Активізація логічного мислення учнів на уроках математики

 

• Відріжемо зліва одну цифру 1, потім цифру 2. Відріжемо 12, але далі знову 1212... Що ж робити?
• Відріжемо спочатку трицифрове число 121, потім двоцифрове 21 і знову трицифрове 212. Потім чотирицифрове 1212, п'ятицифрове 12121 і знову чотирицифрове 2121. Залишиться п'ятицифрове 21212.

Відповідь: смужку можна розрізати на 10 частин.

• Поміркуйте. А на скільки щонайбільше частин можна розрізати смужку, на якій написано 31 цифру, 36 цифр?

Відповідь: смужку, на якій написано 31 цифру, можна розрізати на 10 різних частин, наприклад: 1, 2, 12, 121,21,212, 1212, 12121, 2121, 212121; а на якій написано 36 цифр — на 11 частин: перші 10 частин будуть такі, як у задачі 4, а 11-та — шестицифрове число 121212.

Завдання додому. Є смужка паперу, на якій написано 56-цифрове число, що складається із цифр 121212...12. На яку найбільшу кількість частин можна розрізати цю смужку, щоб усі утворені числа при цьому були різні?

Відповідь: на 14 частин.

Задача 5. На столі чотири склянки лимонаду. Відомо, що в одній склянці лимонад отруєний. Як за дві спроби дізнатися, в якій склянці отрута? (Дозволяється для проби брати з кожної склянки по краплі напою, змішувати).

Розв'язання.

• Розділимо всі склянки на дві групи (по дві в кожній) і візьмемо по краплі з перших двох склянок, змішаємо (проба перша). Якщо виявиться, що лимонад отруєний, то другу пару перевіряти не потрібно і другою спробою перевірити краплю, взяту з будь-якої склянки першої пари. Якщо ця крапля отруєна, то отрута в цій склянці, якщо ні — то в іншій склянці цієї ж пари. Поясніть, чому.
• Якби і в другій склянці цієї групи напій не був отруєний, то перша проба не показала б, що в перших двох склянках отрута.
• Якщо лимонад у першій парі склянок не отруєний, як бути? Хто здогадався?
• Тоді отрута — в іншій парі склянок. Перевіривши там навмання взяту склянку, робимо висновок: якщо проба позитивна, отрута в цій склянці, якщо негативна — в іншій склянці цієї пари.
• Зауважимо, що для трьох склянок потрібно також дві спроби, оскільки 3 = 2 + 1, хоча може статися, що під час перевірки однієї склянки отрута буде саме в ній, і тоді нам пощастить — відбудемося однією пробою. Якщо ж напій у цій склянці не отруєний, доведеться перевіряти ще одну з двох склянок, що залишилися.

Підбиваючи підсумок, корисно скласти з учнями правило-орієнтир для розв'язування задач такого типу.

Правило - орієнтир

1. Розділіть всі склянки на дві однакові групи.
2. Візьміть з кожної склянки першої групи по краплі напою, змішайте, зробіть пробу. Якщо проба дала позитивний результат, то отруєний напій у склянці серед першої групи, якщо ж негативний — 
   то серед другої.
3. З групою склянок, серед яких склянка з отрутою, виконайте знову те саме, що написано в пунктах 1 і 2. Робіть так доти, поки визначите отруєний лимонад.

• Давайте перевіримо, чи всі зрозуміли розв'язання цієї задачі? Поміркуйте. Є 8 склянок з лимонадом. Відомо, що отрута лише в одній з них.

За три проби визначте, в якій склянці отрута.

• Розділимо склянки навпіл (на дві групи по 4 склянки в кожній). Візьмемо по краплі напою з кожної склянки однієї групи, змішаємо, зробимо 
  пробу. Визначимо, в якій групі є склянка з отруєним лимонадом. Цю групу склянок розділимо знову на дві групи (по дві склянки в кожній)...
• Хто вже помітив повторення?
• Далі розв'язання задачі буде таке саме, як у задачі 5.
• Зобразимо схематично розв'язання задачі:

1-й крок: 8 = 4 + 4,

2-й крок: 4 = 2 + 2,

3-й крок: 2=1 + 1,

отруєний напій виявлено.

Завдання додому. Поясніть, чому для виявлення склянки з отрутою:

1. якщо склянок 1 або 2, достатньо однієї проби;
2. якщо склянок 3 або 4, достатньо двох проб;
3. якщо склянок 5, 6, 7, 8 — трьох проб;
4. якщо склянок 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 - чотирьох проб.

Задача 6. Є 9 монет, зовні однакових, серед яких одна монета фальшива (легша). Як за дві спроби, використовуючи шалькові терези без важків, знайти фальшиву монету?

Після розв'язування попередньої  задачі учні можливо, почнуть розділяти монети на дві групи, треба запропонувати їм поділ монет на три групи. За одне зважування порівняти дві групи монет, поклавши на кожну шальку терезів по три монети. Можливі два випадки: а) терези урівноважені, тоді фальшива монета в третій групі монет; б) терези неврівноважені, тоді фальшива монета серед тих трьох, які легші.

В обох випадках після першого зважування матимемо три монети, які знову розкладемо на три групи (по одній) і за друге зважування визначимо фальшиву монету (на шальки терезів покладемо по одній монеті; якщо вони будуть урівноважені, то фальшива монета залишилася поза терезами, якщо неврівноважені — то фальшива монета легша).

Завдання додому. 1) Складіть правило-орієнтир для розв'язування цієї задачі. Користуючись цим правилом, обґрунтуйте, як за три спроби знайти фальшиву (легшу від інших) монету серед 27 зовні однакових монет за допомогою таких самих терезів.

1) Серед якої максимальної кількості монет можна виявити фальшиву за допомогою чотирьох зважувань?

Відповідь: серед 81 монети.

Посильність та варіативність  завдань для домашньої роботи дають змогу викликати в учнів позитивні емоції: радість успіху від самостійного розв'язання складної задачі вдома, віру в свої сили, почуття власної гідності, значимості під час виконання складного завдання, успішного подолання труднощів, які зустрічаються тощо.

Завдання вчителя — організувати процес навчання так, щоб в учнів підвищувався інтерес до знань, зростала потреба у повнішому й глибшому їх засвоєнні, розвивалася самостійність у роботі, щоб кожен учень брав найактивнішу участь, працював з повним напруженням своїх сил.

 

 

Розділ 2. Вправи з логічним навантаженням на уроках математики в 5-6 класах

 

2.1. Творчі вправи

 

Логічні знання та вміння застосовуються в 5-6 класах як у явному, так і у неявному вигляді. Так, наприклад, у вигляді умовних висловлень сформульовані правила порівняння й округлення натуральних чисел, основна властивість дробу, основна властивість пропорції, властивості прямо пропорційних і обернено пропорційних величин та ін. У 5-6 класах передбачається також виконання певних логічних операцій з поняттями: означення, поділ, класифікація на основі виділення суттєвих властивостей (виділяються суттєві властивості натурального ряду, координатної прямої, геометричних фігур).

У підручниках подано зразки означень через найближчий рід і видову відмінність (ламана, діагональ многокутника та ін.), генетичних означень (кут, коло (у 5 кл.), півпряма та ін.). Школярі ознайомлюються з прийомами, що замінюють означення понять: описом, показом, характеристикою (симетричні фігури, піраміда, конус, призма та ін.); з класифікацією трикутників, дробів, задач певних типів. Уміння знаходити наслідки із наведених висновків, виділяти суттєве в умові, знаходити необхідні умови для даних, наведених у задачі, застосовуються у ході розв'язування арифметичних задач синтетичним способом.

Під час розв'язування арифметичних задач аналітичним способом знадобиться уміння виділяти суттєве у запитанні задачі, знаходити висновки щодо виділеного наслідку, знаходити достатні умови для наслідку. При розв'язуванні нестандартних арифметичних задач учні знаходять закономірності, висувають гіпотези, доводять або спростовують їх, застосовують схеми правильних одно-двокрокових дедуктивних міркувань, індуктивних міркувань, міркувань за аналогією.

Отже, пропедевтична робота з формування елементів логічних знань та умінь учнів відбувається вже у 5-6 класах. Однак існують об'єктивні складності у ході її здійснення. По-перше, програма не передбачає спеціального часу для введення елементів логічних знань. По-друге, вчитель сам має володіти ґрунтовними логічними знаннями, але не повинен подавати ці знання у явному вигляді учням. Тому прямий шлях формування логічних знань та умінь є недоцільним.

Найкраще, на нашу думку, якщо вчитель виділить логічну складову навчального матеріалу, тобто ті знання та уміння, застосування яких відбувається, переважно, у неявному вигляді та сприяє кращому засвоєнню математичних знань. І потім у процесі навчання будуватиме систему спеціальних завдань (вправ з логічним навантаженням) з урахуванням основ тих логічних умінь, які він формує.

Отже, для розвитку логічного мислення учнів 5-6 класів доцільніше використовувати опосередкований шлях формування та розвитку логічних знань і умінь.

З досвіду практики, виявлення наявних рівнів логічних знань та умінь учнів 5-6 класів, формування їх знань про складні та прості висловлення, формування умінь позначати поняття, проводити класифікацію понять, міркувати за аналогією, знаходити закономірності, висувати гіпотези, застосовувати деякі схеми правильних міркувань краще здійснювати опосередковано. Формування ж інших знань, наприклад, знань про логічні закони (виключення третього, закон несуперечності, закони де Моргана), знань про логічні помилки, про необхідні та достатні умови проходить успішніше, якщо опосередкований шлях змінити на перехідні варіанти, тобто, певні логічні факти давати в явному вигляді.

Зазначимо, що процес формування логічних знань та умінь не слід пов'язувати із засвоєнням їх на формально-логічному рівні, тобто на рівні введення термінології та символіки формальної логіки.

Одним із найефективніших  засобів опосередкованого формування та розвитку логічного мислення учнів 5-6 класів є система диференційованих вправ з логічним навантаженням, розв'язування яких у ході навчання математики поєднується з розв'язуванням математичних вправ і арифметичних задач. При цьому математичні вправи з логічним навантаженням, які виконуються на усвідомленому рівні (репродуктивні, варіативні, творчі) повинні враховувати цілі навчання математики і створюватися на основі програмового матеріалу. Також необхідними є вправи, які виконуються на інтуїтивно-неусвідомленому рівні. За місцем у навчальному процесі вони є підготовчими, за дидактичним призначенням — діагностуючими, за формою подання умови — предметними, наочними, символічними.

Спинимося на проведенні пропедевтичної роботи з учнями 5-6 класів з формування передзнань про необхідні і достатні умови. Формування знань про необхідні і достатні умови у явному вигляді віднесено до 8-9 класів з поглибленим вивченням математики і є непростим навіть для дітей старшого шкільного віку. Тим необхіднішою є пропедевтична робота, яку можна розпочинати вже у 5-6 класах, наприклад, при вивченні умови рівності добутку (частки) нулю, умови, за якої дріб є правильним або неправильним, ознак подільності, при вивченні поняття «модуль числа».

Практика свідчить, що дітям цього віку мало доступне розчленування випадку необхідності умови В для А і достатності умови В для А. Однак загальний підхід, згідно з яким пряме і обернене імплікативне судження (якщо А, то В, і якщо В, то А) в разі їх істинності можна замінити одним за допомогою логічної зв'язки «тоді, і лише тоді», виявляється доступним дітям цього віку.

Наприклад, при вивченні теми «Модуль числа» (6 кл.) вчителю  доцільно роз'яснити на прикладах, що геометричною інтерпретацією модуля числа є відстань від точки, що позначає число на координатній прямій, до початку координат. Після цього міркування вчителя можуть бути такими.

Якщо |х| = 5, то х = 5, або х = -5, і навпаки, якщо х = 5, або х = -5, то |х| = 5.

Учитель може співставити  хід своїх міркувань із наведеними у таблиці (див. таб. 1).

Якщо мають місце  перше і друге твердження, то « є необхідною і достатньою умовою для {, тобто { має місце тоді, і лише тоді, коли має місце «.

Тобто, для того щоб |х| = 5, необхідно і достатньо, щоб х = 5 або х = -5. Інакше |х| = 5 тоді і тільки тоді, коли х = 5 або х = -5.

 

Таблиця 1

Необхідні й  достатні умови

Якщо має місце {, тоді має місце «	« необхідно слідує з {, або « необхідно для {	{ достатньо для «
Якщо має місце «, тоді має місце {	« достатньо для {	{ необхідно слідує з «, або { необхідно для «

 

На усвідомленому рівні  застосування знань можливим є виконання вправ такого типу.

Р₁. Чому необхідною і достатньою умовою рівності |х| = 3 є виконання умов: х = 3 або х = -3?

Р₂. Сформулюй необхідну і достатню умову для того, щоб |х| = . За допомогою якої логічної зв'язки утворене це твердження?

Р₃. (контрприклад). Сформулюй необхідну, достатню, необхідну і достатню умови того, щоб |х| = -3.

Варіативні вправи можна  змінювати шляхом утруднення логічної складової або математичного навантаження вправ. Перший шлях є недоцільним, бо такі вправи спрямовані на формування правильних інтуїтивних уявлень про необхідні й достатні умови. Тому краще їх ускладнювати за рахунок нарощування математичного, а не логічного навантаження. Перевірку необхідності й достатності умови здійснювати через перевірку істинності двох імплікативних висловлень. У якості варіативних вправ можна застосовувати такі завдання.