Гармониялық тербелістер мен олардың сипаттамалары

 (4.4 қара) және   (7.11 қара) екендігін есепке ала отырып, электромагниттік тербеліс үшін (8.10), (8.8) және (8.9) формулаларын жазамыз:

                  (8.13)

t бойынша Q=Qmcos (wt – x) дифференциялдай отырып, орнатылған тербеліс кезіндегі контурдағы ток күшін табамыз:

                      (8.14)

мұндағы

                                 (8.15)

(8.14) мәнін мына түрде I = Imcos (wt - j) түрде жазуға болады, мұндағы j =a -p/2 – қосымша кернеу мен ток арасындағы фазалық қозғалыс (8.3қара). (8.13) мәніне сай:

                      (8.16)

(8.16) формуладан егер wL > 1/(wC) болғанда ток (j > 0) кернеуінің қалатындығы, ал wL < 1/(wС) кезінде (j < 0) кернеуін бағындыратындығы шығады. (8.15) және (8.16) формулаларын векторлық диаграмма көмегімен алуға болады. Бұл айнымалы ток үшін  жасалады.  

 

§9. Мәжбүр тербеліс (механикалық және электромагниттік) амплитудасы мен фазасы. Резонанс.        

 Мәжбүр тербеліс  амплитудасының А жиілікке w тәуелділігін қарастырамыз. Механикалық және электромагниттік тербелістерді бірмезгілде қарастыра отырып, тербелуші шаманы не тепе – теңдік жағдайының тербелуші дене орналасуы, (х) не конденсатор заряды (Q) түрінде айтамыз.

(8.8) формуладан орналасу  амплитудасының А максимумне ие екендігі шығады. Орналасу амплитудасы А максимумге жеткен кезде жиілігі – резонанстық жиілікті w_рез – анықтау үшін функция максимумын (8.8)  немесе түбірлік мән минимумын табу керек.  w бойынша түбірлік мәнді дифференциялдай және нөлге теңестіре отырып, w_рез анықтаушы:  мәнін аламыз.         

 Бұл теңдік оң  мән тек физикалық мәнге ие  болған   кезінде орындалады. Резонанстың жиілік

                                        (9.1)        

 Қажеттендіретін күш w_рез жиілігіне жақындау кезіндегі жиіліктегі Мәжбүр тербеліс амплитудасының шығып өсу құбылысы резонанс (сәйкесінше механикалық немесе электрлік) деп аталады. d² << w₀² кезінде w_рез мәні іс жүзінде тербелуші жүйенің өзіндік жиілігімен w₀ сәйкес келеді. (8.8) формуласына (9.1) қоя отырып,

                                      (9.2)

аламыз. 13 – суретте  Мәжбүр тербеліс амплитудасының әртүрлі мән d кезіндегі жиілікке тәуелділігі келтірілген. (9.1) және (9.2) мәндерден d аз болған сайын сол қисықтық максимумы оң жақта, әрі биікте жататындығы шығады. Егер w ® 0 болса, онда балық қисықтар (8.8 қара) статикалық ауытқу деп аталатын х₀/w₀² шекті мәннен өтеді. Механикалық тербеліс жағдайында x₀ /w₀² = F₀/(mw₀²), ал электромагниттік жағдайда – Vm/(Lw₀²). Егер w ® ¥ болса, онда барлық қисықтар асимптомды түрде нөлге ұмтылады. Келтірілген қисықтар жиынтығы резонанстық қисықтар деп аталады.         

(9.2) формуладан кіші  өшу (d² << w₀²) кезіндегі орынбасу (ығыстыру) резонанстық амплитудасы

мұндағы Q – тербелістік жүйе добратность (7.8 қара), х₀ / w₀² – жоғарыда қарастырылған статикалық ауытқу.         

14 – суретте жылдамдық  (токтың) амплитудасы үшін резонанстық  қисықтар келтірілген. Жылдамдық (тоқтың) амплитудасы

w_рез = w₀ кезінде максималды, әрі х₀/(2d) тең болып, өшу коэффициенті d үлкен болған сайын резонанстық қисық максимумы төмен бола береді. (3.2), (7.10), (4.4) және (7.11) формаларын қолдана отырып, механикалық резонанс кезінде жылдамдық амплитудасының (А_u)_max = x₀/(2d) = F₀/r тең екендігін, ал әртүрлі резонанс кезінде тоқ амплитудасының (А_І) _max = х₀/(2d)=Vm/R тең екендігін аламыз.         

 tgj = 2dw/(w₀² - w²) (8.9) мәндерден, егер жүйеде өшу болмаған кезде (d=0) тек осы жағдайдағы тербеліс пен (Мәжбүр) мәжбүрлеуші күш бірдей фазаға ие; алған басқа барлық жағдайларда j ¹0.

         Әртүрлі коэффициенттегі d - j - дің w - ға тәуелділігі w өзгерісінен фазалар қозғалысының j өзгерісі орын алатын 15 – суретте бейнеленген. (8.9) формуладан, w=0 кезінде j=0 болатындығы, ал w = w₀ кезіндегі өшу коэффициенті мәніне dj = p/2 тәуелсіз түрде күштің (кернеудің) тербеліс фазасы бойынша p/2 – ні басып озатыны шығады. w ұлғаюының ары қарайғы кезінде фазалар қозғалысы өсіп, w>>w₀  j ®p кезінде тербеліс фазасы сыртқы күш фазасына (ауыспалы кернеу) қарама – қарсы болады. 15 – суретте кескінделген қисық жүйесі қисықтардың фазалық резонанстары деп аталады.         

 Резонанс құбылысы  пайдалы болуы да, зиянды болуы  да мүмкін. Мысалы, машиналар мен әртүрлі құрылыстарды конструирлеу кезінде олардың өзіндік тербеліс жиілігі мүмкін болатын сыртқы әсерлер жиілігіне сай келмеуі тиіс, қарама – қарсы жағдайда байсалды бұзылулар туындататын вибрациялар (дірілдер) туады. Басқа жағынан, резонанстың болуы егер олардың жиілігі прибордың өзіндік тербеліс жиілігімен сәйкес келсе онда өте әлсіз тербелістерді айқындауға мүмкіндік береді. радиотехника, қолданбалы акустика, электротехникада резонанс құбылысын қолданады.  

 

§10. Актив кедергісі жоқ контурдағы еркін тербелістер.         

 Электр тербелісі  индуктивтілігі мен сыйымдылығы  бар тізбекте пайда бола алады.  Мұндай тізбек тербеліс контуры  деп аталады. 1, а – суретте  актив кедергісі нольге тең  идеал контурдағы тербеліс процесінің  жүйелі кезеңдері кескінделген.

Сурет  1 сурет         

 Тербелісті туғызу  үшін индуктивтіліктен ажыратылған  конденсаторды ток көзіне қосу  керек, осының салдарынан конденсатор  астарларында шамасы q_m әр атты зарядтар пайда болады (1 кезең). Астарлар арасында энергиясы  шамасына тең электр өрісі пайда болады . Егер осыдан кейін электр көзін ағытып, конденсаторды индуктивтілікпен тұйықтасақ, сыйымдылық разрядтала бастайды да контур бойымен ток өтетін болады. Нәтижесінде электр өрісінің энергиясы кеми бастайды да, есесіне индуктивтілік арқылы ағып өтетін токтар пайда болатын магнит өрісінің өспелі энергиясы туады. Бұл энергия  шамасына тең болады .        

 Тізбектің актив  кедергісі нольге тең болғандықтан, электр өрісінің   энергиясы мен магнит өрісінің  энергиясынан құралған толық энергия конденсатор астарларын қыздыруға жұмсалмастан тұрақты болып қалады. Сондықтан конденсатордағы кернеу, демек, электр өрісінің энергиясы нольге айналған мезетте, магнит өрісінің энергиясы, ендеше, ток та өзінің ең үлкен мәніне жетеді (2кезең, осы мезеттен бастап ток өздік индукцияның э.қ. күштерінің есебінен ағатын болады). Әрі қарай ток кеми бастайды, астарлардағы заряд өзінің бастапқы q_m шамасына жеткен кезде, ток күші нольге тең болады (3 кезең). Осыдан кейінгі жерде процестер керісінше өтеді де (4 және 5 кезең), система бастапқы күйіне келеді (5 кезең), сөйтіп, барлық цикл қайтадан қайталай беретін болады. Сипатталған процестің барысында астарлардағы  q заряд, конденсатордағы U кернеу және индуктивтілік арқылы өтетін і ток күші периодты түрде өзгеріске (яғни тербеліске) ұшырайды. Тербеліс электр өрісі энергиясы мен магнит өрісі энергиясының өз ара айналуымен қосарласа өтеді.         

1,б – суретте контурдағы  тербеліс пружиналы маятниктің  тербелісімен салыстырылған. Конденсатор  астарларына түсірілген заряд маятникті сыртқы күштердің әсерімен тепе – теңдік қалпынан шығаруға және оған берілген алғашқы х_т ауытқуға сәйкес келеді. Бұл жағдайда пружинаның серпімді деформациясының потенциялық энергиясы пайда болады  2 кезең маятниктің тепе – теңдік қалпынан өтуіне сәйкес келеді. Осы мезетте квази серпімді күш нольге тең болады да, маятник инерциясы бойынша қозғала береді. Осы уақытта маятник энергиясы толығынан кинетикалық ьэнергияға ауысады да  өрнегімен анықталатын болады. Осыдан кейінгі кезеңдерді салыстыруды оқушылардың өздеріне ұсынамыз.         

 Электр және механикалық  тербелістерді салыстырудан   электр өрісі энергиясының серпімді деформацияның потенциялдық энергиясына ұқсастығы, ал  магнит өрісі энергиясының кинетикалық энергияға ұқсастығы шығады. Индуктивтілік L сыйымдылыққа (1/С) кері шама т массасының ролін – сұйық коэффимциенті k ролін атқарады. Ақырында, q зарядына магниттік тепе – тең қалыптан ығысуы х, ал і = q – ток күшіне х жылдамдық сәйкес келеді. Төменде көретініміздей, электр және механикалық тербелістің арасындағы  ұқсастық оларды сипаттайтын математикалық теңдеулерге де қолданылады.         

 Тербеліс кезінде  сыртқы кернеу контурға түспейді. Сондықтан   сыйымдылық пен  индуктивтілігі кернеудің кему қосындысы нольге тең болуы тиіс:

        

 Бұл өрнекті L – ге бөліп және  қатынасын  арқылы ауыстырып, мына өрнеке келеміз:

                                         (10.1)

Егер

                                           (10.2)

берілуін енгізсек, (10.1) теңдеу механикалық тербелістер  жайындағы ілімнен бізге жақсы таныс  мына түрге келеді:

                                        (10.3)

Бұл теңдеудің шешуі, біз білетін 

                                 (10.4)

функция болып табылады.         

 Сөйтіп, конденсатор  астарларындағы заряд жиілігі (10.2) өрнегімен анықталатын гармониялық заң бойынша өзгереді. Бұл жиілік контурдың меншікті жиілігі деп аталады (ол гармониялық осциллятордың меншікті жиілігіне сәйкес келеді). Тербеліс периоды үшін Томсон формуласы деп аталатын өрнекті аламыз:

                                          (10.5)        

 Конденсатордағы кернеудің  зарядтан айырмашылығы 1/С көбейткіштің болуында:

                  (10.6)        

(10.4) функцияны уақыт  бойынша дифференциялдап, ток  күшіне арналған

                 (10.7)

өрнегін аламыз:         

(10.4) пен (10.7) формуланы  салыстыра отырып, ток максимал  мәніне жеткенінде заряд (сондай  – ақ  кернеу) нольге айналады, және керісінше болады деп қорытамыз. Заряд пен ток арасындағы сондай қатынасты,  энергетикалық түсінікті негізге ала отырып, біз бұрын анықтаған болатынбыз.         

(10.6) және (10.7) формуладан

екені шығады.         

(10.2) формуласы бойынша w₀ – ны ауыстыра отырып, мынаны аламыз:

                                             (10.8)

Бұл формуланы, сондай – ақ электр өрісі энергиясының ең үлкен мәніне [ ;   формуланы қараңыз] магнит өрісі энергиясының  ең үлкен мәні тең болатынына сүйене отырып алуға болады.  

 

§11. Өшетін еркін тербелістер.        

 Кез келген нақты  контур актив кедергіге ие  болады. Контурда жиналған энергия қоры осы кедергіде бірте – бірте жылуға жұмсалады, осының салдарынан еркін тербелістер өшетін болады. Тербеліс теңдеуін сыйымдылықтағы, индуктивтіктегі және актив кедергідегі кернеу кемуінің қосындысының нольге тең болуынан шығарып алуға болады:

        

 Бұл өрнекті   ге бөліп және і – ді q арқылы, ал  - ні  арқылы ауыстырып мынаны аламыз:

                                    (11.1)

 - нің контурдың w₀ меншікті жиілігінің квадратына тең екенін ескеріп [(10.2) формуланы қараңыз] және

                                           (11.2)

белгілеуін енгізе отырып, (11.1) теңдеуін мына түрге келтіруге  болады:

                                  (11.3)        

 Соңғы теңдеу өшетін  механикалық тербелістің дифференциал  теңдеуімен дәл келеді [І том, (73.2) формуланы қараңыз].  шартында, яғни  болғанда (11.3) теңдеудің шешуі мына түрге келеді:

q = q_m0 e^-bt cos (wt + a)                              (11.4)

мұндағы . w₀ – ның (10.2) мәнін b - ның (11.2) мәнін қойып, мынаны табамыз:

                                         (11.5)        

 Сөйтіп, өшетін тербелістің  жиілігі w₀ меншікті жиілік w₀ – ден кем болады. R= 0  болғанда (11.5) өрнегі  (10.2) – ге ауысады.         

(11.4) – ті сыйымдылық С – ға бөліп, конденсатордағы кернеуді аламыз:

               (11.6)        

 Ток күшін табу  үшін (11.4)–ті уақыт бойынша дифференциалдаймыз:

Бұл өрнекті  =w₀ шамасына көбейтіп, бөлгенннен:

.

y  бұрышынан анықталған

шарты бойынша енгізе отырып, былай жазуға болады:

                            (11.7)

cos y < 0, ал sin y > 0 болғандықтан да  . Сөйтіп, контурда актив кедергінің бар болуынан ток фаза бойынша конденсатордағы кернеуден

- ден гөрі (R= 0 болғанда озу   - ні құрайды ) озық кетеді.         

(11.4) функцияның графигі  16 – суретте кескінделген. Кернеу мен токтың графигі бір – біріне түр жағынан ұқсас болады.         

 Тербелістің өшуін  өшудің логарифмдік декрементімен  сипаттау қабылданған 

мұндағы а (t) – сәйкес шамалардың (q, U немесе i) амплитудалары.         

 Өшетін логорифмдік  декременті амплитудасы е рет кемитін уақыт ішінде жасалған N_e тербеліс санына кері шама болады:

Тербелмелі контурды әрқашан оның мықтылығымен (Q) сипаттайды, бұл өшудің логорифмдік декрементіне кері пропорционал шама ретінде анықталады:

                                       (11.8)