Методические особенности изучения замечательных точек в школьном курсе планиметрии

Задача 31. Обозначив расстояния от F до вершин DABC через x₁, x₂, x₃, выразите x₁, x₂, x₃ через стороны треугольника a, b, c и s = x₁ +  x₂ + x₃.

Решение:

Непосредственно применяя теорему  косинусов, нетрудно получить следующие  выражения для искомых величин:

,

,

.

Задача 32. а) Докажите, что внутри треугольника ABC существует такая точка P, что ÐABP = ÐCAP = ÐBCP.

б) На сторонах треугольника ABC внешним образом построены подобные ему треугольники CA₁B,CAB₁ и C₁AB (углы при первых вершинах всех четырех треугольников равны и т. д.). Докажите, что прямые AA₁,BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке, причем эта точка совпадает с точкой задачи а).

Решение.

Решим сразу  задачу б). Докажем сначала, что прямые AA₁,BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Пусть описанные окружности треугольников A₁BC и AB₁C пересекаются в точке O. Тогда Ð(BO,OA) = Ð(BO,OC) + Ð(OC,OA)  =  Ð(BA₁,A₁C) + 

Ð(CB₁,B₁A) = Ð(BA,AC₁) + Ð(C₁B,BA) = Ð(C₁B,AC₁), т. е. описанная окружность треугольника ABC₁ тоже проходит через точку O. Поэтому Ð(AO,OA₁) = Ð(AO,OB) + Ð(BO,OA₁)  =  Ð(AC₁,C₁B) + Ð(BC,CA₁) = 0°, т. е. прямая AA₁ проходит через точку O. Аналогично доказывается, что прямые BB₁ и CC₁ проходят через точку O.

Докажем теперь, что точка O совпадает с искомой точкой P. Так как ÐBAP = ÐA – ÐCAP, то равенство ÐABP = ÐCAP эквивалентно равенству ÐBAP + ÐABP = ÐA, т. е. ÐAPB = ÐB + ÐC. Для точки O последнее равенство очевидно, так как она лежит на описанной окружности треугольника ABC₁.

Замечание. Точку P называют первой точкой Брокара треугольника ABC. Аналогично доказывается, что существует еще и вторая точка Брокара Q, для которой ÐBAQ = ÐACQ = ÐCBQ.

Замечание. Точкам Брокара соответствуют противоположно ориентированные треугольники; для первой точки Брокара DABC = DB₁C₁A₁, а для второй точки Брокара DABC = DC₁A₁B₁.

Задача 33. Пусть Q- вторая точка Брокара треугольника ABC,  O- центр его описанной окружности,  A₁,B₁ и C₁- центры описанных окружностей треугольников CAQ,ABQ и BCQ. Докажите, что A₁B₁C₁ ~ ABC и O- первая точка Брокара треугольника A₁B₁C₁.

Решение.

Прямые A₁B₁,B₁C₁ и C₁A₁ являются серединными перпендикулярами к отрезкам AQ,BQ и CQ. Поэтому, например,  ÐB₁A₁C₁ = 180° – ÐAQC = ÐA. Для других углов доказательство аналогично.

Кроме того, прямые A₁O,B₁O и C₁O являются серединными перпендикулярами к отрезкам CA,AB и BC. Поэтому, например, острые углы OA₁C₁ и ACQ имеют взаимно перпендикулярные стороны, поэтому они равны. Аналогичные рассуждения показывают, что ÐOA₁C₁ = ÐOB₁A₁ = ÐOC₁B₁ = j, где j- угол Брокара треугольника ABC.

Задача 34. Пусть P- точка Брокара треугольника ABC;  R₁,R₂ и R₃- радиусы описанных окружностей треугольников ABP,BCP и CAP. Докажите, что R₁R₂R₃ = R³, где R- радиус описанной окружности треугольника ABC.

Решение.

По теореме синусов 

 

 
Ясно также, что sin APB = sin A, sin BPC = sin B и sin CPA = sin C.

1.3.4. Точка Микеля.

Задача 35.Теорема. Четыре прямые образуют четыре треугольника. Описанные окружности этих треугольников имеют общую точку (точка Микеля)

Рис.19.

 

Решение.

Из условия задачи следует, что никакие три прямые не пересекаются в одной точке. Пусть прямые AB,AC,BC пересекают четвертую прямую в точках D,E,F соответственно (рис.19). Обозначим через P точку пересечения описанных окружностей треугольников ABC и CEF, отличную от точки C. Докажем, что точка P принадлежит описанной окружности треугольника BDF. Для этого достаточно проверить, что Ð(BP,PF) = Ð(BD,DF).Ясно,что Ð(BP,PF) = Ð(BP,PC) + Ð(PC,PF) = Ð(BA,AC) + Ð(EC,EF) = Ð(BD,AC) +  + Ð(AC,DF) = Ð(BD,DF). Аналогично доказывается, что точка P принадлежит описанной окружности треугольника ADE.

Задача 36. Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности, проходящей через точку Микеля.

Решение. Воспользуемся обозначениями рис.19. Согласно предыдущей задаче описанные окружности треугольников ABC,ADE и BDFпроходят через точку P, поэтому их можно рассмотреть как описанные окружности треугольников ABP,ADP и BDP. Следовательно, их центры лежат на окружности, проходящей через точку P . Аналогично доказывается, что центры любых трех из данных окружностей лежат на окружности, проходящей через точку P. Следовательно, все четыре центра лежат на окружности, проходящей через точку P.

Задача 37. Прямая пересекает стороны AB,BC и CA треугольника (или их продолжения) в точках C₁,B₁ и A₁;  O,O_a,O_b и O_c- центры описанных окружностей треугольников  ABC,AB₁C₁,A₁BC₁ и A₁B₁C;  H,H_a,H_b и H_c- ортоцентры этих треугольников. Докажите, что:

а)DO_aO_bO_c ~ DABC.

б)Серединные перпендикуляры к отрезкам OH,O_aH_a,O_bH_b и O_cH_c  пересекаются в одной точке

Решение. а) Пусть P- точка Микеля для прямых AB,BC,CA и A₁B₁. Углы между лучами PA,PB,PC и касательными к окружностям S_a,S_b,S_c соответственноравны Ð(PB₁,B₁A) = Ð(PC₁,C₁A), Ð(PC₁,C₁B) = Ð(PA₁,A₁B), Ð(PA₁,A₁C) = Ð(PB₁,B₁C).

А так как Ð(PC₁,C₁A) = Ð(PC₁,C₁B) = Ð(PA₁,A₁C) = φ, то при повороте на угол φ с центром P прямые PA,PB и PC переходят в касательные к окружностям S_a,S_b и S_c, а значит, при повороте на угол 90° – φ эти прямые переходят в прямые PO_a,PO_b и PO_c. Кроме того,  PO_a/PA = PO_b/PB = PO_c/PC = 1/2sinφ. Следовательно, при повороте на 90° – φ и гомотетии с центром P и коэффициентом 1/2sinφ треугольник ABC переходит в O_aO_bO_c.

б) Рассмотренное  в решении задачи а) преобразование переводит центр O описанной окружности треугольника ABC в центр O’ описанной окружности треугольника O_aO_bO_c, а ортоцентр H треугольника ABC в ортоцентр H’ треугольника O_aO_bO_c. Достроим треугольник OO’H’ до параллелограмма OO’H’M. Так как OH/OM = OH/O’H’ = 2sin φи ÐHOM = Ð(HO,O’H’) = 90° – φ, то MH = MO, т. е. точка M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку OH. Остается заметить, что для вписанного четырехугольника OO_aO_bO_c с точкой M определена однозначно: взяв вместо точки O любую из точек O_a,O_b,O_c, получим ту же самую точку M

Задача 38. Четырехугольник ABCD вписанный. Докажите, что точка Микеля для прямых, содержащих его стороны, лежит на отрезке, соединяющем точки пересечения продолжений сторон.

Решение.Можно считать, что лучи AB и DC пересекаются в точке E, а лучи BC и AD- в точке F.

Пусть P- точка пересечения описанных окружностей треугольников BCE и CDF. Тогда  ÐCPE = ÐABC и ÐCPF = ÐADC. Поэтому ÐCPE + ÐCPF = 180°, т. е. точка P лежит на отрезке EF.

Замечания:

1)центры  описанных окружностей этих треугольников  лежат на одной окружности, проходящей  через точку Микеля.

2)Четырёхугольник,  образованный данными прямыми,  вписан тогда и только тогда,  когда точка Микеля лежит на прямой, соединяющей две из шести точек пересечения прямых (те, которые не являются вершинами четырёхугольника).

1.3.5. Треугольники Наполеона.

Если на сторонах DABC внешним образом построить равносторонние треугольники, то их центры являются вершинами равностороннего внешнего треугольника Наполеона.[21].

Действительно, вершины DO₁O₂O₃ являются центрами окружностей, описанных вокруг равносторонних треугольников и пересекающихся в точке F. Поэтому стороны DO₁O₂O₃ перпендикулярны отрезкам FA, FB и FC, и углы между ними равны 60° (рис.20).

Рис.20.

Определение. Если на сторонах DABC построить равносторонние треугольники во внутреннюю сторону и соединить их центры, то получится равносторонний внутренний треугольник Наполеона. Треугольник PQR  в этом случае называется внешним треугольником Наполеона.

Рис.21.

Задача 39. Найти длины сторон внутреннего и внешнего треугольников Наполеона.

Решение.

Применив теорему косинусов  к DCO₁O₂, можно вывести формулу для стороны внешнего треугольника Наполеона:

,

где S – площадь DABC.

Для стороны внутреннего  треугольника Наполеона аналогично получается

.

Задача 40. Докажите, что для сторон внутреннего и внешнего треугольников Наполеона верны равенства:

,

.

 

Указание. Решение этой задачи получается элементарными алгебраическими преобразованиями формул, полученных в предыдущей задаче.

Задача 41. Найти расстояние от точки Ферма до центра описанной окружности.[8].

Решение.

Ранее было получено, что 

,

где и l₁ – длина стороны внешнего треугольника Наполеона.

Итак,

 

Аналогично

,

.       (1)

Точка Ферма F лежит на прямой CC₁, которая соединяет вершину C исходного DABC с вершиной C₁ равностороннего DABC₁ (рис.22); O – центр описанной окружности.

Рис.22.

ИзDOCFимеемOF² = CF² + CO² – 2CF ·CO ·cos ÐOCF.   (2)

Обозначим угол BCC₁черезj;

,

. 
С учетом этого преобразуем формулу (2):

 
= x₃² + R² – 2x₃R sin (j + α) = x₃² + R² – 2x³R (sin φ cos α + cos φ sin α) = x₃² + R² –  2Rh cos α – 2x₃R cos φ sin α,       (3)

где h = x₃sin φ – высота  DBCF, опущенная на сторону BC,

.

Найдем по теореме косинусов  для DBCC₁

 

где s = |CC₁| = x₁ + x₂ + x₃.

Для α (применим теоремы косинусов и синусов к DABC)

 

Подставив полученные выражения  в (3), находим

 

Тогда с учетом (1) получим

 

 

 

 

 

Итак,

.          (4)

Подставив в (4) x₁, x₂, x₃ из (1), получим формулу

(5)

которую преобразуем к виду  

        (6)

где d – расстояние от точки пересечения медиан до центра описанной окружности.

Глава 2.Методические возможности изучения темы «Замечательные точки треугольника» в школьном курсе планиметрии в 7-9 классах.

2.1. Логико-дидактический анализ темы «Замечательные точки  треугольника» в школьном курсе планиметрии в 7-9 классах.

Прежде  чем приступать к способам изложения  материала, проведём небольшой анализ и определим темы, которые школьники  изучают на протяжении 7-9 классов, и сделаем необходимые выводы, для того, чтобы узнать в каком из 3х классов предпочтительней начать более глубокое изучение замечательных точек. 

7 класс

1. Начальные понятия геометрии

• Отрезок, луч, прямая

• Плоскость, полуплоскость
• Угол
• Окружность

2. Параллельность и параллельный перенос

• Параллельность прямых и центральная симметрия
• Признаки параллельности двух прямых
• Практические способы построения параллельных прямых
• Аксиома параллельных прямых
• Параллельный перенос

3. Треугольник

• Первый признак равенства треугольников
• Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
• Второй и третий признаки равенства треугольников
• Свойства треугольника
• Теорема о сумме углов треугольника
• Остроугольный, тупоугольный, прямоугольный треугольники

4. Соотношения между сторонами и углами треугольника