Геодезические сети

Формула Бесселя:

 

m_lср  = ½ √∑d²/n-1

 

Если измерения должны удовлетворять какому-либо геометрическому  условию, например, сумма внутренних углов треугольника должна быть 180˚, то точность измерений можно определить по невязкам получающимся в результате погрешностей  измерений.

 

μ=√∑ [f² /n]/N,

 

где - СКП одного угла;

         f – невязка в полигоне;

         N – количество полигонов;

        n – количество углов в полигоне.

Решения контрольных задач (В-10)

Контрольная задача 1

Для исследования теодолита  им был многократно измерен один и тот же угол. Результаты оказались  следующими: 39˚17.4'; 39˚16.8'; 39˚16.6'; 39˚16.2'; 39˚15.5'; 39˚15.8'; 39˚16.3'; 39˚16.2'. Тот же угол был  измерен высокоточным угломерным прибором, что дало результат 39˚16'27". Приняв это значение за точное, вычислить среднюю квадратическую погрешность, определить надёжность СКП, найти предельную погрешность.

№ п/п	Измерения	Погрешности ∆ = Xi-X	∆2n
1	39˚17.4'	-0˚00΄57˝	3249
2	16.8	-0˚00΄21˝	441
3	16.6	-0˚00΄09˝	81
4	16.2	0˚00΄15˝	225
5	15.5	0˚00΄57˝	3249
6	15.8	0˚00΄39˝	1521
7	16.3	0˚00΄09˝	81
8	16.2	0˚00΄15˝	225
Xo=39˚16΄27˝			9072

 

Средняя квадратическая погрешность: m = √([∆²]/n),

m = √(9072/8) = 33΄36˝

Оценка надёжности СКП: m_m = m / √2n,

m_m =33΄36˝/4=8΄24˝

Предельная погрешность: ∆_пр = 3×m,

∆_пр = 3×33΄36˝= 1˚40΄48˝.

Контрольная задача 2

Дана совокупность невязок треугольников  триангуляции объёмом 50 единиц. Считая невязки истинными погрешностями, вычислить среднюю квадратическую погрешность и произвести надёжность СКП, вычислить предельную погрешность. На данной совокупности проверить свойство случайных погрешностей:

 для чего вычислить W = [W] / n.

 

N	W          ∆2	N	W       ∆2	N	W          ∆2	N	W               ∆2	N	W                 ∆2
1	+1,02     1.0404	11	-1,72     2,9584	21	-0,90  0,81	31	+2,80     7,84	41	-0,44      0,1936
2	+0,41     0,1681	12	+1,29    1,6641	22	+1,22 1,4884	32	-0,81      0,6561	42	-0,28      0,0784
3	+0,02     0.0004	13	-1,81     3,2761	23	-1,84  3,3856	33	+1,04     1,0816	43	-0,75      0,5625
4	-1,88      3,5314	14	-0,08     0,0064	24	-0,44  0,1936	34	+0,42     0,1764	44	-0,80      0,64
5	-1,44      2,0734	15	-0,50     0,25	25	+0,18 0,0324	35	+0,68     0,4624	45	-0,95       0,9025
6	-0,25      0,0625	16	-1,89     0,5721	26	-0,08  0,0064	36	+0,55     0,3025	46	-0,58       0,3364
7	+0,12     0,0144	17	+0,72    0,5184	27	-1,11  1,2321	37	+0,22     0,048	47	+1,60      2,56
8	+0,22     0,0484	18	+0,24    0,0576	28	+2,51 6,3001	38	+1,67     2,7889	48	+1,85       3,4225
9	-1,05      1,1025	19	-0,13     0,0169	29	-1,16  1,3456	39	+0,11     0,0121	49	+2,22      4,9284
10	+0,56     0,3136	20	+0,59    0,0481	30	+1,65 2,7225	40	+2,08     4,3264	50	-2,59       6,7081

 

[∆]² = 2.51² = 6,3001

m = 76.5703 – 6.3001/8 = 75.7827

W = [W] / n, W = +2,51 / 50 = 0,05

Среднюю квадратическую погрешность в данном случае целесообразно  вычислять по формуле: m = √( [W²] – [W]²/n ) ÷ (n-1),

m = √( 76,5703 – (2,51²)/50) ÷ 49 = 1,249

Оценку надёжности СКП  по формуле: m_m = m / √2(n-1),

m_m = 1,249/ √(2×49) = 0,13.

Предельная погрешность  по формуле: ∆_пр = 3×m,

∆_пр = 3×1,249= 3,747.

Контрольная задача 3

При тригонометрическом нивелировании были получены величины : расстояние, измеренное нитяным дальномером D = 210.5±0.8м; угол наклона визирной оси при наведении на верх рейки v =4˚35,5΄; высота прибора i = 1,30±0,015м.

Вычислить превышение и  его предельную погрешность.

Решение:

h =½Dsin 2V+i – V

h =½×210,5×sin2 (2*4˚35,5΄) +1,30-3,00=15,1

m²n = (σh/σ)²m²D + (σh/σV)²m²V+(σh/σi)³m²i+(σh/σv)²m²v

σh/Dσ = sin2v/2 ;  σh/σV = 1; σh/σi =1; σh/σv = Dcos2v

m²n = (sin2v/2×mD)²+( (Dcos2v/Ṕ )mv )²+mi²+mv²

md = 0,8            m_i = 0.008      mv = 0.015

mh² = 0.005189      m = 0.00002

m²n = (sin2(4˚35,5΄)/2 ×0.8)² + (210.5cos2(4˚35,5΄)/3438×0.5)²+  

+0.008²+0.015² = 0.0044 + 0.0009+0.000064+0.000225=0.005189≈0.005

 

Контрольная задача 4

При определении расстояния АВ, недоступного для измерения лентой, в треугольнике АВС были измерены:

базис АС = 84,55±0,11 м, углы А=56˚27΄ и С = 35˚14΄ с СКП равной m_b=1΄.

Вычислить длину стороны  АВ и ее СКП.

Контрольная задача 5

Определить  СКП расстояния вычисленного по формуле

S = √(x₂ – x₁)² + (y_{2 –} y₁)²

если x₂ = 6 068 740 м; y₂ = 431 295 м;

x₁ = 6 068 500 м; y₂ = 431 248 м;

m_х = m_y = 0,1 м.

Контрольная задача 6

Один и тот же угол измерен 5 раз с результатами: 60˚41'; 60˚40'; 60˚40'; 60˚42'; 60˚40'. Произвести математическую обработку этого ряда результатов измерений.

Решение:

№		∆x=x1-x	∆x²
1	60°41΄	04˝	16˝
2	60°40	-04˝	16˝
3	60°40	-04˝	16˝
4	60°42	01΄04˝	100˝
5	60°40	-04˝	16˝

 

∑ = 164˝ 

m =√ 164/4 = 6.4

m_m = m/√2(n-1); 6.4/√8 = 2.26

∆_{пр  = 3m  ; 3 × 2,26} =6,78 = 7,18˝

Контрольная задача 7

Произвести математическую обработку результатов измерения планиметром площади одного и того же контура : 26,31; 26,28; 26,32; 26,26; 26,34 га.

∆сред. = 26,30 га

№	Значение	∆x=x1-x	∆x²
1	26,31га	-0,01га	0,0001
2	26,28га	0,02га	0,0004
3	26,32га	-0,02га	0,0004
4	26,26га	0,04га	0,0016
5	26,34га	-0,04га	0,0016

 

∑ = 0,0041 га

m = √0,0041 /5 =0.028

m_m = m/√2(n-1); 0.028/√8 =0.01

∆  ₌ 0,028×3 = 0.084.

Контрольная задача 8

При исследовании сантиметровых  делений нивелирной рейки с помощью  женевской линейки определялась температура в момент взятия отчета. Для пяти сантиметровых отрезков получены значения: 20,3˚; 19,9˚; 20,1˚; 20,2˚; 20,0˚. Провести математическую обработку результатов измерения.

∆сред. =20.1

№	Значения	∆x=x1-x	Е	∆x²	Е2
1	20,3˚	-0.2	0,4	0.0144	0,16
2	19,9˚	0.2	0	0.0784	0
3	20,1˚	0	0,2	0.0064	0,04
4	20,2˚	-0.01	0,3	0.0004	0,09
5	20,0˚	0.1	0,1	0.0484	0,01

 

∑ = 0.1

m = √0.1/5 = 0.04

m_m = m/√2(n-1) = 0,04/√8 = 0.014

  ∆ = 3×0.04=0,12.

Контрольная задача 9

Результатам измерения  углов соответствуют m₁ = 0,5; m₂ = 0,7; m₃ = 1,0. Вычислить веса результатов измерений.

Решение:

P = К / m²;

P₁ = 12,25 / (0,5)² = 49;

P₂ = 12,25 / (0,7)² = 25;

P₃ = 12,25 / (1,0)² = 12,25.

Ответ: 49; 25; 12,25.

Первый результат надежнее второго, а второй – надежнее третьего.

 

Контрольная задача 10

Веса пезультатов измерении горизонтальных углов равны 0,5; 1,0; 1,5; 2,0 соответственно. Вычислить их СКП, если известно, что СКП единицы веса равна 10˝

Решение:

m = µ/√P

m₁ = 10/√0.5 = 14,14 ;

m₂ = 10/√1=10;

m₃ = 10/√1.5=8,16; 

m₄ = 10/√2=7,07.

Результат измерений 4 самый  точный.

Контрольная задача 11

Найти вес невязки  в сумме углов треугольника, если все углы измерены равноточно.

Решение:

m = √[V²] / (n-1),

Число измерений n = 3, т.к. углы в треугольнике измерены 3 раза:

P = К / m²

m = √[ V²₁ + V²₂+ V²₃]/(3 – 1) = √[ V²₁ + V²₂+ V²₃]/2

P = К / √[ V²₁ + V²₂+ V²₃]/2 = 2 К / √[ V²₁ + V²₂+ V²₃] = 2/ ∑ V²_i

Контрольная задача 12

Чему равен вес среднего арифметического значения угла полученного из 9 приёмов?

B_cр = В₁+В₂+…+В₉ / 9

m = √V²/n-1 = √∑V1² / 9-1 ;   P = K / m² ; P = 8K /  ∑V².

При К=1 получаем 8 / ∑V_i² .

Контрольная задача 13

Определить вес гипотенузы прямоугольного треугольника, вычисленной по измеренным катетам а=60 и в=80м, если Р_а=1 м и Р_в = 0,5 м.

 

Контрольная задача 14

В треугольнике один угол получен 6 приемами, второй – 18, а третий вычислен. Найти вес третьего угла, приняв вес измеренного одним приемом угла за единицу.

Контрольная задача 15

Чему равен вес угла, измеренного тремя приемами, если вес угла, измеренного одним приемом, равен 1?

Р₁=1, тогда Р₂=3.

Контрольная задача 16

Один и тот же угол трижды измерен различным числом приемов. Произвести математическую обработку результатов измерений:

№п/п	Значение угла	Количество приемов
1	54˚12'18''	5
2	22	3
3	20	4

Решение

№п/п	а	n	Pi	E1'	PE1'	V1'	PV	PV2	PE2
1	54˚12'18''	5	1,67	0	0	-2	-3,34	6,68	0
2	54˚12'22''	3	1,00	4	4	2	2,00	4,00	16,00
3	54˚12'20''	4	1,33	2	2,66	0	0	0	5,32
Σ			4,00		6,66		-1,34	10,68	21,32