Логика и психология спора

А - класс врачей. 
В - класс женщин. 
A U В - класс, содержащий всех врачей  и всех женщин. 
Пересечение классов (умножение) - логическая операция, в результате которой образуется новый класс, состоящий из элементов, являющихся общими для умножаемых классов. Класс АПВ, полученный в результате умножения, называется произведением. 

Например, произведением классов «школьник» (А) и «спортсмен» (В) является новый класс «школьник-спортсмен».

При умножении множеств, находящихся в отношении несовместимости, получается нулевой класс. Например, умножение классов «кошки» и «собаки» дает пустое множество, так как нет таких объектов, которые одновременно были бы и кошками и собаками.

Вычитание классов - логическая операция, в результате которой образуется новый класс, состоящий из элементов уменьшаемого класса, не принадежащих вычитаемому классу.

А-В

А - класс «студент» В - класс «спортсмен» 
В результате вычитания получается класс, состоящий из студентов, не являющихся спортсменами.

Образование дополнения к классу (отрицание) - логическая операция, состоящая в образовании нового класса, не А (А'), который состоит из элементов универсального класса, не принадлежащих дополняемому классу А. Универсальный класс символически обозначается 1; графически - прямоугольником. 
Чтобы образовать дополнение, нужно класс А исключить из универсального класса: 1-А=А'. Например, чтобы образовать дополнение к классу «женщина», надо подвергнуть этот класс отрицанию. Полученный класс «не-ребенок» является дополнением к классу «ребенок». Класс «ребенок», сложенный с классом «не-ребенок», образует универсальный класс люди.

2.

1.Простые суждения – суждения, в которых нельзя выделить определённую часть, которая, в свою очередь, была бы самостоятельным суждением. Например: эти люди-ученые или собаки - не птицы.

Все простые суждения по объёму субъекта и качеству связки делятся на четыре вида.

     1.Общеутвердительные  суждения (обозначаются латинской буквой A) – это суждения с общим объёмом субъекта и утвердительной связкой: «Все S есть Р». Например: «Все розы являются цветами».

  P цветы

                        S розы

 

    2. Частноутвердительные суждения (обозначаются латинской буквой I) – это суждения с частным объёмом субъекта и утвердительной связкой: «Некоторые S есть Р». Например: «Некоторые люди-левши».

 S люди

                          P левши

 

     3. Общеотрицательные суждения (обозначаются латинской буквой E) – это суждения с общим объёмом субъекта и отрицательной связкой: «Все S не есть Р (или «Ни одно S не есть Р»). Например: «Все кошки не являются собаками».

    S кошки            P собаки              

            S                         P

   

4. Частноотрицательные суждения (обозначаются латинской буквой O) – это суждения с частным объёмом субъекта и отрицательной связкой: «Некоторые S не есть Р». Например: «Некоторые деревья не являются вечнозелеными».

 S деревья

                          P вечно

                         зеленые

 

          В зависимости  от союза, с помощью которого  простые суждения соединяются  в сложные, выделяется пять видов  сложных суждений:

 

1.Конъюнктивное суждение (конъюнкция) – это сложное суждение с соединительным союзом «и», который обозначается в логике условным знаком «^». С помощью этого знака конъюнктивное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы: a ^ b (читается «a и b»), где a и b – это два каких-либо простых суждения. Например, сложное суждение: «Он является хорошим педагогом (а) и учится заочно (b)». Она будет истинна в том и только в том случае, если суждения а и b оба истинны. Если же а ложно, или b ложно, или и а, и b ложны, то вся конъюнкция обращается в ложь.

2. Дизъюнктивное суждение (дизъюнкция) – это сложное суждение с разделительным союзом «или». Говоря о логических операциях сложения и умножения понятий, можно отметить неоднозначность этого союза – он может использоваться как в нестрогом (неисключающем) значении, так и в строгом (исключающем). Неудивительно поэтому, что дизъюнктивные суждения делятся на два вида:

2.1. Нестрогая дизъюнкция – это сложное суждение с разделительным союзом «или» в его нестрогом (неисключающем) значении, который обозначается условным знаком «v». С помощью этого знака нестрогое дизъюнктивное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы: a v b (читается «a или b»), где a и b – это два простых суждения. Например, сложное суждение: «Ребенок будет есть яблоко или грушу». Эти суждения друг друга не исключают, ведь возможно съесть и яблоко, и грушу одновременно, поэтому данная дизъюнкция является нестрогой. Высказывание или формула с такой дизъюнкцией истинна в том случае, когда истинно хотя бы одно из двух суждений, и ложна, когда оба суждения ложны.

2.2.Строгая дизъюнкция – это сложное суждение с разделительным союзом «или» в его строгом (исключающем) значении, который обозначается условным знаком «v». С помощью этого знака строгое дизъюнктивное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы: a vb (читается «или a, или b»), где a и b – это два простых суждения. Например, сложное суждение: «Ребенок пойдет гулять или будет сидеть дома». Эти суждения друг друга исключают, ведь невозможно одновременно пойти гулять и сидеть дома, в силу чего данная дизъюнкция является строгой. Строгая дизъюнкция истинна тогда, когда лишь одно из двух простых суждений истинно, и только одно.

3. Импликативное суждение (импликация) – это сложное суждение с условным союзом «если … то», который обозначается условным знаком «>». С помощью этого знака импликативное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы: a > b (читается «если a, то b»), где a и b – это два простых суждения. Например, сложное суждение: «Если нужна операция, то человек ложится в больницу», представляет собой импликативное суждение (причинно-следственную связь) двух простых суждений. В данном случае эти два суждения связаны таким образом, что из первого вытекает второе (если нужна операция – человека положат в больницу), однако из второго не вытекает первое (если человек лег в больницу, то не обязательно ему нужна операция). Первая часть импликации называется основанием, а вторая – следствием; из основания вытекает следствие, но из следствия не вытекает основание. Формулу импликации: a > b, можно прочитать так: «если a, то обязательно b, но если b, то не обязательно a». Импликация истинна всегда, кроме одного случая, когда первое суждение истинно, а второе – ложно.

4. Эквивалентное суждение (эквиваленция) – это сложное суждение с союзом «если … то» не в его условном значении (как в случае с импликацией), а в тождественном (эквивалентном). В данном случае этот союз обозначается условным знаком « », с помощью которого эквивалентное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы: a b (читается «если a, то b, и если b, то a»), где a и b – это два простых суждения. Например, сложное суждение: «Если человек плохо видит, то он носит очки», – представляет собой эквивалентное суждение (равенство, тождество) двух простых суждений: Нетрудно заметить, что в данном случае два суждения связаны так, что из первого вытекает второе, а из второго – первое: если человек плохо видит, он носит очки, а если человек носит очки, то он плохо видит. Понятно, что в эквиваленции, в отличие от импликации, не может быть ни основания, ни следствия, т. к. две её части являются равнозначными суждениями. Эквиваленция истинна тогда, когда два составляющих её простых суждения истинны или когда оба являются ложными. Если одна часть эквиваленции истинна, а другая ложна, то эквиваленция ложна.

5. Отрицательное суждение (отрицание) – это сложное суждение с союзом «неверно, что…», который обозначается условным знаком «¬». С помощью этого знака отрицательное суждение можно представить в виде формулы: ¬a (читается «неверно, что a»), где a – это простое суждение. Например: «Неверно, что ночью светит солнце». Когда утверждение истинно, его отрицание ложно; когда утверждение ложно, его отрицание истинно.

3.

1.Существует три способа  преобразования, т. е. изменения формы, простых суждений: обращение, превращение и противопоставление предикату.

Обращение (конверсия) – это преобразование простого суждения, при котором субъект и предикат меняются местами. Например, суждение: «Все собаки являются млекопитающими»,- преобразуется путём обращения в суждение: «Некоторые млекопитающие являются собаками».

Второй способ преобразования простых суждений, называемый превращением (обверсией), заключается в том, что у суждения меняется связка: положительная на отрицательную, или наоборот. При этом предикат суждения заменяется противоречащим понятием (т. е. перед предикатом ставится частица «не»). Например, то же самое суждение, которое мы рассматривали в качестве примера для обращения: «Все собаки являются млекопитающими», – преобразуется путём превращения в суждение: «Все собаки не являются не млекопитающими».

Третий способ преобразования простых суждений – противопоставление предикату – состоит в том, что сначала суждение подвергается превращению, а потом обращению. Например, чтобы путём противопоставления предикату преобразовать суждение: «Все собаки являются млекопитающими», – надо сначала подвергнуть его превращению. Получится: «Все собаки не являются не млекопитающими». Теперь надо совершить обращение с получившимся суждением, т. е. поменять местами его субъект «собаки» и предикат «не млекопитающими». После этого совершим обращение с суждением: «Все собаки не являются не млекопитающими». Получится: «Все не млекопитающие не являются собаками».

2.Сложные суждения можно  также преобразовывать друг в  друга как то:

 конъюнкция может быть  выражена через дизъюнкцию: ¬(А  Λ В) ≡ ¬А V ¬В), например: суждение  «Неверно, что человек злой, и  в то же время он любит собак» равнозначно суждению «Человек не злой, или он не любит собак».

дизъюнкция может быть выражена через конъюнкцию: ¬(А V В) ≡ ¬А Λ ¬В, например: «Неверно, что студент изучал логику в вузе, или что он изучал ее самостоятельно» равнозначно суждению «Студент не изучал логику в вузе, и он не изучал ее самостоятельно».

импликация может быть выражена через конъюнкцию: А > В ≡ ¬(А Λ ¬В), например: суждение «Если светит солнце, то на улице тепло» равнозначно суждению «Неверно, что светит солнце и на улице не тепло».

 импликация может быть  выражена через дизъюнкцию: А > В ≡ ¬А V В, например: суждение  «Если светит солнце, то на  улице тепло» равнозначно суждению  «Или не светит солнце, или  на улице тепло».

3.Все дедуктивные умозаключения называются силлогизмами  Существует несколько видов силлогизмов. Первый из них называется простым (категорическим), потому что все входящие в него суждения (две посылки и вывод) являются простыми, или категорическими. Это уже известные нам суждения видов A, I, E, O.

Рассмотрим пример простого силлогизма:

Все мужчины (М) – курят трубку. (Р).

Все сыщики (S) – это мужчины (М).

Все сыщики (S) – курят трубку (Р).

Обе посылки и вывод являются в данном силлогизме простыми суждениями (причём и посылки, и вывод – это суждения вида A (общеутвердительные)). Таким образом, структура силлогизма включает в себя две посылки и один вывод, которые состоят из трёх (различным образом расположенных) терминов:

1. Субъект вывода располагается  во второй посылке силлогизма  и называется меньшим термином силлогизма (вторая посылка также называется меньшей).

2. Предикат вывода располагается  в первой посылке силлогизма  и называется большим термином силлогизма (первая посылка также называется большей).

3. Термин, который повторяется в  двух посылках и связывает субъект с предикатом (меньший и больший термины), называется средним термином силлогизма и обозначается латинской буквой М, потому что «средний» на латинском – это medium.

Три термина силлогизма могут быть расположены в нём по-разному. Взаимное расположение терминов друг относительно друга называется фигурой простого силлогизма. Таких фигур четыре, т. е. все возможные варианты взаимного расположения терминов в силлогизме исчерпываются четырьмя комбинациями. Рассмотрим их.

Первая фигура силлогизма – это такое расположение его терминов, при котором первая посылка начинается со среднего термина, а вторая заканчивается средним термином. Например:

Все мужчины (М) – курят трубку. (Р).

Все сыщики (S) – это мужчины (М).

Все сыщики (S) – курят трубку (Р).

Учитывая, что в первой посылке средний термин связан с предикатом, во второй субъект связан со средним термином, а в выводе субъект связан с предикатом, составим схему расположения и связи терминов в приведённом примере:

Прямые линии на схеме (за исключением той, которая отделяет посылки от вывода) показывают связь терминов в посылках и в выводе. Поскольку роль среднего термина заключается в том, чтобы связывать больший и меньший термины силлогизма, то на схеме средний термин в первой посылке соединяется линией со средним термином во второй посылке. Схема показывает, каким именно образом средний термин связывает между собой другие термины силлогизма в его первой фигуре. Кроме того, отношения между тремя терминами можно изобразить с помощью кругов Эйлера. В данном случае получится следующая схема

Вторая фигура силлогизма – это такое расположение его терминов, при котором и первая, и вторая посылки заканчиваются средним термином. Например: