Степенной закон распределения в нефтегазовой отрасли

Содержание

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Степенные распределения – уникальное статистическое свойство фрактальных структур, их характерный признак. Степенные распределения известны своей парадоксальностью, а также неожиданно широкой распространенностью в самых разных природных и социальных явлениях. При этом часто их происхождение остаётся загадкой, которую многие пытались и пытаются решить.

В 1897 году итальянский экономист В. Парето показал, что 20% населения страны распоряжалось 80% её богатств. Потом аналогичная закономерность была обнаружена в самых разных областях, в том числе и в нефтегазодобыче. Например, основная часть притока жидкости в скважину обычно поступает из пропластков, занимающих лишь малую часть всей продуктивной мощностью пласта. Анализ фонда скважин показывает, что обычно небольшая часть скважин обеспечивает «львиную» долю общей добычи (80% - 70%)  месторождения.

Выделяют три различных типа степенных распределений:

1. Частотное степенное распределение

2. Ранговое степенное распределение

3. Кумулятивное степенное распределение.

В данном курсовом проекте были рассмотрены три типа степенных распределений на примере Новошешминского и Северного нефтяных месторождений Татарстана. Целью данной курсовой работы является анализ данных по добыче Новошешминского и Северного месторождения для выявления закономерностей между дебитом, накопленной добычей и числом скважин. Для реализации поставленной цели необходимо решить ряд задач:

• изучить теоретические основы степенного закона распределения;
• изучить применение закона Парето и степенного закона в нефтегазодобыче;
• построить графики различных степенных распределений для каждого месторождения и провести их анализ.

 

 

 

 

 

1. Теоретические основы закона степенного распределения

 

Гауссово распределение вероятностей, проверенное на огромном количестве статистических фактов утверждает: чем выше вероятность события, тем ниже его эффект, производимое им действие (не важно положительное или отрицательное). События с низким эффектом происходят часто с экстремально большим эффектом – очень редко. Степенное распределение нарушает это правило - согласно ему события с очень большим эффектом могут происходить достаточно часто. В теории экстремальных значений, основы которой были заложены еще в двадцатых годах, но которая получила серьезное развитие только в последнее десятилетие показано что в сложных нелинейных системах вблизи точек кризисов Гауссово распределение «не работает», а «работает» другое распределение вероятностей, которое известно под разными названиями «степенное распределение», «распределение с тяжелым хвостом», «распределение Ципфа – Парето» или «закон 20/80» в социологии, «1/f распределение» в физике, «фрактальное распределение» в синергетике и т.д.

Это выглядит совершенно нелогичным. Мы привыкли думать, что 50% наших усилий или вложенных в дело ресурсов дадут нам 50% результатов. И нам кажется очевидным, что все клиенты одинаково для нас ценны, что все работники с равной зарплатой приносят равную пользу компании, что голос любого избирателя или акционера имеет одинаковую ценность для принятия решений и т.п. Эти «ожидания 50/50» – типичное проявление линейного и рационального «гауссианского» мышления и могут быть очень опасны в определенных ситуациях.

Механизм этого достаточно прост – экстремальные, сверхсильные эффекты является результатом развития вполне обычных небольших событий, которые сами по себе создают небольшой эффект, но включают тем или иным образом положительную обратную связь, вызывающую цепную реакцию нарастания эффекта. А это в свою очередь явно связано с тем, что в процессе эволюции общества и технологий большинство систем усложняется, становятся все богаче обратными связями и запасенными ресурсами, то есть переходит в категорию  систем высокого риска [1].

В 1897 году итальянский экономист В. Парето показал, что 20% населения страны распоряжалось 80% её богатств. Потом аналогичная закономерность была обнаружена в самых разных областях.

Распределение Парето в теории вероятностей – двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений, являющихся степенными. Встречается при исследовании различных явлений, в частности, социальных, экономических, физических и других.

Пусть случайная величина   такова, что её распределение задаётся равенством:

,                                                   (1)

где  . Тогда говорят, что   имеет распределение Парето с параметрами   и  . Плотность распределения Парето имеет вид:

                                                                                      (2)

Моменты случайной величины, имеющей распределение Парето, задаются формулой:

,                                                                                                           (3)

откуда в частности:

,                                                                                                               (4)

.                                                                                        (5)

Вилфредо Парето изначально использовал это распределение для описания распределения благосостояния, а также распределения дохода. Его правило 20 к 80 (которое гласит: 20 % популяции владеет 80 % богатства) однако зависит от конкретной величины k, и утверждается, что фактически встречаются существенные количественные отклонения, например, данные самого Парето по Британии говорят, что там примерно 30 % населения владеет 70 % общего дохода.

При этом распределение Парето встречается не только в экономике. Можно привести следующие примеры:

• в лингвистике распределение Парето известно под именем закона Ципфа (для разных языков показатель степени может несколько различаться, также существует небольшое отклонение от простой степенной зависимости у самых частотных слов, однако в целом степенной закон описывает это распределение достаточно хорошо);
• зависимость абсолютной частоты слов (сколько всего раз каждое конкретное слово встретилось) в достаточно длинном тексте от ранга (порядкового номера при упорядочении слов по абсолютной частоте). Степенной характер остается вне зависимости от того, приводятся ли слова к начальной форме или берутся из текста как есть;
• аналогичная кривая для популярности имен;
• распределение размера населенных пунктов;
• распределение размера файла в интернет-траффике по TCP-протоколу [2].

Степенные распределения – уникальное статистическое свойство фрактальных структур, их характерный признак. Всякий раз, когда в каких-то опытных данных мы видим степенные распределения, у нас должно возникать обоснованное подозрение, что мы имеем дело с явной или скрытой фрактальной структурой, а значит, вероятно, и с результатом взаимодействия сознания и материи.

Степенные распределения известны своей парадоксальностью, а также неожиданно широкой распространенностью в самых разных природных и социальных явлениях. При этом часто их происхождение остаётся загадкой, которую многие пытались и пытаются решить.

Особое внимание стоит уделить процессу Юла. По мнению физика Марка Ньюмана, это один из самых интересных механизмов, порождающих степенные распределения. Процесс Юла является первым шагом к открытию истинных источников степенных законов. Второй шаг – введение понятия терминальной вероятности, как это сделано в тау-модели. Без этого шага можно рассматривать растущие стохастические фрактальные структуры лишь в их предельном состоянии – как и делает Ньюман вслед за самим открывателем модели Юлом. Используя же тау-модель и основанную на ней модель параллельного тирона, становится возможно описывать растущие фракталы в любой момент их эволюции. Когда речь идет об описании динамики когнитивных и вообще натуральных феноменов, без этой возможности не обойтись.

Многие вещи, которые измеряют учёные, имеют типичный размер или «масштаб» – типичное значение, около которого группируются результаты отдельных измерений. Простой пример – человеческий рост. Большинство взрослых людей имеют рост около 180 см. Имеются некоторые отклонения от этой цифры, особенно связанные с полом, но на свете не существует людей, имеющих рост 10 см или 500 см.

Однако не все величины, которые мы измеряем, группируются вокруг какого-то типичного значения. Некоторые варьируют в огромном диапазоне, иногда захватывающем много порядков. Классический пример – размеры городов и прочих населённых пунктов.

Степенные распределения наблюдаются в чрезвычайно широком спектре феноменов. Кроме населения городов, силы землетрясений, размеров кратеров, силы вспышек на Солнце, размеров компьютерных файлов и масштабов военных конфликтов, степенным законам соответствуют частоты слов в любом человеческом языке, частоты фамилий в большинстве культур, число статей, которые пишут учёные, число ссылок, которые получают научные статьи, число переходов на веб-страницы, продажи книг и музыкальных записей, а также товаров почти каждой категории, состоящей из многих торговых марок. Ещё – число видов в биологическом роде, годовые доходы людей и многие-многие другие величины [3].

 

 Степенные законы часто встречаются и в других ситуациях, нежели статистические распределения каких-либо величин. Например, знаменитый закон всемирного притяжения Ньютона имеет форму 1/r2, то есть, форму степенного закона с показателем 2.

Выделяют три различных типа степенных распределений:

4. Частотное степенное распределение

5. Ранговое степенное распределение

6. Кумулятивное степенное распределение.

Одни и те же данные – например, данные по населению городов - можно представить в форме любого из трех распределений. Обычно, если мы используем один из трех типов и получаем в результате степенную кривую, то, используя любой другой тип мы тоже получим степенную кривую. Однако, от выбора типа распределения зависят конкретные параметры этой кривой и, в частности, показатель степени k. Например, частотное распределение городов по населению обычно соответствует степенному закону с показателем -2, а кумулятивное и ранговое распределение – степенному закону с показателем -1. Поэтому, встречая, например, где-то сообщение, что «распределение военных конфликтов по числу жертв соответствует степенному закону с показателем -1.8», нам всегда необходимо уточнять: какое именно распределение было использовано. Далее, чтобы не путаться, мы будем обозначать соответствующие каждому распределению показатели степени так:

1. Показатель частотного распределения: K(freq)

2. Показатель рангового распределения: K(rank)

3. Показатель кумулятивного распределения: K(cumm)

Рассмотрим три вида степенных распределений.

Частотное распределение - пожалуй, самое распространённое, но не потому, что оно удобнее или полезнее остальных, а по привычке: именно такой тип распределений традиционно применяется в статистической физике и теории вероятностей. Оттуда он перекочевал в статистику и теперь широко распространен под именем "гистограмма".

Пусть, например, мы изучаем населённые пункты России с точки зрения их населённости. Мы взяли данные Госстата по 4718 населённым пунктам. Построим гистограмму. Для этого мы берём шкалу населённости и делим её на какие-то равные промежутки, "корзины". Мы можем, например, разделить шкалу на корзины по 5000 человек. В первую корзину мы складываем все населённые пункты, в которых живет от 0 до 5000 человек, во вторую - от 5000 до 10000 человек и т.д. Разложив по корзинам все города России, мы можем взглянуть на результат (рис. 1).

 

Рисунок 1. График частотного распределения населения

 

Обратим внимание, что по оси Y мы отмечаем просто количество городов, попавших в соответствующую корзину. Но мы могли бы отмечать не количество, а относительную долю, которую составляет содержание каждой корзины к общему числу городов - для этого поделим каждое значение шкалы Y на 4718 (столько у нас всего городов) (рис. 2).

 

Рисунок 2. График частотного распределения населения (в долях)

 

На такой модифицированной гистограмме видно, что в первую корзину (население от 0 до 5000 человек) попало 0,42 всех населённых пунктов, то есть, 42%. Мы можем также сказать, что какой-то конкретный населённый пункт России с вероятностью 42% окажется в первой корзине, поэтому такие распределения ещё называют распределениями плотности вероятности.

Для того чтобы выяснить является ли данная зависимость степенной, отобразим гистограмму в двойной логарифмической шкале (рис. 3).

 

Рисунок 3. График частотного распределения в двойных логарифмических осях

 

В целом прямая линия, вокруг которой группируются точки, вполне просматривается (существенно выпадают лишь крайние справа две точки, они соответствуют Санкт-Петербургу и Москве). Её наклон соответствует примерно K (freq)=-1,7 – -1,9 (точнее определить трудно). Однако видно, что правая часть распределения зашумлена. Эта "борода" возникает из-за того, что в области высоких значений статистического параметра перестаёт действовать усреднение, которое эффективно сглаживает кривую в области низких значений. Попросту, в корзины, расположенные в начале шкалы попадает много городов и случайные вариации усредняются. А вот в корзины, расположенные в конце шкалы городов попадает мало и случайные вариации становятся очень заметными.