Решение задач по "Эконометрике "

 

 

 

Задача №1

 

В выборке представлены данные по цене P некоторого блага и количеству (Q) данного блага, приобретаемому хозяйством ежемесячно в течение года.

Месяц	1	2	3	4	5	6
P	10,17	20,17	15,17	25,17	30,17	35,17
Q	110,17	75,17	100,17	80,17	60,17	55,17

 

Месяц	7	8	9	10	11	12
P	40,17	35,17	25,17	40,17	45,17	40,17
Q	40,17	80,17	60,17	30,17	40,17	30,17

 

1. Постройте корреляционное поле и по его виду определите формулу зависимости между P и Q.
2. Оцените по МНК параметры уравнения линейной регрессии.
3. Оцените выборочный коэффициент корреляции rpq.
4. Проинтерпретируйте результаты.

Решение:

1) Корреляционное поле, построенное по статистическим данным, приведено на рисунке 1.

Рис.1 Корреляционное поле

По виду корреляционного поля можно сделать предположение, что связь между ценой и количеством блага линейная и обратная..

2) Оценим по МНК параметры уравнения линейной регрессии

Для наглядности построим таблицу 1:

Таблица 1

 

Благо i	xi	yi	xi2	xiyi	yi2		ei	ei2
1	10,17	110,17	103,43	1120,43	12137,43	106,10	4,07	16,58
2	20,17	75,17	406,83	1516,18	5650,53	84,80	-9,63	92,70
3	15,17	100,17	230,13	1519,58	10034,03	95,45	4,72	22,30
4	25,17	80,17	633,53	2017,88	6427,23	74,15	6,02	36,27
5	30,17	60,17	910,23	1815,33	3620,43	63,50	-3,33	11,07
6	35,17	55,17	1236,93	1940,33	3043,73	52,85	2,32	5,39
7	40,17	40,17	1613,63	1613,63	1613,63	42,20	-2,03	4,11
8	35,17	80,17	1236,93	2819,58	6427,23	52,85	27,32	746,50
9	25,17	60,17	633,53	1514,48	3620,43	74,15	-13,98	195,38
10	40,17	30,17	1613,63	1211,93	910,23	42,20	-12,03	144,67
11	45,17	40,17	2040,33	1814,48	1613,63	31,55	8,62	74,34
12	40,17	30,17	1613,63	1211,93	910,23	42,20	-12,03	144,67
Итого	362,04	762,04	12272,75	20115,75	56008,75	761,97	≈0,0	1493,98
Среднее	30,17	63,50	1022,73	1676,31	4667,40

 

По МНК имеем

Получили уравнение линейной регрессии, выражающее взаимосвязь между признаком y (количество) и фактором х (цена):

Параметр показывает усредненное влияние на результативный признак (количество) неучтенных факторов, а - показывает, во сколько изменяется в среднем значение результативного признака (цена) при изменении факторного на единицу его собственного измерения.

То есть при увеличении цены блага на один рубль, количество блага уменьшается на 2,13.

По этому уравнению рассчитаем , также еi = y̅i – .

3) Оценим тесноту корреляционной зависимости и рассчитаем линейный коэффициент корреляции, характеризующий силу взаимосвязи между фактором и результатом.

где - среднее квадратическое отклонение фактора ;

      - среднее квадратическое отклонение фактора .

Коэффициент корреляции т.е. связь между фактором и результатом сильная. Но так как значение 0,896 отрицательное, то связь не прямая, а обратная.

 

Задача №2

Имеются данные за 10 лет по прибылям X и Y (в %) двух компаний:

Год	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
X	19,217	15,817	12,517	10,317	5,717	–5,817	–3,517	5,217	7,317	6,717
Y	20,117	18,017	10,317	12,517	6,017	–6,817	–2,817	3,017	8,517	8,017

 

1. Постройте регрессионную модель Y=b0+b1X+e.
2. Оцените статистическую значимость коэффициентов регрессии.
3. Оцените коэффициент детерминации R2 данного уравнения.
4. Постройте регрессионную модель Y=bX+u.
5. Приведите формулы расчета коэффициента b, его стандартной ошибки Sb и стандартной ошибки регрессии S (обратите внимание на число степеней свободы при расчете данной оценки).
6. Значимо или нет различаются коэффициенты b1 и b?
7. Какую из построенных моделей вы предпочтете?
8. Можно ли на основе построенных регрессий утверждать, что прибыль одной из компаний является следствием прибыли другой?

 

Решение:

 

1. Построим регрессионную модель Y=b0+b1X+e.

 Рис.2 Корреляционное поле

 

По виду корреляционного поля можно сделать предположение, что связь между прибылью двух фирм линейная и прямая

2. Оценим по МНК параметры уравнения линейной регрессии

Для наглядности построим таблицу 2:

Таблица 2

 

Года i	xi	yi	xi2	xiyi	yi2		ei	ei2
1	19,217	20,117	369,293	386,588	404,694	20,269	0,152	0,152
2	15,817	18,017	250,177	284,975	324,612	16,665	-1,352	-1,352
3	12,517	10,317	156,675	129,138	106,440	13,167	2,850	2,850
4	10,317	12,517	106,440	129,138	156,675	10,835	-1,682	-1,682
5	5,717	6,017	32,684	34,399	36,204	5,959	-0,058	-0,058
6	-5,817	-6,817	33,837	39,654	46,471	-6,267	0,550	0,550
7	-3,517	-2,817	12,369	9,907	7,935	-3,829	-1,012	-1,012
8	5,217	3,017	27,217	15,740	9,102	5,429	2,412	2,412
9	7,317	8,517	53,538	62,319	72,539	7,655	-0,862	-0,862
10	6,717	8,017	45,118	53,850	64,272	7,019	-0,998	-0,998
Итого	73,502	76,902	1087,351	1145,709	1228,947	761,97	0.00	21,689
Среднее	7,35	7,69	108,74	114,57	122,89	76,902

 

= =1,06

=7,69-1,06·7,35=-0,101

Получили уравнение линейной регрессии, выражающее взаимосвязь между признаком y (прибыль в первой компании) и признаком х (прибыль во второй компании):

Параметр показывает усредненное влияние на результативный признак (прибыль 2-ой фирмы) неучтенных факторов, а - показывает, во сколько изменяется в среднем значение результативного признака (прибыль 1-ой фирмы) при изменении факторного на единицу его собственного измерения.

То есть при увеличении прибыли 2-ой фирмы на один %, количество прибыли 2-ой фирмы увеличивается на 1,06.

Отсюда рассчитаем и e1.

Для расчета теоретического коэффициента детерминации определим значение линейного парного коэффициента корреляции через МНК-оценку коэффициента регрессии:

= =0,713

Коэффициент корреляции , т.е. связь между фактором и результатом сильная. Так как значение 0,713 положительное, то связь прямая.

 Теоретический коэффициент детерминации будет равен: . Следовательно 50,8% вариации прибыли фирмы Y объясняется уравнением линейной регрессии, а значит и прибыли фирмы X. А 100 – 50,8 = 49,2 % вариации прибыли фирмы Y обусловлено влиянием не учтенных в модели факторов.

Коэффициент множественной корреляции равен: . Близость к единице данного показателя свидетельствует о хорошей аппроксимации модели фактических данных.

Для расчета средней квадратической ошибки уравнения регрессии нужно теоретические значения результативного признака , остатки и их квадраты.

Тогда =1,647 (в нашем примере п =10, h=2).

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации. Для нашего примера А = =0,1522 (15,22 %), что свидетельствует о незначительной погрешности модели.

3. Для оценки надежности выборочного  уравнения регрессии воспользуемся формулой

=

где – дисперсия результативного признака, обусловленная регрессией, т.е. влиянием на факторных переменных, включенных в модель; – дисперсия результативного признака, обусловленная влиянием второстепенных факторов и случайных помех; – объём выборки; – количество факторных переменных.

Так как , дополнительно вычислим Σ(Yi – ̅̅Y)2

Таблица 2.1

Yi	20,117	18,017	10,317	12,517	6,017	–6,817	–2,817	3,017	8,517	8,017	76,902	7,69
(Yi – ̅̅Y)2	154,430	106,647	6,901	23,300	2,799	210,453	110,397	21,837	0,684	0,107	637,55
Xi	19,217	15,817	12,517	10,317	5,717	–5,817	–3,517	5,217	7,317	6,717	73,502	7,35
(Xi – ̅̅X)2	140,826	71,690	26,698	8,803	2,667	173,370	118,092	4,550	0,001	0,401	547,096