Методические особенности изучения замечательных точек в школьном курсе планиметрии

- к задаче 45 — тот же треугольник АВС, высоты из вершиныА, В и С, ортоцентр Н, центр описанной окружности О и точки А₁, В₁, С₁, А₃, В₃, С₃ и А₂, В₂, С₂.

Применение вспомогательных  рисунков позволяет сконцентрировать внимание учащихся на изучении нового материала.

Задача 43. С помощью циркуля и линейки постройте ортоцентр, центроид и центр описанной окружности треугольника А₁В₁С₁. Определите их расположение относительно замечательных точек Н, G иО данного треугольника АВС.

Нужно обратить внимание учащихся на следующие свойства треугольника А₁В₁С₁ (рис. 29):

Рис.29.

 

1. Его сторонами являются средние линии треугольника АВС. По свойству средней линии: А₁В₁= 0,5АВ, В₁С₁= 0,5ВС, А₁С₁= 0,5АС.
2. Треугольники АВС и А₁В₁С₁ подобны по трем сторонам, коэффициент подобия равен 2.
3. Высоты треугольника А₁В₁С₁ принадлежат серединным перпендикулярам треугольника АВС, поэтому ортоцентр Н₁ треугольника А₁В₁С₁ совпадает в центром описанной окружностиО треугольника АВС.
4. Медиана АА₁ делит отрезок С₁В₁ пополам, т.е. медиана А₁М треугольника А₁В₁С₁ принадлежит медиане АА₁. Аналогично, остальные медианы треугольника А₁В₁С₁ принадлежат медианам АВС. Значит, центроиды  треугольников G и G₁ совпадают.
5. Из свойств 3 и 4 получим, что прямые Эйлера треугольников  А₁В₁С₁ и АВС совпадают.
6. Поскольку у подобных треугольников соответственные отрезки подобны, то Н₁G₁= 0,5HG, т.е. ОG = 0,5HG. Это свойство прямой Эйлера: центроид треугольника делит расстояние от ортоцентра до центра описанной окружности в отношении 2 : 1.
7. Аналогично, Н₁О₁ = 0,5НО или ОО₁ = 0,5НО, то есть центр описанной окружности О₁ делит отрезок НО пополам. 
   Исследование треугольника А₃В₃С₃ можно предложить выполнить учащимся самостоятельно и обсудить лишь выводы учащихся.Точки А₃, В₃, С₃ — середины отрезков, соединяющих ортоцентр треугольника с вершиной треугольника, — называют точками Эйлера (рис.30).

Рис.30.

После этого стоит  хотя бы немного рассказать о человеке, именем которого названы множество геометрических объектов и теорем.

Леонард Эйлер (15.04.1707, Базель — 18.09.1783, Санкт-Петербург) — величайший и самый плодовитый математик XVIII века, основатель Петербургской математической школы. Ученый Л. Эйлер — это пример математика, обладавшего невероятной  волей и трудолюбием. В 1735 году в  результате перенапряжения при вычислениях  он потерял правый глаз, а концу  жизни полностью ослеп, но эта  трагедия не помешала ему получить интереснейшие и важнейшие математические результаты. Более 900 работ Эйлера относятся ко всем областям математики и ее приложений: теории чисел, алгебре, геометрии, комбинаторике, комбинаторной топологии, вещественному и комплексному анализу, дифференциальным уравнениям, теории вероятностей, астрономии, механике твердого тела и небесной механике, гидродинамике, кораблестроению, навигации, артиллерии, картографии, оптике и теории музыки.

Задача 44. С помощью циркуля и линейки постройте ортоцентр, центроид и центр описанной окружности треугольника А₃В₃С₃. Определите их расположение относительно замечательных точек Н, G иО данного треугольника АВС.

Свойства треугольника А₃В₃С₃ (рис. 30):

1. Сторонами треугольника А₃В₃С₃ являются средние линии треугольников АВН, ВСН и САН. По свойству средней линии: А₃В₃= 0,5АВ, В₃С₃= 0,5 ВС, А₃С₃= 0,5 АС.
2. Треугольники АВС и А₃В₃С₃ подобны по трем сторонам с коэффициентом подобия, равным 2.
3. Соответственные стороны треугольников АВС и А₃В₃С₃ параллельны, поэтому все соответственные отрезки будут принадлежать либо одной, либо параллельным прямым.
4. Высоты треугольника А₃В₃С₃ принадлежат высотам треугольника АВС, поэтому ортоцентры треугольников совпадают.
5. Из свойства 3 следует, что прямые Эйлера треугольников АВС и  А₃В₃С₃ либо параллельны, либо совпадают. Так как ортоцентры треугольников совпадают, то и прямые Эйлера совпадают. Таким образом, центроидG₃ и центр описанной окружности О₃ принадлежат прямой НО.
6. У подобных треугольников соответственные отрезки подобны, поэтому НG₃= 0,5HG и НО₃= 0,5HО.

Очень красивым является факт гомотетии треугольников АВС и А₃В₃С₃ с центром в точке Н. Можно предложить учащимся нахождение точек  треугольника А₃В₃С₃, гомотетичных точкам АВС. Если идея геометрических преобразований интересна учащимся, то можно рассмотреть более сложный случай гомотетии треугольников АВС и А₁В₁С₁.

Далее необходимо провести сравнительный анализ треугольников А₁В₁С₁ и  А₃В₃С₃ (рис. 28):

1. Треугольники А₁В₁С₁ и  А₃В₃С₃ равны, так как подобны треугольнику АВС с одинаковым коэффициентом подобия.
2. Из равенства треугольников А₁В₁С₁ и  А₃В₃С₃ следует равенство длин радиусов описанных окружностей.
3. Ортоцентры, центроиды и центры описанных окружностей треугольников АВС, А₁В₁С₁ и  А₃В₃С₃ принадлежат одной прямой.
4. Из второго равенства свойства 6 треугольника А₃В₃С₃ и свойства 7 треугольника А₁В₁С₁ следует, что центры описанных окружностей этих треугольников совпадают (О₁ и О₃ делят отрезок НО пополам).

Таким образом, из пунктов 2 и 4 следует, что вершины вписанных  треугольников А₁В₁С₁ и  А₃В₃С₃ принадлежат одной окружности. Впервые об этой окружности математический мир узнал от Леонарда Эйлера, который доказал, что середины сторон и основания высот треугольника принадлежат одной окружности. Таким образом, известнейшая теорема об окружности девяти точек или окружности Эйлера формулируется так: «Середины сторон, основания высот и точки Эйлера треугольника принадлежат одной окружности».

Треугольник А₂В₂С₂, вершинами которого являются основания высот данного треугольника, называют ортоцентрическим. Одним из известнейших свойств ортоцентрического треугольника является совпадение его центра вписанной окружности с ортоцентром треугольника АВС. Доказательство этого свойства рекомендуем провести на других занятиях. 
В результате наших исследований установлен факт принадлежности одной окружности шести точек А₁, В₁, С₁ и  А₃, В₃, С₃; найдены ее центр и радиус. Докажем, что этой окружности принадлежат основания высот А₂, В₂, С₂.

Задача 45. Докажите, что основания высот треугольника АВС принадлежат окружности, описанной около дополнительного треугольника для треугольника АВС.

Доказательство: Ранее доказано, что точки   В₃, С₃ и  В₁ принадлежат одной окружности (рис. 31).

Из свойств средних  линий треугольника следует, что В₃С₃ и С₃В₁ соответственно параллельны стороне ВС и проведенной к ней высоте АА₂, т.е. угол В₃С₃В₁ — прямой. Тогда В₃В₁ — диаметр окружности Эйлера, и прямоугольный треугольник В₃В₁В₂ вписан в окружность Эйлера. Аналогично доказывается принадлежность окружности двух других оснований высот.  

Рис.31.

 

Рассмотрим дополнительные задачи на тему «Окружность Эйлера».

Дополнительные задачи направлены на решение следующих задач:

• закрепление умения построения окружности Эйлера в различных треугольниках (задачи 46,47);

• нахождение учащимися  точек, принадлежащих окружности Эйлера, в различных видах треугольника (задачи 46, 47, 48,49);

• определение расположения центра окружности Эйлера в различных  треугольниках и его свойств (задачи 46, 47, 49, 50);

• вывод условия расположения центра окружности Эйлера внутри или вне треугольника (задача 49);

• нахождение расстояния от центра окружности Эйлера до стороны  треугольника (задача 50).

Предлагаемые задачи образуют целостную систему, направленную на изучение свойств окружности девяти точек. Кроме того, они упорядочены  таким образом, что предыдущие задачи являются основой для решения  последующих задач, связанные с  замечательными точками.

Задача 46. Постройте окружность девяти точек для: а) прямоугольного (рис.32); б) равнобедренного (рис.33); в) равностороннего треугольников. Покажите расположение девяти точек, принадлежащих окружности Эйлера, и определите расположение центра окружности.

Рис.32.

 

Решение: а) известно,  что в прямоугольном треугольнике совпадают (рис.32):

1) вершина прямого угла, ортоцентр треугольника, основания  высот, проведенных из острых  углов, и точка Эйлера на  высоте, проведенной к гипотенузе (B ≡ H ≡ A₂ ≡ C₂ ≡ B₃); 2) середина гипотенузы и центр описанной окружности (B₁ ≡ O); 3) середины катетов АВ и ВС и точки Эйлера (A₁ ≡ C₃ и C₁ ≡ A₃). Тогда окружность девяти точек пройдет через пять различных точек: через вершину прямого угла, середины сторон треугольника и основание высоты, проведенной из прямого угла. Центр окружности девяти точек делит пополам медиану, проведенную из вершины прямого угла.

Рис.33.

б) В равнобедренном треугольнике замечательные линии (медиана, биссектриса, высота, серединный перпендикуляр), проведенные  к основанию, совпадают (B₁ ≡ B₂) (рис. 33). Тогда замечательные точки треугольника О, H, G, I, а так же и центр окружности девяти точек О₉, принадлежат прямой ВВ₁. Таким образом, окружность Эйлера пройдет через восемь различных точек, а ее центр делит пополам В₁В₃. (Отметим, что все точки окружности Эйлера симметричны относительно серединного перпендикуляра проведенного к основанию равнобедренного треугольника.)

в) В равностороннем треугольнике совпадают основания высоты и  медианы, проведенных к любой  стороне (A₁ ≡ A₂, B₁ ≡ B₂, C₁ ≡ C₂) , поэтому совпадают замечательные точки О, H, G, I и центр окружности девяти точек О₉. Таким образом, в равностороннем треугольнике окружность Эйлера проходит через шесть различных точек, а ее центр совпадает с центром треугольника.

Задача 47. Постройте окружность девяти точек и определите расположение ее центра для тупоугольных треугольников с углами: а) 100 ° и 30°; б) 130° и 30°.

Решение: а) центр окружности Эйлера лежит внутри треугольника; б) центр окружности Эйлера лежит вне треугольника. 
Это небольшое задание на построение предваряет проблему поиска свойств треугольника, для которого центр окружности девяти точек лежит вне треугольника. Для этого необходимо решить задачи 48 и 49.

Задача 48. Докажите, что окружности девяти точек треугольников АВС и АНС, где Н — ортоцентр треугольника, совпадают.

Решение: Рассмотрим остроугольный треугольник АВС, высоты которого пересекаются в точке Н (рис. 31). По теореме о внешнем угле следует, что ∠AHC = ∠HA₂C + ∠A₂CH = 90° + ∠A₂CH, т.е. угол АНС — тупой. Высотами тупоугольного треугольника АНС являются отрезки АС₂, НВ₂ и СА₂, то есть, точки А₂, В₂, С₂ — основания высот треугольника АВН. Отсюда следует, что окружности Эйлера для треугольников АВС и АНС совпадают. 
При проведении анализа этой задачи обратите внимание на совпадение середин сторон треугольника АВС с точками Эйлера треугольника АНС и, наоборот, точек Эйлера треугольника АВС с серединами сторон АНС. Нужно отметить, что радиусы описанных окружностей этих треугольников равны.

Задача 49. Дан тупоугольный треугольник АВС с острым углом А, равным α . Центр окружности Эйлера принадлежит стороне АВ. Чему равен тупой угол В?

Решение: Проведем высоты треугольника, причем высоты АА₂ и СС₂ лежат вне данного треугольника (рис. 34).