Система счисления

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

1.1. Основные понятия

  Система счисления — это совокупность приемов и правил изображения чисел цифровыми знаками. Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

Непозиционная система счисления — это система, в которой значение символа не зависит от его положения в числе. Непозиционные системы счисления возникли раньше позиционных систем. Они использовались в древности римлянами, египтянами, славянами и другими народами. Примером непозиционной системы счисления, дошедшей до наших дней, является римская система счисления. На рис. 1.1 число 30(10) представлено в виде последовательного ряда из трех символов — XXX.

Позиционная система счисления — это система, в которой значение символа зависит от его позиции в ряду цифр, изображающих число, как это показано на рис. 1.2. Позиционные системы счисления более удобны для вычислительных операций, поэтому они получили более широкое распространение. Количество различных символов, используемых в позиционной системе счисления для выражения всех чисел в пределах одного разряда, называется ее основанием и обозначается латинской буквой S.

  В двоичной системе счисления (S = 2) используются два символа 0 и 1, в восьмеричной (S= 8) — восемь символов от 0 до 7, в десятичной (S= 10) — десять символов от 0 до 9, в шестнадцатеричной (S= 16) — шестнадцать символов от 0 до 9 и специально введенные дополнительные символы в виде латинских букв А, В, С, D, E, F.

  Числа в таких системах счисления представляются последовательностью ряда цифр, разделенных на две группы: группу разрядов, изображающую целую часть числа, и группу разрядов, изображающую дробную часть числа, которая может быть представлена формулой 

N= ... + a₂S²+ a₁S¹+a₀S°+ a_-1S^-1 + a_-2S^-2 + ... 

  Единице каждого разряда присваивается  определенный вес S^k, где S— основание системы счисления, а к — номер разряда, равный индексу при символах, изображающих цифры разрядов.

  Вне зависимости от рассматриваемой  системы счисления последовательность символов подчиняется закономерности, которая определяется порядком (циклом) счета (табл. 1.1). 

Контрольные вопросы 

1. Какую смысловую  нагрузку несет определение основания  системы счисления?
2. Дать определение понятия «позиционная система счисления».
3. Может ли быть система счисления пятеричной и семеричной?
4. Какие числа следуют за числом семь в восьмеричной системе счисления, за числом девять в десятичной системе счисления и за числом пятнадцать в шестнадцатеричной системе счисления?
5. Назвать последние числа в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления в третьем, пятом, седьмом циклах счета и следующие числа в следующих циклах.
6. Каким системам счисления могут принадлежать следующие числа: 765, 2.А2, 10101, 1579, 816, 9Е5, 819?

Контрольные задания

Представить двоичный эквивалент чисел 20, 25, 13, 30, 11, 23, 14, 28 по предложенной схеме.

Дано число 19.

1. Определяем степень 2, в результате чего получаем число, максимально приближенное к 19:

2⁴= 16.

2. Определяем, что полученное число отличается от 19 на 3(19-16 = 3). 
1. Определяем степень 2, в результате чего получаем число, максимально приближенное к 3:

2 ¹. = 2.

4. (Определяем, что  полученное число отличается  от 3 на 1 (3 - 2 = 1). 

5. Определяем степень 2, которая в результате дает 1:

2°=1.

6. Таким образом, число 19 можно представить в виде суммы следующих степеней 2: 1 • 2⁴+ 1 • 2¹ + 1 • 2°.

При остальных  степенях 2 (2³, 2²) коэффициенты равны 0.

7. В результате число 19 в двоичном эквиваленте имеет следующий вид:

19₍₁₀₎=10011₍₂₎.

При определенном навыке можно довольно быстро находить эквиваленты двоичных чисел.