Степенной закон распределения в нефтегазовой отрасли

Ранговое степенное распределение. Этот тип распределений связывают с именем лингвиста Джорджа Зипфа, который в середине 20-го века обнаружил, что частота употребления слов в естественных языках соответствует степенному закону. Однако, в своём анализе Зипф использовал не частотное распределение, а ранговое.

Мы берём данные по населению городов и просто сортируем города в порядке убывания их населения. Номер, который получает в этом списке каждый город, именуется его рангом. Теперь нам достаточно построить диаграмму, в которой по оси Y откладывается население каждого города, а по оси X - его ранг (рис. 4).

 

Рисунок 4. График рангового распределения населения

 

Построим это распределение в двойных логарифмических координатах (рис. 5).

 

Рисунок 5. График рангового распределения в двойных логарифмических осях

 

Видно, что для российских городов с населением более 3000 человек степенной закон хорошо выполняется, особенно в промежутке между 3000 и 1000000 человек (промежуток отмечен оранжевыми границами). Города-миллионники (не считая Москвы и Петербурга) выбиваются из общей картины, они существенно «не добирают» населения. Резкое искажение общей картины имеется и для населённых пунктов с населением меньше 3000 человек.

Огромное преимущество рангового степенного распределения в том, что значимыми у нас остаются все имеющиеся данные, они все представлены точками на распределении. Благодаря этому существование степенного закона, а также показатель степени можно установить с гораздо большей точностью, нежели при частотном распределении. В данном конкретном примере показатель степени K (rank) оказывается равным -1,09 (с довольно высокой точностью).

Мы говорили, что если в статистике явления имеется степенной закон, то он будет проявляться на любом из трёх типов распределений, с которыми мы знакомимся. Но показатели степени будут во всех трёх случаях разные. И вот, на нашем примере мы видим, что при использовании частотного распределения мы получили показатель степени около -1,8, а при ранговом - показатель -1.

Сравнивая эти два значения, можно подумать, что между ними разница составляет около 1. Известно, что за исключением редких случаев между показателем частотного степенного распределения K (freq) и показателем рангового K (rank) действует следующее соотношение:

                                                                                                      (6)

В нашем случае K (rank) = -1,09, значит, K (freq) должен быть равен примерно -1,92. Это соответствует нашему приблизительному практическому результату (-1,7 – -1,9) и разница между K (freq) и K (rank), действительно, составляет около единицы.

Кумулятивное степенное распределение. Близким родственником рангового распределения является кумулятивное распределение или, как еще его называют, распределение Парето.

На кумулятивном распределении по оси X отмечается величина параметра, у нас это население города, а по оси Y - количество городов, население которых больше или равно текущему X. Скажем, в нашем примере для точки X=909341 (население Красноярска) получается Y=14, потому что в России есть только 14 городов, население которых превышает или равно 909341 человек. Следующей точкой будет X=1001653 (Пермь), и значение Y для этой точки равно 13. Последней точкой распределения будет Москва (X=10126424, Y=1).

Построим кумулятивное распределение для нашего примера (рис. 6) [4].

 

Рисунок 6. График кумулятивного распределения населения

 

И оно же в двойных логарифмических координатах (рис. 7).

 

Рисунок 7. График кумулятивного распределения в двойных логарифмических осях

 

Форма графика очень похожа на форму рангового распределения – только перевёрнутого, словно оси X и Y поменялись местами. И это не случайно. Действительно, кумулятивное распределение является ничем иным, как обращенным ранговым распределением. И просто понять, почему: последняя точка на кумулятивном распределении соответствует Москве (X=10126424, Y=1). Но Москва же оказывается и первой точкой рангового распределения (X=1, Y=10126424). Далее, Санкт-Петербург - это предпоследняя точка кумулятивного распределения (X=4661219, Y=2), но вторая точка рангового распределения (X=2, Y=4661219). Получается, что движение от конца кумулятивного распределения к его началу в точности соответствует движению по ранговому распределению, но наоборот, от начала к концу [4].

Трудно сказать, почему Парето в своих работах предпочёл кумулятивное распределение более простому и понятному ранговому. Вероятно, тут сыграло свою роль, что в нём по оси X откладываются значения статистического параметра (у нас это население) - также как в «научно правильном» частотном распределении. Как бы то ни было, кумулятивные распределения получили широкое распространение и нам важно их не путать ни с частотными ни с ранговыми.

Кумулятивное распределение является обратным ранговому и это позволяет нам легко установить соотношение между их показателями степени: показатель степенного кумулятивного распределения точно обратен показателю степенного рангового распределения.

 Конкретно, в нашем примере получается, что показатель кумулятивного распределения (распределения Парето) K(cumm) равен 1/-1,09 = -0,92

Итак, мы теперь можем записать парные соотношения между показателями степенных распределений трёх типов [4].

Предполагаем, что показатели K меньше 0 (какими они и являются в рассматриваемых нами степенных распределениях). Выполняются соотношения:

 

Стоит так же упомянуть о каскадном дроблении континуума. Под континуумом понимают любое пространство или множество – это может быть физическое пространство, множество людей, проживающих в какой-то стране, множество денег, имеющихся в экономике, множество слов в тексте и т.д. Всё, что можно многократно делить на части, дробить – это континуум. Каскадным дроблением именуют дробление этапами, каскадами, когда исходный континуум дробится многократно. Например, на первом этапе дробят исходный квадрат на 9 частей, затем каждую из них снова дробят на 9 частей и т. д.

 

Например, рассмотрим отрезок, который на первом этапе дробили на два равных отрезка, на втором этапе каждый из них снова делим пополам и т.д.

 

В совокупности все отрезки будут соответствовать распределению с β=1. Естественно, что можно делить отрезки не на 2, а на 3, 4... – какое угодно число равных частей и всё равно будет получен в совокупном распределении закон Зипфа. Можно дробить отрезки на каждом каскаде на части разного размера, на произвольное число частей каждый, и даже вообще случайно- и всё равно будет получен в среднем в совокупном распределении отрезков закон Зипфа.

 

 

 

 

 

2. Закон Парето  в нефтегазодобыче

 

Гиперболический закон описывает не только распределение запасов, он характерен также для многих систем и процессов, связанных с добычей нефти и газа. Наиболее ярко это проявляется в асимметричности многих показателей разработки, приводящей к закономерностям, подобным принципу «80%-20%» Парето. Например, основная часть притока жидкости в скважину обычно поступает из пропластков, занимающих лишь малую часть всей продуктивной мощностью пласта. Анализ фонда скважин показывает, что обычно небольшая часть скважин обеспечивает «львиную» долю общей добычи (80% - 70%) месторождения. Распределение скважин по дебиту нефти описывается, как правило, законом Парето.

Выделение на основе принципа Парето основных объектов, являющихся определяющими для данного технического процесса, позволяет правильно планировать и организовывать необходимые геолого-технические мероприятия. Например, анализ бездействующего фонда скважин с использованием закона Парето позволяет выделить 20% - 30% скважин, определяющих основную долю «отложенной» добычи и подлежащих первоочередному ремонту.

Закон Парето может послужить основой для построения некоторых диагностических процедур. Так, если рассматриваемая выборка неоднородна, то в логарифмических координатах мы получаем не одну, а несколько прямых. При этом точки, лежащие на одном отрезке, можно считать принадлежащими одной выборке.

Одной из целей оптимизации разработки нефтяных месторождений является достижение однородности режимов работы скважин и выработки запасов нефти. Поэтому построение кривых Лоренца в координатах «доля скважин» - «доля добычи» может оказаться весьма полезным инструментом для оценки неоднородности работы фонда скважин, а так же для оценки изменения неоднородности после проведения тех или иных мероприятий. Количественные оценки могут быть получены путём вычисления значений коэффициента Лоренца.

Кривая Лоренца может быть так же использована для оценки неоднородности строения пласта: 80% притока к скважине обеспечивается всего лишь 25% общей мощности пласта, что объясняется большой неоднородностью пласта. Такие кривые Лоренца предложено использовать для выделения так называемых «элементов потока» - интервалов с более или менее однородными свойствами. Такие кривые могут оказаться очень полезными при обосновании необходимого числа слоёв при создании трёхмерных гидродинамических моделей.

 3. Выявление закономерностей распределения числа скважин в зависимости от накопленной добычи и дебита на примере Новошешминского и Северного месторождения. Построение графиков степенных распределений

 

Основываясь на исходные данные (таблица 1) и информацию, представленную в предыдущих главах, проведём анализ данных по добыче Новошешминского и Северного месторождений, с целью выявления закономерностей между дебитами, накопленной добычей и числом скважин.

Таблица 1

Исходные данные для проведённого анализа

Новошешминское месторождение
№	№ Скв.	Режим работы при запуске			Накопленная добыча
		Qж,м3/сут	Qн, т/сут	%В	Qж, м3	Qн, т
1	881	5	4,2	8	26847	20475
2	887	28	3,5	87	43764	32445
3	2531	14	12,2	5	43840	35409
4	2536	13	11,2	5	38035	24000
5	2541	3,3	2,7	10	2684	2042
6	2545	3	2,6	5	8049	18594
7	3488	1,7	0,3	88	7838	9937
8	3491	2	0,4	80	7038	12553
9	3503	3	2,8	5	7294	8188
10	3504	3,4	2,9	6	50438	42507
11	3508	2,5	2,1	10	14782	12772
12	3512	2	1,7	5	13202	12408
13	3513	7	3,3	48	9085	7812
14	3520	3	0,8	70	16154	15134
15	3522	1,3	1,1	12	8938	10553
16	3524	2	1,8	5	7410	17936
17	3525	4	1,9	50	11180	16376
18	3529	1	0,9	5	8366	21265
19	3530	6	5,1	7	6417	7432
20	3531	2	1,6	15	3410	3960
21	3532	3	2,5	10	3581	4152
22	3533	3	2,5	10	1515	1292
23	3534	4,9	4,1	10	1455	1262
24	3536	8	6,8	7	7416	8619
25	3537	4	3,4	7	13610	11461
26	3538	5,4	4,6	10	6054	4581
27	3539	9	7,5	8	9478	4215
28	3540	9	7,6	7	10476	8934
29	3541	10	7,3	20	13180	33648
30	3542	5,5	4,6	7	5347	4613
31	3544	3	2,5	10	3298	1954
32	3545	18,8	14,8	15	57764	53717
33	3546	7,5	6,2	10	12105	10265
34	3547	15	12,5	10	120462	97631
Продолжение Таблицы 1
35	3549	9,9	5,5	40	16074	10820
36	3550	3	0,4	85	69437	27527
37	3551	5	4,2	7	6561	5651
38	3554	15	9,7	30	95501	19177
39	3557	0,5	0,4	10	20127	17014
40	3581	1,5	0,8	40	27858	16248
41	3582	2	1,2	35	19194	14850
42	3583	2	1,8	10	34538	22451
43	3584	4,2	3,7	2	8152	5023
44	3585	1	0,7	20	2249	1956
45	3586	4,2	3,5	10	6707	5795
46	3587	7,5	6,3	8	5783	4919
47	3619	2,7	2,1	15	15711	13059
48	3620	2	1,6	15	15484	13203
49	3621	7,1	5,9	10	10586	8930
50	3622	3	1,1	60	26640	12364
51	3623	8	6,6	14	60970	51407
52	3625	1,5	1	30	15382	7877
53	3626	2,7	0,3	90	6568	3621
54	3627	3	2,6	8	5534	3895
55	3630	1,5	1,2	10	6230	4395
56	3631	3	2,8	2	26729	2728
57	3634	3	2,5	10	20019	6285
58	3635	8,6	7,2	10	8225	6343
59	3636	1,4	0,6	50	9775	4895
60	3637	1,7	1,4	12	9467	7790
61	3640	2,6	2,3	6	12291	9946
62	3641	3,9	3,5	7	19156	15590
63	3643	2	1,7	10	20554	13428
64	3644	2,6	2,4	5	11929	10271
65	3653	1,1	0,1	99	26750	9294
66	3654	0,7	0,6	15	5589	4476
67	3657	5	4,3	5	6429	4996
68	3660	7,5	6,6	5	19148	6854
69	3661	1	0,8	10	16762	7716
70	3869	2,5	2,1	10	36237	30377
71	3885	4,7	4	8	38622	32042
72	3887	10	8,7	5	9700	5015
73	3918	6,7	5,7	8	16588	14224
74	3919	3	2,6	5	12923	8356
75	3920	4	3,4	5	16425	13536
76	3921	9,5	8,1	5	34815	26902
77	3923	5	4,3	5	15188	7388
78	3924	6	5,2	5	18022	14300
79	3926	5,5	4,8	5	13517	5850
80	3927	5,5	4,8	5	15354	13205
81	3928	4,9	4,2	7	7869	3329
82	3931	7	6,1	4	28829	24443
83	3932	9	7,6	7	21442	18263
84	3933	3,5	3	5	14294	10400
85	3934	7	6,1	5	11331	9737
86	3935	5,5	4,7	5	9007	7713
87	3937	4	3,5	5	20736	9324
Продолжение Таблицы 1
88	3947	7	6	7	5114	3694
89	3948	2,8	2,2	15	17539	2689
90	3949	3	2,6	5	6537	2846
91	3951	7	6	6	6619	5497
Северное месторождение
№	№ Скв.	Режим работы при запуске			Накопленная добыча
		Qж,м3/сут	Qн, т/сут	%В	Qж, м3	Qн, т
1	722	5	4,2	5	23071	7592
2	883	4	3,6	3	21558	18549
3	3725	4	3,5	5	5727	3629
4	3726	6	5,2	5	10983	7180
5	3727	4	2,6	30	6348	2771
6	3728	4	3,5	5	8482	7174
7	3729	4	3,5	5	42211	5303
8	3730	3	2,6	5	3659	2912
9	3733	6,7	5,9	4	20565	14284
10	3735	3	2,2	20	6241	3890
11	3746	3	2,2	20	2398	2043
12	3748	3,1	2,3	20	1492	1278
13	3753	4	2	45	10248	8396
14	3754	9	7,9	4	45181	30761
15	3755	5	4,3	5	28124	13124
16	3756	2	1,8	2	7280	4419
17	3757	6	3,3	40	17878	2134
18	3758	10	1,8	80	5903	1658
19	3759	7	4,1	35	20524	5470
20	3764	6	5,2	5	39069	24656
21	3768	2,5	2,2	5	7793	6346
22	3769	9,5	8	8	11185	9272
23	3770	4	3,5	5	14613	10125
24	3772	5	4,3	5	12246	10436
25	3773	8,5	3,9	50	6897	4041
26	3774	18,5	15,8	6	65122	28667
27	3775	4	3,5	5	15442	11870
28	3776	7,5	6,5	5	12777	9389
29	3777	6	5,2	5	13565	11638
30	3779	4	3,5	5	78307	58837
31	3780	8	6,9	5	21609	18134
32	3781	4	3,5	5	8688	7435
33	3783	15	13	5	72988	61786
34	3784	5	4,3	5	43680	37407
35	3785	10	8,6	5	39243	33500
36	3786	7	6,2	5	18686	15652
37	3787	4	3,5	5	86092	73185
38	3788	5	4,2	5	16824	14442
39	3789	3	2,6	5	25454	16025
40	3790	1,7	1,4	8	24913	21423
41	3792	9	7,8	5	11460	9835
42	3794	3	2,3	15	9369	7155
43	3800	6	5,2	5	17799	14959
44	3801	15	13,1	4	41926	35879
45	3802	7	5,7	10	35025	29130
Продолжение Таблицы 1
46	3803	5	4,3	5	11123	8300
47	3804	5,5	4,8	5	16762	10841
48	3806	7	5,4	15	14920	10930
49	3807	5,5	4,8	5	32505	26384
50	3808	6,5	5,7	5	20846	14663
51	3809	10	8,7	5	23159	14610
52	3811	4	3,4	5	16768	7993
53	3813	10	8,5	5	56792	28146
54	3815	7	6,1	5	13744	11566
55	3816	3	2,6	5	21942	17601
56	3817	3	2,6	5	11416	9843
57	3818	3	2,6	5	10901	9368
58	3819	9	7,6	5	32929	16340
59	3820	5	4,2	5	31883	4647
60	3821	12	10,4	5	14840	12555
61	3822	3,5	3,1	5	11351	8107
62	3823	5	4,3	5	21126	18150
63	3824	2,5	2,2	5	22511	16822
64	3825	6	5,2	5	20770	17953
65	3826	4	3,3	10	17223	13544
66	3827	3	2,6	6	10605	8943
67	3828	3	2,6	5	17029	14700
68	3833	2,5	2,1	10	1302	675

 

 

Сначала построим для Новошешминского и Северного месторождений гистограммы, отображающие зависимость числа скважин от дебитов (рис. 8, рис. 9).

Рисунок 8. Гистограмма зависимости числа скважин от дебита скважин Новошешминского месторождения

Рисунок 9. Гистограмма зависимости числа скважин от дебита скважин Северного месторождения

Представленные гистограммы позволяют сделать вывод о том, что наибольшее количество нефти в сутки даёт наименьшее количество скважин (чаще всего одна); при этом точкам с максимальным числом скважин соответствуют средние значения по дебитам.

Для каждого месторождения построим графики трёх типов степенных распределений накопленной добычи по жидкости, накопленной добычи по нефти, а так же дебита по нефти.

Частотное распределение. Для построения графика частотного распределения необходимо шкалу накопленной добычи или дебитов разделить на равные промежутки – «корзины». При построении графиков частотного распределения для Новошешминского месторождения шкалу накопленной добычи по жидкости разделим на корзины по 2 000 тонн; шкалу накопленной добычи по нефти разделим на корзины по 1 000 тонн; а шкалу дебитов разделим на корзины по 3 тонны в сутки (рис 10, рис. 11, рис. 12).

Рисунок 10. График частотного распределения накопленной добычи по жидкости Новошешминского месторождения

Рисунок 11. График частотного распределения накопленной добычи по нефти Новошешминского месторождения

 

Рисунок 12. График частотного распределения дебита нефти Новошешминского месторождения

 

Из представленных графиков видно, что максимальное число скважин попадает в первую корзину, то есть обладает минимальными значениями накопленной добычи и дебитов; и соответственно минимальное число скважин попадает в последнюю корзину.

Построим эти же графики распределения, только в зависимости не от числа скважин, а от относительной доли, которую составляет содержание каждой корзины к общему числу скважин (рис. 13, рис. 14, рис. 15).

Рисунок 13. График частотного распределения накопленной добычи по жидкости в зависимости от доли скважин Новошешминского месторождения

 

Рисунок 14. График частотного распределения накопленной добычи по нефти в зависимости от доли скважин Новошешминского месторождения

Рисунок 15. График частотного распределения дебита нефти в зависимости от доли скважин Новошешминского месторождения

 

Таким образом, видно, что в первую корзину по накопленной добычи по жидкости попадает  примерно 70% скважин, по накопленной добычи по нефти – примерно 50% скважин, по дебиту нефти  - так же примерно 50%.

Для того чтобы проверить являются ли данные зависимости степенными построим графики распределения в двойных логарифмических осях (рис. 16, рис. 17, рис. 18).