Теория автоматического управления

Для случая, когда система в разомкнутом  состоянии является неустойчивой и имеет  правых корней, то результирующий угол поворота вектора будет . Это означает, что для устойчивой системы а.ф.х. должна охватывать точку раз.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2  ПРИВЕДЕНИЕ СХЕМЫ К ЭКВИВАЛЕНТНОМУ ВИДУ

 

Задание:

Привести схему к эквивалентному звену. Проверить правильность упрощения  схемы проводить в Simulink. Определить устойчивость  используя алгебраические критерии Гурвица и Рауса и используя частотный критерий Михайлова.

Исходные данные

, , , .

Решение

1. w₅=w₃-w₂=3x²+30-2x²+3x+70=x²+3x+100

2. w₆=w₄/ (1+w₄*w₅) =x/ (1+x³+3x²+100x) =x/(x³+3x²+100x+1)

3. w₇=w₆*w₁=10x/(x³+3x²+100x+1)

4. w₈=w₇/ (1-w₇*w₁) =10x/(x³+3x²+1)

5. w₉=w₁*w₈=100x/(X³+3x²+1)

6. w_экв=100x/(x³+3x²+100x+1)

Проверка правильности упрощения  схемы в Simulink(см. приложение 1).

Рисунок 2.7 – Эквивалентное звено

Рисунок 2.8 – График эквивалентного звена

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
1. Алгебраический критерий Рауса

 

x³+3x²+100x+1=0

Таблица (3.1.1) – таблица Рауса

1	100	0
3	1	0
96.6	0	0

 

C₁₃= (3*100-1*1)/3=99.6

Система устойчива т.к. в первом столбце таблицы все элементы положительны.

 

2. Алгебраический критерий Гурвица

 

x³+3x²+100x+1=0

Таблица (3.2.1) – Матрица Гурвица

3	1	0
1	100	0
0	3	1

 

∆₁=a₁=3>0

∆₂==300-1=299>0

∆₃=_=299>0

Система устойчива т.к. выполняются  все условия∆₁>0,∆₂>0,∆₃>0.

 

3. Частотный критерий Михайлова:

 

1(jω)³+ 3(jω)² +100(jω)+ 1 =0;

-1jω³ - 3ω² + 100jω+1 = 0;

Re(ω) = -3ω² + 1;

Im(jω) = -1jω³+100jω;

-3ω² + 1=0,ω₁=

-1jω³+100jω=0,

ω₂=0,

ω₃=10.

 

Таблица (3.3.1) – Таблица Михайлова

ω	0		10	15	∞
Re	1	0	-299	-674	-∞
Im	0	56,8	0	-1875	-∞

 

Рисунок 3.3.1 – Гадограф Михайлова

Вывод: данная система устойчива, т.к., полученный график направлен против часовой стрелки, не проходит точку с координатами (0,0) и проходит последовательно столько квадрантов какова степень характеристического уравнения(n=3).

 

 

 

 

Список использованных источников

1. Четаев Н.Г., Ляпунов А.М., Теория устойчивости движения. — изд. Москва: Наука, 1965. — 234 с.
2. Иванов А. А. Теория автоматического управления: Учебник. — изд. М.: Национальный горный университет. — 2003. — 250 с.