Системы счисления

Практическая работа № 1

 

                                                    ТЕМА: СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

 ЦЕЛЬ: Выработать первичные навыки работы с системами счисления.

Теоретические сведения.

Система счисления –  это совокупность правил для обозначения и наименования чисел.

Непозиционной называется такая система счисления, в которой количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа.

Основанием системы  счисления называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.

Наименование системы счисления  соответствует ее основанию (например, десятичной называется система счисления так потому, что ее основание равно 10, т.е. используется десять цифр).

Система счисления  называется позиционной, если значение цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа.

Системы счисления, используемые в компьютерах.

Двоичная система счисления. Для записи чисел используются только две цифры – 0 и 1. Выбор двоичной системы объясняется тем, что электронные элементы, из которых строятся ЭВМ, могут находиться только в двух хорошо различимых состояниях. По существу эти элементы представляют собой выключатели. Как известно выключатель либо включен, либо выключен. Третьего не дано. Одно из состояний обозначается цифрой 1, другое – 0. Благодаря таким особенностям двоичная система стала стандартом при построении ЭВМ.

Восьмеричная система  счисления. Для записи чисел используется восемь  чисел  0,1,2,3,4,5,6,7.

Шестнадцатеричная система  счисления. Для записи чисел в шестнадцатеричной системе необходимо располагать шестнадцатью символами, используемыми как цифры. В качестве первых десяти используются те же, что и в десятичной системе. Для обозначения остальных шести цифр (в десятичной они соответствуют числам 10,11,12,13,14,15) используются буквы латинского алфавита – A,B,C,D,E,F.

Перевод чисел из одной  системы счисления в другую.

Перевод целых чисел из десятичной системы  счисления в другую.

Правило перевода целых чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием q:

1. Последовательно выполнять деление исходного числа и получаемых частных  на q  до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.
2. Полученные при таком делении остатки – цифры числа в системе счисления q – записать в обратном порядке (снизу вверх).

Пример1. Перевести 26₁₀ в двоичную систему счисления. А₁₀→А₂

Решение:

 

 

 

                                                                           Ответ: 26₁₀=110102

 

Пример2. Перевести 19₁₀ в троичную систему счисления. А₁₀→А₃

Решение:

                                                            Ответ: 19₁₀=201₃

 

Пример3. Перевести 241₁₀ в восьмеричную систему счисления. А₁₀→А₈

Решение:

 

                                                                            Ответ: 241₁₀=361₈

 

Пример4. Перевести 3627₁₀ в шестнадцатеричную систему счисления. А₁₀→А₁₆

Решение:                                          Т.к. в шестнадцатеричной системе счисления 14 – Е,

                                                                          а 11 – В, то получаем ответ Е2В₁₆.

    Ответ: 3627₁₀=E2B₁₆

Перевод чисел из любой системы счисления  в десятичную.

Правило Для того чтобы число из любой системы счисления перевести в десятичную систему счисления, необходимо его представить в развернутом виде и произвести вычисления.

Пример1. Перевести число 110110₂ из двоичной системы счисления в десятичную.

Решение:

       5  4  3  2  1 0

      1 1 0 1 1 0 ₂ = 1*2⁵ + 1*2⁴ + 0*2³+1*2²+1*2¹+0*2⁰ =32+16+4+2=54₁₀

Ответ: 110110₂ = 54₁₀

Пример2. Перевести число 101,01₂ из двоичной системы счисления в десятичную.

Решение:

       2  1  0 -1 -2

      1   0 1, 0 1  ₂ = 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰+0*2^-1+1*2^-2 =4+0+1+0+0,25=5,25₁₀

Ответ: 101,01₂ = 5,25₁₀

Пример3. Перевести число 122100₃ из троичной системы счисления в десятичную.

Решение:

       4  3  2 1 0

 1 2 2 0 1 ₃=1*3⁴ +  2*3³ + 2*3² + 0*3¹ + 1*3⁰ = 81+54+18+1 = 154₁₀

Ответ: 12201₃ = 154₁₀

Пример4. Перевести число 163₇ из семеричной системы счисления в десятичную.

Решение:     163₇ = 1*7² + 6*7¹ + 3*7⁰  = 49+42+3= 94₁₀.

Ответ: 163₇ = 94_10.

Пример6. Перевести число 2Е₁₆ в десятичную систему счисления.

Решение:

       2  1

  2 Е₁₆ = 2*16¹ +14*16⁰ = 32 +14 = 46₁₀.

Ответ: 2Е₁₆ = 46_10.

Перевод чисел из двоичной системы счисления  в  восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Перевод целых чисел.

Правило. Чтобы перевести целое двоичное число в восьмеричную (8=2³) систему счисления необходимо:

• разбить данное число справа налево на группы по 3 цифры в каждой;
• рассмотреть каждую группу и записать ее соответствующей цифрой восьмеричной системы счисления.

Пример1. Перевести число 11101010₂ в восьмеричную систему счисления.

Решение:

11101010

3    5   2

Ответ: 11101010₂ = 352₈

Пример. Перевести число 11110000010110₂ в восьмеричную систему счисления.

Решение:

111 110 000 010 110

7     6     0     2     6

           Ответ: 11110000010110₂= 76026₈

 

Правило Чтобы перевести целое двоичное число в шестнадцатеричную (16=2⁴) систему счисления необходимо:

• разбить данное число справа налево на группы по 4 цифры в каждой;
• рассмотреть каждую группу и записать ее соответствующей цифрой шестнадцатеричной системы счисления.

Пример. Перевести число 11100010₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:

1110 0010

   Е       2

                                               Ответ: 11100010₂ = Е2₁₆

Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной  систем счисления в двоичную систему  счисления.

Правило Для того, чтобы восьмеричное (шестнадцатеричное) число перевести в двоичную систему счисления, необходимо каждую цифру этого числа заменить соответствующим числом, состоящим из 3 (4) цифр двоичной системы счисления.

Пример. Перевести число 523₈  перевести в двоичную систему счисления.

Решение:

 5      2     3

101 010 011

Ответ: 528₈ = 101010011₂

Пример. Перевести число 4ВА35₁₆  перевести в двоичную систему счисления.

Решение:

4      В       А       3       5    

100 1011 1010 0011 0101 

                  Ответ: 4ВА35₁₆ = 100 1011 1010 0011 0101₂

 

 

Математические операции в различных системах счисления

 

Сложение

Сложение чисел 15 и 6 в различных  системах счисления

 

Ответ: 15+6 = 21₁₀ = 10101₂ = 25₈ = 15₁₆. 

 

 

Вычитание

Вычитание чисел 45 и 18 в различных системах счисления

Десятичная: 45₁₀–18₁₀      Двоичная: 101101₂–10010₂                Восьмеричная: 55₈–22₈

1                                                1      1                                                                                Заем

45                                      101101                                            55

  18                                        10010                                            22

27                                        11011                                            33 

 

Ответ: 45–18 = 27₁₀ = 11011₂ = 33₈

 

 

Умножение

Перемножим числа 115 и 51

 

Ответ: 115 ^. 51 = 5865₁₀ = 1011011101001₂ = 13351₈.  

 

Задание 1.

(3 балла)

1. Составить в тетради таблицу соответствия систем счисления от 0 до 30

 

Десятичная	Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатеричная
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
…	…	…	…
30	11110	36	1Е

 

2. Перевести десятичные числа (345, 1023, 678) в двоичную (345), восьмеричную(1023) и шестнадцатеричную(678) системы счисления.

 

Задание 2.

(6 баллов)

1. Произвести сложение чисел 15, 7 и 3 в двоичной, восьмеричной и шестнадцатиричной системах счисления. Порядок действий и ответы записать в тетрадь.
2. Произвести вычитание чисел 56 и 21 в двоичной, восьмеричной и шестнадцатиричной системах счисления. Порядок действий и ответы записать в тетрадь.
3. Перевести числа 34 ₈ , 25₈ ,  89₁₆ и 16₁₆ в двоичную систему счисления и выполнить произведение 34 ₈  и  25₈ ,  89₁₆ и 16₁₆  в двоичной системе счисления. Порядок действий и ответы записать в тетрадь.

 

Задание 3.

(5+5 баллов)

Выполняются задания на перевод чисел из одной системы счисления в другую, математические действия над числами по индивидуальным карточкам.

 

 

Вопросы к защите практической работы:

1. Что такое система счисления?
2. Что такое основание системы счисления?
3. Что такое непозиционная система счисления?
4. Что такое позиционная система счисления?
5. Из каких знаков состоит алфавит десятичной и двоичной систем?
6. Почему в вычислительной технике взята за основу двоичная система счисления?
7. Каковы правила сложения двоичных чисел?
8. Из каких символов состоят алфавиты восьмеричной и шестнадцатеричной систем?
9. В чем заключается преимущество восьмеричной или шестнадцатеричной системы по сравнению с двоичной?
10. Как перевести двоичное число в восьмеричное и шестнадцатиричное?
11. Как перевести восьмеричное число в десятичное?
12. Как перевести шестнадцатиричное число в десятичное?
13. Какие целые числа следуют за числами: 1111₂; 177₈; 9AFF₁₆?
14. Какие целые числа предшествуют числам: 10000₂; 110₈; A10₁₆?
15. Какой цифрой заканчивается четное двоичное число?
16. Какой цифрой заканчивается нечетное двоичное число?
17. Какое наибольшее десятичное число можно записать тремя цифрами:

а) в двоичной системе;

б) в восьмеричной системе;