Активізація логічного мислення учнів на уроках математики

Міністерство освіти і науки України

Управління освіти і  науки Сумської обласної державної  адміністрації

Сумський  обласний інститут післядипломної педагогічної освіти

 

Кафедра психології

 

 

Активізація логічного мислення учнів  на уроках математики

 

Випускна творча робота

 

слухача курсів вчителів математики (22.01 – 26.01.07. – н.с., 26.02 – 02.03.07.– е.с.), вчителя математики ЗОШ І-ІІІ ст. №6 м. Лебедина

Кудлай Антоніни Борисівни

 

Науковий керівник:

кандидат психологічних  наук, завідуючий кафедри психології

Шаванов Сергій Валентинович

 

Суми – 2007

 

ПЛАН

 

ВСТУП ..................................................................................................................... 3

 

Розділ 1. Організація  навчальної діяльності школярів під  час розв’язування логічних задач ................................................. 5

1. Означення логічної задачі, її можливості, застосування, розвиток математичної інтуїції ................................................................................... 5
2. Модель організації діяльності учнів 5-7 класів при розв’язуванні логічних задач у позаурочний час .............................................................................. 9

 

Розділ 2. Вправи з логічним навантаженням на уроках математики в 5-6 класах ....................................................................... 16

2.1.      Творчі  вправи ............................................................................................. 16

2.2.       Розв’язуємо  логічні задачі ....................................................................... 25

2.3.       Командні задачі ......................................................................................... 36

 

ВИСНОВКИ ......................................................................................................... 38

 

Список використаних джерел ......................................................... 39

 

Додатки ............................................................................................................

 

ВСТУП

„Логічними”, як правило, називають нестандартні задачі, які дають змогу навчити учнів розмірковувати, критично мислити, знаходити правильне розв’язання проблеми, застосовувати знання на практиці, переносити відомі йому способи дій у нові для нього ситуації та відкривати нові способи діяльності. Створення у процесі навчання проблемних ситуацій і розгортання на їх основі активної пошукової діяльності учнів допомагає формувати в школярів стійкий пізнавальний інтерес до предмета, зокрема математики, сприяє самореалізації, саморозвитку учнів, становленню особистості, здатної без сторонньої допомоги оволодівати знаннями і способами діяльності, розв’язувати задачі.

Для формування логічних умінь учнів необхідна цілеспрямована система вправ. На заняттях математичного  гуртка я пропонувала учням для розв’язування цікаві нестандартні задачі, що вимагають кмітливості й винахідливості, задачі парадоксального характеру, які потребують прояву інтуїції, домислу тощо.

Досвід свідчить, що найважче сформулювати гіпотезу для розв’язання  задачі, знайти шлях її пошуку. Учні в більшості складних випадків керуються інтуїцією, за допомогою якої вони намагаються доповнити нестачі потрібної їм інформації. Вивчаючи особливості учнівської діяльності під час розв’язування логічних задач, ми впевнилися, що вміння здогадуватися учнів треба навчати спеціально. Поступово можна виробити в учнів інтуїтивні вміння високого рівня. Без такої роботи у школярів стихійно формуються намагання вгадувати розв’язок там, де необхідно глибоко проаналізувати умову. Оскільки такі способи, як правило, не можуть привести до відшукання шляхів розв’язування вправ, то учні не тільки розчаровуються у своїх можливостях, а й допускають перекручення змісту задач, недбало аналізують дані в них співвідношення.

Корисно також виробляти  в учнів уміння охоплювати математичну структуру задачі, її каркас, ідею розв’язування. Те, що учні повинні усвідомити й запам’ятати, вчителю варто абстрагувати від конкретної форми і подати у вигляді узагальненої структури, щоб тим самим робити перші кроки у виробленні умінь самостійно здійснювати математичні узагальнення.

Уміло підводячи учнів  до правильного способу розв’язування, вчителеві необхідно зберегти такт і міру допомоги, щоб учні мали змогу  самостійно розв’язати задачу і отримати моральне задоволення від досягнутого успіху. Радість від творчої удачі – незамінний стимул у роботі.

Покажемо можливу модель організації діяльності учнів 5-7 класів при розв’язуванні логічних задач  у позаурочний час.

 

 

 

 

Розділ 1. Організація  навчальної діяльності школярів під  час розв’язування логічних задач

 

1.1. Означення логічної задачі, її можливості, застосування, розвиток математичної інтуїції

 

Задача 1. У математичному турнірі беруть участь 7 учнів. Кожен учень знайомий принаймні з чотирма іншими. Доведіть, що серед учасників турніру є хоча б одна рійка учнів, знайомих між собою.

Розв’язування задачі починаємо з  низки запитань, які допоможуть зрозуміти  її умову.

• Давайте з’ясуємо, що означає: кожен учень знайомий принаймні з чотирма іншими?
• Це означає, що він знайомий з 4, 5 чи 6 учнями.
• Правильно, а чому не з 7 учнями?
• Один з цих учнів – він сам, крім нього є ще 6 учнів.
• А зі скількома учнями щонайбільше незнайомий будь-який учень?
• З двома, оскільки 7 = 1 + 4 + 2, де 1 – це сам учень; 4 – знайомі йому учні; 2 – незнайомі.
• Прочитайте уважно ще раз умову задачі. Що нам треба довести7
• Треба довести, що серед учасників турніру є хоча б одна трійка учнів, знайомих між собою.
• Поміркуйте, коли нашу задачу розв’язати найлегше: коли кожен учень знайомий з 4 учнями чи з 5, 6, і чому?
• Якщо кожен учень знайомий з більшим числом учнів (5, 6), то серед усіх учнів легше вибрати трійку, що задовольняє умову задачі. Найскладніше у випадку, коли кожен знайомий тільки з 4 учнями. Тоді незнайомих між собою дітей буде найбільше.
• Добре. Виберемо серед учнів двох, які між собою знайомі. Ми вже обґрунтували, що це можливо, назвемо їх умовно А (Андрій) і Б (Борис). Тоді скількох учнів вони вдвох щонайбільше не знатимуть?
• Оскільки кожен з них не знає щонайбільше двох, то обидва не знатимуть щонайбільше чотирьох.
• Оскільки 7 = 2 + 4 + 1, то двоє наших учнів обов’язково знатимуть одного учня. Назвемо цього учня умовно В (Василь). Що тоді можна сказати про трійку А, Б, В?
• Усі вони знайомі між собою.
• Отже, це і є та трійка, що задовольняє умову задачі. Підіб’ємо підсумок. Яке правило-орієнтир можна скласти для розв’язування цієї задачі?

Правило-орієнтир

1. З’ясуйте, зі скількома учнями може бути незнайомий кожен учень.
2. Виберіть пару учнів, визначте кількість учнів, з якими вони можуть бути незнайомими.
3. Серед тих учнів, що залишилися, виберіть одного, який з раніше обраною парою утворить трійку. Проаналізуйте, чи задовольняє умову задачі обрана трійка учнів.

Завдання додому. Доведіть: якщо з 9 учнів кожен знайомий щонайменше з 5 учнями, то можна назвати трійку учнів, які були б знайомі між собою.

1. Доведіть: якщо є 31 учень, з яких кожен знайомий щонайменше з 21 учнем, то можна назвати четвірку, які знали б один одного.

Перш ніж розглянемо наступну задачу, давайте з’ясуємо:

• Якщо є 6 чоловік, і вони потиснули руки один одному, то скільки всього було рукостискань?

Відповідь: кожен учень потиснув руки п’яти іншим, разом рукостискань . Але кожне з них ураховано двічі, тому разом було рукостискань.

Є 10 команд, які зіграли турнір в одне коло (без нічиїх, за перемогу дається 1 бал). Скільки всього балів отримано всіма командами?

Відповідь: оскільки кількість ігор , а за кожну гру отримано командою-переможцем 1 бал, то разом отримано 45 балів.

Задача 2. Для відбору до команди знавців шість учнів провели турнір в одне коло, тобто кожен зіграв з будь-яким іншим учасником один раз. (Вважатимемо, що нічиїх немає. Гра продовжується до перемоги одного з учнів, за перемогу дається 1 бал). Доведіть, що можна назвати таких двох гравців, що кожен з решти учасників програв хоча б одному з цієї пари.

Розв'язання.

• Скільки ігор відбулося в турнірі? Скільки балів отримали всі учні разом?
• ігор, стільки ж балів.
• Скільки зустрічей було зіграно кожним учасником турніру?
• Оскільки 6 = 1 + 5, то кожен гравець зіграв 5 ігор.
• У результаті змагань гравці розташувалися в турнірній таблиці. Поміркуйте, скільки балів отримав учасник турніру, який зайняв І місце? Могло так статися, що він виграв усі 5 зустрічей і набрав 5 балів?
• Так.
• Чи міг якийсь інший гравець теж набрати 5 балів?
• Ні, бо тоді він виграв би в усіх учнів, тобто й у першого, що є неможливим.
• Добре, а чи могло так статися, що наш лідер, який зайняв перше місце, з п'яти ігор виграв менше половини, наприклад дві? Обґрунтуйте відповідь.
• ?..
• Припустимо, що на першому місці учень (позначимо його умовно А (Андрій)), який набрав 2 бали, що це означає?
• Виграв дві зустрічі.
• Так. Скільки тоді балів має учень, який зайняв II місце?
• Не більше 2 балів.
• Якщо навіть кожен з учнів набере максимально можливі 2 бали, то яку найбільшу кількість балів наберуть усі учні?
• балів, але ж ми вже обчистили, що всі учні наберуть 15 балів за турнір, тому це неможливо.
• Який висновок ми можемо зробити?
• Наше припущення неправильне, отже, учень А виграв щонайменше 3 зустрічі, тобто 3, 4 або 5.
• Скажіть, будь ласка, який випадок (3, 4 чи 5) — найскладніший?
• Якщо учень А виграв усі 5 зустрічей, то пара учнів А та Б (будь-який учень) задовольняє умову задачі, оскільки кожен з решти гравців програв учневі А. Отже, найскладніший випадок, коли наш лідер (А) виграв 3 зустрічі.
• Розглянемо цей випадок. Якщо учасник турніру виграв 3 зустрічі, то скільком учням він, можливо, програв?
• Оскільки 6 = 1 (А) + 3 (учні, у яких А виграв) + 2 (учні, про яких невідомо, чи виграв у них учень А, чи ні), то учень А, можливо, програв двом учням.
• Давайте подивимося уважніше на цих двох учнів, що про них можна сказати, враховуючи умову задачі?
• Вони обов'язково зіграти між собою, і хтось із них виграв у іншого.
• Якщо ми переможця позначимо Б (Борис), що ми можемо сказати про пару А та Б?
• Пара учнів А та Б задовольняє умову задачі, оскільки разом учнів 6, двоє з них — це А та Б, ще троє — ті, що програли А, один учень програв Б: 6 = 
  = 2 (А, Б) + 3 (програти А) + 1 (програв Б).
• Підіб'ємо підсумок. Як ми з вами міркували?
1. Разом учнів 6; кожен зіграв по 5 зустрічей; разом зустрічей ; отже, всі учні разом набрали 15 балів.
2. Далі ми розташувати учасників у турнірній таблиці й припустили, що учень А, який зайняв перше місце, виграв менше ніж половину своїх зустрічей. Виникла суперечність, і ми дійшли висновку, що А виграв принаймні 3 зустрічі, тобто виграв що найменше у трьох учнів.
3. Учень А й ті 3 учасники турніру, в яких він виграв, не становлять усієї множини учнів, залишилося ще 2 учні (6 – 1 – 3 = 2). Серед цих двох учнів 
   ми вибрали переможця особистої зустрічі (Б).
4. Пара учнів А, Б задовольняє умову задачі.

Завдання додому. Є 14 команд, які провели між собою турнір в одне коло. (Вважається, що нічиїх немає. Гра продовжується до перемоги однієї з команд). Доведіть, що можна виділити такі 3 команди, які б виграли у решти.

Вказівки

1) зустріч, 91 бал.

2) Команда Г (І місце) виграла більше половини з 13 зустрічей (щонайменше 7). Якби команда Г виграла 6 зустрічей, то 6 • 14 = 84 (бали), що менше за 
91 бал (суперечність).

3) 14 = 1 (Г) + 7 (ті, що програли Г) + 6 (команд).

4) Виберіть три команди А, Б, В серед шести команд, що залишилися. Обґрунтуйте свій вибір.

5) Четвірка команд А, Б, В, Г задовольняє умову задачі.

 

3. Модель організації діяльності учнів 5-7 класів при розв’язуванні логічних задач у позаурочний час

 

Задача 3. Усі цілі числа, починаючи з одиниці, виписані підряд, тобто записано такий ряд чисел 12345678910111213...99100101... Визначте, яка цифра стоїть на 190-му місці.

Перш ніж розв'язувати  цю задачу, потрібно з'ясувати з учнями, скільки всього одноцифрових, двоцифрових, трицифрових натуральних чисел і чому. (Одноцифрових чисел 9, це числа від 1 до 9; двоцифрові числа — це числа від 10 до 99, їх 90; трицифрові числа — це числа від 100 до 999, їх 900. Пояснити, наприклад, останнє можна так: від 1 до 999 всього 999 чисел, від 1 до 99 — 99, тоді від 100 до 999 всього 999 - 99 = 900 трицифрових чисел).

Розв 'язання.

• У нашому ряді чисел записані всі числа підряд. Спочатку одноцифрові, потім — двоцифрові, далі — трицифрові й т.д. Перші 9 чисел займають 9 позицій, 
  чому?
• Бо це одноцифрові числа, а їх рівно 9.
• Наступні 90 чисел є двоцифровими. Скільки позицій вони займають?
• (позицій).
• Скільки позицій займають усі одноцифрові й двоцифрові числа разом?
• 9 + 180 = 189 (позицій).
• Прочитайте ще раз уважно умову задачі. Чи може хтось дати відповідь до задачі?
• Ми визначили, що всі одноцифрові й двоцифрові числа займають 189 позицій, потім буде перше трицифрове число 100, його перша цифра 1 і займає 190-ту позицію.

Відповідь: цифра 1.

Завдання додому. Визначте в задачі 3, яка цифра стоїть на: а) 163-й позиції; б) 2889-й позиції; в) 2459-й позиції.

Відповідь: а) 6; б) 9; в) 5.

Задача 4. Є смужка паперу, на якій написано 30-цифрове число, що складається із цифр 121212...12. На яку найбільшу кількість частин можна розрізати цю смужку, щоб усі утворені числа при цьому були різні?

Розв'язання.

• Якої найменшої довжини можна відрізати смужку?
• Довжиною в одну цифру.
• Можна ще відрізати смужку такої самої довжини, щоб отримати різні числа?
• Так. Перша смужка буде з цифрою 1, друга — з цифрою 2.
• Чи можна ще відрізати одноцифрові числа від великої смужки, щоб усі числа були різні, чому?
• Ні, бо число на смужці складається тільки з цифр 1 і 2.
• Давайте поміркуємо, чи можна ще щось відрізати від великої смужки?
• Можна, наприклад, двоцифрові та трицифрові числа.
• Прочитайте ще раз уважно умову задачі, що від нас вимагається?
• Розрізати смужку на якомога більшу кількість частин з різними числами.
• Які будуть пропозиції? Які саме частини бажано відрізати?
• Які мають найкоротшу довжину, але щоб числа на відрізаних смужках не повторювалися.
• Скільки різних двоцифрових чисел можна відрізати?
• Два числа: 12 і 21.
• А трицифрових, і чому саме так?
• Два числа: 121 і 212, оскільки кожне число починається з одинички або двійки, а далі ці самі цифри чергуються.
• Скільки різних чотирицифрових чисел можна відрізати і яких? П'ятицифрових? Шестицифрових?
• Два чотирицифрових: 1212 і 2121; два п'ятицифрових: 12121 і 21212; два шестицифрових: 121212 і 212121.
• А чи не забагато ми «нарізали»? Скільки у нас всього цифр?
• 30. Два числа одноцифрових, два — двоцифрових і т.д., тобто .
• Як ви визначили, що потрібно зупинитися на п'ятірці?
• 30 : 2 = 15, а 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5.
• Отже, на скільки частин можна розрізати дану смужку?
• На 10 частин: відрізати по два різних одно-, дво-, три-, чотири- і п'ятицифрових числа.
• Залишилося перевірити, чи не помилилися ми?

1

2

12

121

21

212

1212

12121

2121

21212