Динамика вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

M=J .                                                                                     (3)

Определим вращающий момент. Силы натяжения нитей действуют не только на грузы, но и на диск. По третьему закону Ньютона, силы и , приложенные к ободу диска, равны соответственно силам T₁ и Т₂, но по направлению им противоположны. При движении грузов диск ускоренно вращается по часовой стрелке; следовательно, > . Вращающий момент, приложенный к диску, равен произведению разности этих сил на плечо, равное радиусу диска, т. е. M=( - )r. Момент инерции диска J=mr²/l, угловое ускорение связано с линейным ускорением грузов соотношением S=a/r. Подставив в формулу (3) выражения М, J и , получим

( - )r = .

откуда

- =(т/2)а.

Так как  =T₁ и =Т₂, то можно заменить силы и выражениями по формулам (1) и (2), тогда

m₂g—m₂a—m₁g—m₁=(m/2)a, или

(m₂—m₁) g=(m₂+m₁+m/2)a

 откуда

                                                                                    (4)

Отношение масс в правой части формулы (4) есть величина безразмерная. Поэтому значения масс m₁, m₂ и m можно выразить в граммах, как они даны в условии задачи. После подстановки

получим

Пример 5. Маховик в виде диска массой m=50 кг и радиусом г=20 см был раскручен до частоты вращения n₁=480 мин"¹ и затем предоставлен самому себе. Вследствие трения маховик остановился. Найти момент М сил трения, считая его постоянным для

 

двух случаев: 1) маховик остановился через t=50 с; 2) маховик до полной остановки сделал N=200 оборотов.

Решение. 1.По второму  закону динамики вращательного движения, изменение момента импульса вращающегося тела равно произведению момента силы, действующего на тело, на время действия этого момента:

M t=J — J ,

где J — момент инерции маховика;   и — начальная и конечная угловые скорости. Так как =0 и t=t , то Mt=—J , откуда

M= —J /t.                                                                                                                      (1)

Момент инерции диска относительно его геометрической оси равен J=¹/₂mr². Подставив это выражение в формулу (1), найдем

M=—mr² /(2t).                                                                                                              (2)

Выразив угловую скорость через частоту вращения n₁ и произведя вычисления по формуле (2), найдем

М= —1 Н м.

2. В условии задачи дано число оборотов, сделанных маховиком до остановки, т. е. его угловое перемещение. Поэтому применим формулу, выражающую связь работы с изменением кинетической энергии:

или, учтя, что ,

 .                                                                                                           (3)

Работа при вращательном движении определяется по формуле A=Mj. Подставив выражения работы и момента инерции диска в формулу (3), получим

M = —mr² /4.

Отсюда момент силы трения

М= —mr² /4 .                                                                                                           (4)

Угол поворота j=2лN=2 3,14 200 рад=1256 рад. Произведя вычисления по формуле (4), получим

М= —1 Н м.

Знак минус показывает, что момент силы трения оказывает тормозящее действие.

Пример 6. Платформа в виде диска радиусом R= 1,5 м и массой m₁=180 кг вращается по инерции около вертикальной оси с частотой n=10 мин^-1. В центре платформы стоит человек массой т₂=60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Решение. По закону сохранения момента импульса,

                                                                              (1)

где J₁ — момент инерции платформы; J₂ — момент инерции человека, стоящего в центре платформы; — угловая скорость платформы с человеком, стоящим в ее центре; J₂' — момент инерции

 

человека, стоящего на краю платформы; — угловая скорость платформы с человеком, стоящим на ее краю.

Линейная скорость человека, стоящего на краю платформы, связана  с угловой скоростью соотношением

.                                                                                                                                                (2)

Определив из уравнения (1) и подставив полученное выражение в формулу (2), будем иметь

v=(J₁+J₂) R/(J₁+J'₂).                                                                                                    (3)

Момент инерции платформы  рассчитываем как для диска; следовательно, J₁=¹1₂m₁R² • Момент инерции человека рассчитываем как для материальной точки. Поэтому J₂=0, J'₂=m₂R². Угловая скорость платформы до перехода человека равна               .

Заменив в формуле (3) величины J₁, J₂, J'₂. и их выражениями, получим

Сделав подстановку значений т₁, т₂, п, R и , найдем линейную скорость человека:

Пример 7. Человек стоит в центре скамьи Жуковского и вместе с ней вращается по инерции. Частота вращения n₁=0,5 c^-1. Момент инерции j_o тела человека относи-

Рис. 3.5

тельно оси вращения равен 1,6 кг м². В вытянутых в стороны руках человек держит по гире массой m=2 кг каждая. Расстояние между гирями l₁=l,6 м. Определить частоту вращения n₂, скамьи с человеком, когда он опустит руки и расстояние l₂ между гирями станет равным 0,4 м. Моментом инерции скамьи пренебречь.

Решение. Человек, держащий гири (рис. 3.5), составляет

 

вместе со скамьей  замкнутую механическую систему *, поэтому момент импульса J этой системы должен иметь постоянное значение. Следовательно, для данного случая

J₁ = J₂ ,

где J и — момент инерции тела человека и угловая скорость скамьи и человека с вытянутыми руками; J₂ и — момент инерции тела человека и угловая скорость скамьи и человека с опущенными руками. Отсюда

= (J₁/J₂) .

Выразив в этом уравнении угловые скорости и   через частоты вращения n₁ и n₂( =2 n) и сократив на 2 , получим

n₂=(J₁/J₂)n₁.                                                                                                                     (1)

Момент инерции системы, рассматриваемой в данной задаче, равен сумме момента инерции тела человека J₀ и момента инерции гирь в руках человека. Так как размер гирь много меньше расстояния их от оси вращения, то момент инерции гирь можно определить по формуле момента инерции материальной точки: J=mr². Следовательно **,

J₁=J₀+2m(l₁/2)²;

где т — масса каждой из гирь; l₁ и l₂. — первоначальное и конечное расстояние между гирями. Подставив выражения J₁ и J₂ в уравнение (1), получим

                                               (2)

Выполнив вычисления по формуле (2), найдем

n₂==1,18 с^-1.

Пример 8. Стержень длиной l=1,5 м и массой М=10 кг может вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через верхний конец стержня (рис. 3.6). В середину стержня ударяет пуля массой m=10 г, летящая в горизонтальном направлении со скоростью v_o=500 м/с, и

         Рис. 3.6                застревает в стержне. На какой угол отклонится стержень после удара?

Решение. Удар пули следует рассматривать как неупругий: после удара и нуля, и соответствующая точка стержня будут двигаться с одинаковыми скоростями.

Рассмотрим подробнее  явления, происходящие при ударе. Сначала  пуля, ударившись о стержень, за ничтожно малый промежу-

* Предполагается, что моменты всех внешних сил (сил тяжести и сил реакции), действующих на эту систему по отношению к оси вращения, являются уравновешенными. Трением пренебречь.

** В действительности с изменением положения рук человека (без гирь) изменяется момент инерции его тела относительно оси вращения, однако ввиду сложности учета этого изменения будем считать момент инерции J_о тела человека постоянным.

ток времени приводит его в движение с угловой скоростью  и сообщает ему кинетическую энергию

(1) 
где — момент инерции стержня относительно оси вращения.

Затем стержень поворачивается на искомый угол , причем 
центр масс его поднимается на высоту . В от- 
клоненном положении стержень будет обладать потенциальной 
энергией

(2) 
Потенциальная энергия получена за счет кинетической энергии и равна ей по закону сохранения энергии. Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим

Отсюда

Подставив в эту формулу  выражение для момента инерции  стержня  , получим

                                                                         (3)

Чтобы из выражения (3) найти , необходимо предварительно 
определить значение . В момент удара на пулю и на стержень 
действуют силы тяжести, линии действия которых проходят через 
ось вращения и направлены вертикально вниз. Моменты этих сил 
относительно оси вращения равны нулю. Поэтому при ударе пули 
о стержень будет справедлив закон сохранения момента импульса. 
В начальный момент удара угловая скорость стержня =0, 
поэтому его момент импульса  . Пуля коснулась стержня 
и начала углубляться в стержень, сообщая ему угловое ускорение 
и участвуя во вращении стержня около оси. Начальный момент 
импульса пули , где — расстояние точки попадания от 
оси вращения. В конечный момент удара стержень имел угловую 
скорость , а пуля — линейную скорость , равную линейной 
скорости точек стержня, находящихся на расстоянии т от оси вращения. Так как , то конечный момент импульса пули

Применив закон сохранения импульса, можем написать

, или  , 
откуда

 (4) 
где  — момент инерции системы стержень — пуля.

Если учесть, что в (4)  , а также что , то 
после несложных преобразований получим

(5)  
 

Подставив числовые значения величин в (5), найдем

 

 

По (3) получим

Следовательно, =9°20'.

Задачи

Момент  инерции

3.1. Определить момент инерции J материальной точки массой m=0,3 кг относительно оси, отстоящей от точки на r=20 см.

3.2. Два маленьких шарика массой m=10 г каждый скреплены тонким невесомым стержнем длиной l=20 см. Определить момент инерции J системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс.

Рис. 3.8

3.3. Два шара массами m и 2m (m=10 г) закреплены на тонком невесомом стержне длиной l=40 см так, как это указано на рис. 3.7, а, б. Определить моменты инерции J системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец в этих двух случаях. Размерами шаров пренебречь.

 

Рис. 3.7

 

лярной стержню  и проходящей через: 1) его конец; 2) его середину; 3) точку, отстоящую от конца стержня на 1/3 его длины.

3.7. Определить момент инерции J тонкого однородного стержня длиной l=60 см и массой m=100 г относительно оси, перпендикулярной ему и проходящей через точку стержня, удаленную на а=20 см от одного из его концов.

3.8. Вычислить момент инерции J проволочного прямоугольника со сторонами а=12 см и b=16 см относительно оси, лежащей в плоскости прямоугольника и проходящей через середины малых сторон. Масса равномерно распределена по длине проволоки с линей ной плотностью τ=0,1 кг/м.

3.9. Два однородных тонких стержня:  АВ длиной l₁=40 см • и массой m₁=900 г и CD длиной l₂=40 см и массой l₂=400 г скреплены под прямым углом (рис. 3.9). Определить момент инерции J системы стержней относительно оси 00', проходящей через конец стержня АВ параллельно стержню CD.

Рис. 3.9

Рис. 3.10

 

 

3.10. Решить предыдущую задачу для случая, когда ось 00' проходит через точку А перпендикулярно плоскости чертежа.

3.11. Определить момент инерции J проволочного равностороннего треугольника со стороной а=10 см относительно: 1) оси, лежащей в плоскости треугольника и проходящей через его вершину параллельно стороне, противоположной этой вершине (рис. 3.10, а); 2) оси, совпадающей с одной из сторон треугольника (рис. 3.10, б). Масса т треугольника равна 12 г и равномерно распределена по длине проволоки.

3.12. На концах тонкого однородного стержня длиной l и массой 3m прикреплены маленькие шарики массами m и 2m. Определить момент инерции J такой системы относительно оси, перпендикулярной стер и проходящей через точку О, лежащую на оси стержня. Вычисления выполнить для случаев а, б, в, г, д, изображенных на рис. 3.11. При расчетах принять l=1 м, m=0,1 кг. Шарики рассматривать как материальные точки.