Понятие многогранника и его элементы

Заметим, что многоугольники можно деформировать, увеличивать, уменьшать и даже искривлять их стороны, лишь бы при этом не происходило разрывов сторон. Число вершин, ребер, граней и при этом не изменится.

Докажем, что для получения разбиения многоугольника на более мелкие многоугольники имеет место равенства

 

В-Р+Г´=1 (*)

 

Где В – общее число вершин, Р – общее число ребер и Г´ - число многоугольников, входящих в разбиение. Ясно, что Г´= Г-1, где Г – число граней данного многогранника.

 

Докажем, что равенства (*) не изменится, если в каком-нибудь многоугольнике данного разбиения провести диагональ (рис. 1.3а).

Рис.1.3.

 

Действительно, после проведения диагонали в новом разбиении будет В вершин, Р+1 ребро и количество многоугольников увеличивается на единицу. Следовательно, имеем В - (Р+1) + (Г´+1) = В-Р+ Г´. Пользуясь этим свойством, проведем диагонали, разбивающие многоугольники на треугольники (рис.3 б), и для полученного разбиения покажем выполнимость равенства (*). Для этого будем последовательно убирать внешние ребра, уменьшая количество треугольников. При этом возможны два случая:

а) для удаления треугольника АВС требуется снять два ребра, в нашем случае – АВ и ВС;

б) для удаления треугольника MKN требуется снять одно ребро, в нашем случае – MN.

В обоих случаях равенство (*) не изменится. Например, в первом случае после удаления треугольника граф будет состоять из В-1 вершин, Р-2 ребер и Г´ - многоугольника

 

(В-1) - (Р-2) + (Г´-1)= В-Р+ Г´

 

Таким образом, удаление одного треугольника не меняет равенства (*). Продолжая этот процесс удаления треугольников, в конце концов, мы придем к разбиению, состоящему из одного треугольника. Для такого разбиения В=3, Р=3, Г´=1 и , следовательно В-Р+ Г´=1. Значит, равенство (*) имеет место для исходного разбиения откуда окончательно получаем, что для данного разбиения многоугольника справедливо равенство(*). Таким образом, для исходного выпуклого многогранника справедливо равенство:

 

В-Р+ Г=2

 

Для любого многогранника верны неравенства:

 

 

 

Другие факты:

• Всякий многогранник имеет хотя бы одну вершину, из которой исходит не более 5 ребер, а также грань, в которой не более 5 ребер.
• В любом многограннике есть хотя бы одна треугольная грань или хотя бы один трехгранный угол.
• Не существует многогранника, у которого ровно 7 ребер. Число 6 и любое целое число n 8 могут быть количеством ребер выпуклого многогранника.
• Для всякого выпуклого многогранника имеют место неравенства:

 

 

• У любого многогранника есть по крайней мере две грани с одинаковым количеством сторон.
• Во всяком выпуклом многограннике сумма плоских углов всех граней вдвое больше суммы углов выпуклого многоугольника, имеющего то же число вершин.

Если на каждой грани выпуклого многогранника выбрать по одной внутренней точке и соединить ребрами те из выбранных точек, которые лежат на смежных гранях, то получится новый многогранник, называемый сопряженным с данным. Количества вершин, ребер и граней данного и сопряженного многогранников связаны соотношениями В*=Г, Г*=В, Р*=Р.

 

 

2. Виды многогранников

2.1 Призма

 

Многогранник, составленный из двух равных многоугольников А1А2…Аn и В1В2…Вn, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов, называется призмой.

Многоугольники А1А2…Аn и В1В2…Вn (рис. 2.1)называются основаниями, а параллелограммы – боковыми гранями призмы. Отрезки А1В1 и А2В2 называются боковыми ребрами призмы. Эти ребра как противоположные стороны параллелограммов последовательно приложенных друг к другу, равны и параллельны. Призма с основаниями А1А2…Аn и В1В2…Вn обозначают А1А2… Аn В1В2…Вn и называют n – угольной призмой. На рисунке изображены треугольная и шестиугольная призмы, т.е. параллелепипед.

Перпендикуляр, проведенный из какой–нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.

 

 

Рис. 2.1. Призма

 

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани - равные прямоугольники. На рисунке изображена правильная шестиугольная призма.

 

2.1.1 Площади боковой и полной поверхности призмы

 

Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности призмы - сумма площадей ее боковых граней. Площадь Sполн. полной поверхности выражается через площадь Sбок боковой поверхности и Sосн основания призмы формулой:

 

Sполн. =Sбок +2Sосн.

 

Докажем теорему о площади боковой поверхности прямой призмы: площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, Sбок= Ph.

Доказательство:

Боковые грани прямой призмы - прямоугольники, основания которых - стороны основания призмы, а высоты равны высоте h призмы. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей указанных прямоугольников, т. е. равна сумме произведений сторон основания на высоту h, вынося множитель h за скобки, мы получаем в скобках сумму сторон основания призмы, т. е. его периметр P. Итак, Sбок= Ph.

Теорема доказана.

 

2.2 Пирамида

 

Многогранник, составленный из n - угольника А1А2…Аn и n треугольников, называется пирамидой (рис. 2.2). Многоугольник А1А2…Аn называется основанием, а треугольники - боковыми гранями пирамиды. Точка Р называется вершиной пирамиды, а отрезки РА1, РА2,…РАn – ее боковыми ребрами. Пирамиду с основанием А1А2…Аn и вершиной Р обозначают так: РА1А2…Аn - и называют n – угольной пирамидой. На рисунке показаны четырехугольная и шестиугольная пирамиды. Ясно, что треугольная пирамида – это тетраэдр.

 

 

Рис. 2.2. Пирамида

 

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. Сечение пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания, называют поперечным сечением пирамиды.

 

Свойства поперечных сечений пирамиды:

 

1. Если пересечь пирамиду плоскостью, параллельной основанию, то:

• боковые ребра и высота пирамиды разделятся этой плоскостью на пропорциональные отрезки;

• в сечении получится многоугольник, подобный многоугольнику, лежащему в основании;
• площади сечения и основания будут относиться друг к другу как квадраты их расстояний от вершины пирамиды: S1:S2=X12:X22

2. Если две пирамиды с равными высотами пересечь плоскостями, параллельными основаниям, на одинаковом расстоянии от вершины, то площади сечений будут пропорциональны площадям оснований.

 

 

2.2.1 Площади боковой и  полной поверхности призмы

 

Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности пирамиды – сумма площадей ее боковых граней. Тогда, Sполн. = Sбок + Sосн.

Многоугольник, гранями которого является n – угольники А1А2…Аn и В1В2…Вn, расположенных в параллельных плоскостях, и n четырехугольников А1А2В1В2, А2А3В3В2 ..., называется усеченной пирамидой (рис. 2.3).

 

Рис. 2.3.

 

Основаниями усеченной пирамиды называются параллельные грани ABCD и A1B1C1D1 (ABCD – нижнее основание, а A1B1C1D1 – верхнее основание).

Высота усеченной пирамиды – отрезок прямой,

перпендикулярный основаниям и заключенный

между их плоскостями.

Усеченная пирамида правильная, если ее основания – правильные многоугольники, а прямая, соединяющая центры оснований, перпендикулярна плоскости оснований.

Апофемой усеченной пирамиды называют высоту ее боковой грани

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему:

 

 

2.3 Параллелепипед

 

Рис. 2.4.

 

Параллелепипедом называется призма, основаниями которой служат параллелограммы (рис.2.4). Параллелепипед, боковые ребра которого

перпендикулярны к плоскостям оснований, называется прямым. В противном случае – параллелепипед называется наклонным.

Кубом называют прямоугольный параллелепипед, все двенадцать ребер которого равны. Все шесть граней куба – равные квадраты.

На рисунке (а) изображен наклонный параллелепипед, а на рисунке (б) - прямой параллелепипед. Прямой параллелепипед, основания которого прямоугольники, называется прямоугольным. Все его грани – прямоугольники, и длины трех ребер, выходящих из одной вершины, называются измерениями параллелепипеда.

Некоторые свойства параллелепипеда:

• У параллелепипеда противолежащие грани параллельны, и равны.

 

Рис. 2.5. Параллелепипед.

 

Доказательство

 

Рассмотрим какие-нибудь две противолежащие грани параллелепипеда, например А1А2А'2А'1 и A3A4A'4A'3 (рис. 2.5). Так как все грани параллелепипеда - параллелограммы, то прямая A1A2 параллельна прямой А4А3, а прямая А1А'1 параллельна прямой А4А4'. Отсюда следует, что плоскости рассматриваемых граней параллельны.

Из того, что грани параллелепипеда - параллелограммы, следует, что отрезки А1А4, А1'А4', A'2A'3 и A2A3 - параллельны и равны. Отсюда заключаем, что грань А1А2А'2А'1 совмещается параллельным переносом вдоль ребра А1А4 с гранью А3А4А'4А'3. Значит, эти грани равны. Аналогично доказывается параллельность и равенство любых других противолежащих граней параллелепипеда. Теорема доказана.

• Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

 

Доказательство

Рассмотрим какие-нибудь две диагонали параллелепипеда, например А1А'3 и A4A'2 (рис. 2.6). Так как четырехугольники А1А2А3А4 и A2A'2A'3A3 - параллелограммы с общей стороной A2A3, то их стороны А1А4 и A'2A'3 параллельны друг другу, а значит, лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает плоскости противолежащих граней параллелепипеда по параллельным прямым A1A'2 и A4A'3. Следовательно, четырехугольник A4A1A'2A'3 - параллелограмм. Диагонали параллелепипеда A1A'3 и A4A'2 являются диагоналями этого параллелограмма.  Поэтому они пересекаются и точкой пересечения О делятся пополам. Аналогично доказывается, что диагонали A1A'3 и A2A'4, а также диагонали A1A'3 и A3A'1 пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда заключаем, что все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

 

Теорема доказана.

 

 

 

Рис.2.6.

 

Рис. 2.7.

 

• Сумма квадратов всех диагоналей прямоугольного параллелепипеда равна сумме квадратов всех его ребер (рис. 2.7), то есть: d12 + d22 + d32 + d42 = 4b2 + 4c2
• Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений: d2 = a2 + b2 + c2 

 

 

Доказательство

 

Так как AA1 перпендикулярно к основанию ABCD, то угол AA1C прямой (рис.2.8). Из прямоугольного треугольника AA1C по теореме Пифагора получаем:

 

Рис. 2.8.

 

A1C2 = AC2 + AA12

 

но AC – это диагональ прямоугольника ABCD, поэтому AC2=AB2+AD2 . Кроме того, AA1=CC1, следовательно,

 

A1C2=AB2+AD2+CC12.

 

Теорема доказана.

 

Диагонали прямого параллелепипеда вычисляются по формулам:

 

d12 = a2 + b2 + c2 + 2abcos ά

d22=a2+b2+c2-2abcosά

 

• В параллелепипед можно вписать тетраэдр.

Объем такого тетраэдра равен 1/3 части объема параллелепипеда.

 

V = 1/6 d1d2 p(d1,d2) sin (d1,d2)

 

2.3.1 Площади боковой и  полной поверхности параллелепипеда

 

Площадь боковой поверхности (или просто боковая поверхность) призмы (параллелепипеда) называется сумма площадей всех ее боковых граней. Площадью полной поверхности (или просто полная поверхность) призмы (параллелепипеда) называется сумма ее боковой поверхности и площадей оснований