Активізація логічного мислення учнів на уроках математики

В₁. Вставте замість «...» необхідні логічні зв'язки «і», «або», «якщо..., то...», «тоді, і тільки тоді...». Розгляньте всі можливі варіанти.

... |х – 5| = 4 ... х – 5 = 4 ... х – 5 = -4,

... х – 5 = 4 ... х – 5 = -4,

... |х – 5|= 4,

... |х – 5| =4 ... х – 5 = 4 ... х – 5 = -4.

В₂. Знайдіть   розв'язки рівнянь |10 – |2х – 2|| = 2; ||х + 3| - 5| = |-2|.

В₃. Знайдіть множини цілих розв'язків нерівностей:

|х| < 2;   1 < |х| < 5.

Творчі вправи

Т₁. Серед наведених тверджень знайдіть відповідні пари необхідних і достатніх умов. Утворіть правильні твердження. Яку логічну зв'язку при цьому використано?

А) Добуток аb = 0;

В) а = 0 і b ≠ 0;      С)  |а| = а;

D) |а| = -а;

Е) Частка а : b = 0;

F) а = 0 або b = 0;    К)  а ≥ 0;

М) а < 0.

Т₂. Запишіть у вигляді висловлення із зв'язкою «якщо ..., то ...»:

1) А достатня умова  для В;

2) F необхідна умова для X.

Формування деяких логічних знань учнів, зокрема про схеми правильних міркувань і закони де Моргана, доцільно проводити, змінюючи прямий шлях на опосередкований. Тобто, невеликий обсяг логічних знань подавати у явному вигляді, при цьому використовувати логічні вправи, а опанування домагатися опосередковано в ході виконання системи математичних вправ з логічним навантаженням.

Міркування, які застосовуються при вивченні математики у 5-6 класах, переважно представлені: суто умовними, умовно-категоричними і розділово-категоричними силогізмами. Схеми міркувань — стверджувальним і заперечувальним модусом. Наприклад при розв'язуванні рівнянь способом визначення невідомого компонента арифметичної дії, а пізніше на основі використання властивостей рівнянь, спочатку наводиться загальне положення, а потім частинне, істинність якого слідує з істинності загального положення. Таким чином, у неявному вигляді використовується стверджувальний модус.

Однак слід пам'ятати, що учні 5-6 класів виконують прості дедуктивні міркування, здебільшого орієнтуючись на змістові зв'язки. Головним критерієм істинності проведених міркувань є відповідність відомим фактам. Тому вправи, що розв'язуються на інтуїтивно-неусвідомленому рівні (Н₁; Н₂) і сприяють виявленню рівня «інтуїтивних передзнань» учнів, сприймаються краще, якщо подані у вербалізованій формі, і мають змістове наповнення, яке узгоджується зі здоровим глуздом. А от провокуюча вправа Н₃ повинна суперечити здоровому глузду і слугувати «містком» для переходу до виконання вправ на усвідомленому рівні, мотивувати цей перехід.

Проілюструємо вищесказане на прикладах.

Н₁. Зроби висновок із наступних тверджень:

1. Усі ліки не смачні. Александрійський лист — лікарська рослина.
2. Жодна дитина не має терпіння. Жодна нетерпляча людина не може сидіти спокійно.
3. Деякі з тих, хто вартий слави, отримують нагороди. Жоден, крім хороброго, не вартий слави.

Н₂. Чи можна зробити деякий висновок із наведених тверджень? Якщо відповідь позитивна, то який саме висновок?

1. Деякі уроки — важкі. Те, що є важким, вимагає посиленої уваги.
2. Сергійко — охайна дитина. Всі охайні люди — щасливі.
3. Деякі гарні булочки — некорисні. Жодна смачна булочка не є некорисною.

Н₃. Наведи приклад математичного змісту, де використовуються аналогічні схеми міркувань.

Для успішного розв'язання третього завдання вправи Н₂ орієнтації на змістові зв'язки недостатньо, треба застосувати певні логічні знання (висловлення у заперечливій формі перетворити у висловлення у стверджувальній формі). При цьому слід дотримуватися закону подвійного заперечення і правила, за яким заперечуються квантифіковані висловлення. Виконання такого завдання мотивує перехід до репродуктивних вправ.

У ході розв'язування репродуктивних вправ (Р₁; Р₂; Р₃) відповідні логічні знання даються учням у явному вигляді, але в описовому плані без введення формально логічної символіки і термінології. Змістове наповнення репродуктивних вправ доцільніше брати математичного характеру.

Розглянемо, наприклад, тему «Подільність чисел» (6 кл.). Вправу Р₁, яка передбачає «дію за зразком» учитель починає розв'язувати сам, даючи у деталізованій формі зразок міркувань. Закінчують її виконувати учні, наслідуючи зразок міркувань учителя. Процес розв'язування характеризується деталізацією і вербалізацією.

Р₁. Нехай дано послідовність чисел 4; 6; 8; 13; 15; 17; 19. Замість «...» вставте слово «всі» або «деякі» так, щоб твердження було спочатку істинним, а потім хибним:

а) ... записані числа парні;

б) ... записані числа з другого десятку непарні;

в) ... записані числа з першого десятку або другого;

г) ... записані числа двозначні;

д) ... записані числа можна  подати у вигляді 1n + 1, де n — натуральне число;

e) ... записані числа можна подати у вигляді 2n або 2n + 1, де n — натуральне число;

є) ... записані числа округлюються до 20;

ж) ... записані числа округлюються до 10.

Р₂. Визначте істинність твердження. Якщо воно є хибним, заперечте його.

На дошці записані числа 10; 8; 6; 4; 2:

а) кожне із записаних чисел не більше 10 і ділиться на 2;

б) деякі із записаних чисел не менше 4 і округлюються до 10;

в) деякі із записаних чисел можна подати у вигляді 2n або 2n +  1, де n — натуральне число;

г) жодне із даних чисел не є тризначним;

д) усі числа записані за порядком спадання і є парними.

Р₃. Незнайко сказав, що він зібрав не менше 105 грибів, уточнивши, що їх приблизно 100, якщо округлити число зібраних ним грибів до десятків, і що всі його гриби можна розкласти порівно у три корзини. Чому всі сміялися?

Варіативні вправи (В₁; В₂; В₃) передбачають формування логічних знань на продуктивному рівні.

В₁. Дмитрик розказав, що у нього не більше 50 марок, і він може їх розкласти порівно в 2 альбоми, але 1 марка залишиться, у З альбоми, але 2 марки залишаться, у 4 альбоми, але З марки залишаться, у 5 альбомів, але 4 марки залишаться. Виявилося, що Дмитрик помилився. У чому міг Дмитрик помилитися? Яка кількість марок могла у нього бути?

В₂. Яке висловлення Незнайки заперечив Знайко, сказавши, що:

1. для кожного натурального числа сума цифр ділиться на 3, або це число не ділиться на 3;
2. для кожного натурального числа сума цифр не ділиться 
   на 9, або число ділит<span class="dash041e_0431_044b_0447_043d_044b_0439__Char" sty