» арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление (кроме деления на ноль). Для обозначения рациональных чисел используется знак Q.

Действительные (вещественные) числа представляют собой расширение множества рациональных чисел, замкнутое относительно некоторых (важных для математического анализа) операций предельного перехода. Множество вещественных чисел обозначается R. Его можно рассматривать как пополнение поля рациональных чисел Q при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной. Кроме рациональных чисел, R включает множество иррациональных чисел, не представимых в виде отношения целых. Кроме подразделения на рациональные и иррациональные, действительные числа также подразделяются на алгебраические и трансцендентные. При этом каждое трансцендентное число является иррациональным, каждое рациональное число — алгебраическим.

Комплексные числа C, являющиеся расширением множества действительных чисел. Они могут быть записаны в виде z = x + iy, где i — т. н. мнимая единица, для которой выполняется равенство i2 = − 1. Комплексные числа используются при решении задач квантовой механики, гидродинамики, теории упругости и пр.

Для перечисленных множеств чисел справедливо следующее выражение: N Ì Z Ì Q Ì R Ì C.

Гипердействительные числа – это числа вида

1)      a + e, где a – обычное число, a - бесконечно малое число;

2)      ∞ = 1/e – бесконечно большое число.

Гипердействительные числа не являются числами в обычном понимании. Они применяются во многих разделах математики, особенно в дифференциальном и интегральном исчислениях, а также везде, где используются предельные числовые последовательности, даже при определении вещественных чисел.

Множество рациональных чисел является естественным обобщением множества целых чисел. Легко видеть, что если у рационального числа a = m/n знаменатель n = 1, то a = m является целым числом. В этой связи возникают некоторые обманчивые предположения. Во–первых, кажется, что рациональных чисел больше чем целых, на самом же деле и тех и других счётное число. Во–вторых, возникает предположение, что такими числами можно измерить абсолютно точно любое расстояние в пространстве. На самом деле, для этого используются вещественные числа, рациональных же чисел для этого недостаточно.

1.6.1        Виды дроби

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной.

Информация о работе Формирование, понятия дроби как рационального числа, на уроках математики в начальной школе