Производственные функции в моделях макроэкономической динамике

Расчетные данные представлены в таблице 1,так же построим графики ВВП (рис. 2.1.1) и фондовооруженности (рис. 2.1.2) (Приложение А).

Заменим заданное значение нормы накопления оптимальным =0,7 и повторим вычисления. Расчетные данные занесем в таблицу 2 и построим графики ВВП на рисунке 2.1.3 и фондовооруженности на рисунке 2.1.4 (Приложение Б).

Теперь снизим норму  накопления. Пусть ρ=0,6. Еще раз произведем все вычисления. Расчетные данные представлены в таблице 3,так же построим два графика: ВВП рисунок 2.1.5 и фондовооруженности рисунок 2.1.6 (Приложение В).

Построим диаграмму (рисунок 2.1.7)норм потребления(Приложение Г).

Для исходных значений параметров и переменных построим имитационную схему с использованием модели Ферхюльста. Для этого  соотношение (2.1.6) заменим на следующее:

                                     (2.1.8)

Здесь M – емкость популяции. Возьмем значение емкости популяции . Расчетные данные занесем в таблицу 4 и построим график ВВП рисунок 2.1.9 и график фондовооруженности рисунок 2.1.9 (Приложение Д)

Данная имитационная схема позволяет  менять параметры исходной модели, рассматриваемые там как постоянные величины. Регулируя норму накопления (долю ВВП, идущую на  инвестиции), можно добиться увеличения в перспективе нормы потребления. «Золотое правило накопления», выводимое на основе аналитического решения, дает для нормы накопления наилучшее значение . Проверим это, рассчитав для каждого значения ρ в пределах от 0,1 до 1, фонд непроизводственного потребления (С). Данные представлены в таблице 5.

Построим график, по расчетным данным таблицы 5,  где будет показано наилучшей выбор нормы накопления (рисунок 2.1.10). (Приложение Е)

Глава 3 Производственные функции в задачах макроэкономики

 

1. Пусть функция полезности потребителя имеет вид  , где , - два взаимозаменяемых товара. Обычно потребитель потребляет эти товары в количестве , . Найдите предельную норму замещения в этой точке. Допустим, потребление первого товара сократилось до 4 ед. Как должно измениться потребление второго товара, чтобы значение функции полезности не изменилось?

Решение:

Предельная норма замещения  определяется как  . Тогда в точке (9,10) предельная норма замещения . Значение функции полезности . Обозначим через y потребление второго товара, соответствующее значению функции полезности и потреблению первого товара , тогда и отсюда , то есть потребление второго товара должно увеличиться на 4.

2. Функция полезности для данного потребителя имеет вид , а доход, выделенный им для покупки данных товаров, равен 24. В оптимальный набор вошли 2 ед. первого товара и 3 ед. второго товара. При каких ценах на товары потребитель сделал данный выбор? 

Решение:

Поскольку набор (2,3) оптимален, то он является точкой касания бюджетной  линии и кривой безразличия. Полезность данного набора , тогда уравнение кривой безразличия или . Обозначим цены товаров и соответственно, тогда уравнение бюджетной линии. Уравнение касательной к кривой в точке (2,3) записывается : .Чтобы эта прямая совпала с бюджетной линией, должно быть, .

3. Фермер выращивает яблоки и другие культуры на площади 500 кв. футов. Каждая яблоня занимает 1 кв. фут, а другие культуры - по 4 кв. фута. Функция полезности имеет вид , где -число яблонь, - число других культур. Сколько яблонь и других деревьев посадит фермер, чтобы максимизировать полезность? Если площадь сада увеличится на 100 кв. футов, насколько изменятся посадки яблонь и других культур?

Решение:

Составим оптимизационную  задачу максимизации полезности, заметив, что бюджетному ограничению в  ней соответствует ограничение  на расход площади сада:

Запишем функцию Лагранжа:

Необходимые условия  оптимальности:

Тогда

Во втором случае:                  

Отсюда  - функция Лагранжа.

Необходимые условия  оптимальности:

Тогда

4. Дана функция спроса на некоторый товар При какой цене p коэффициент эластичности спроса по цене равен 0,5?

Решение:

Коэффициент эластичности спроса по цене определяется как Тогда . А так как , то

5. Цена меди на мировом рынке составляет $0.75 за фунт. Ежегодно продается 750 единиц (млн. фунтов) меди. Ценовая эластичность спроса на медь равна -0,4 .Найдите линейную функцию спроса на медь.

Решение:

Пусть c - объем спроса на медь, p - ее цена, тогда  (линейная функция спроса). Ценовая эластичность спроса на медь определяется как А так как она равна-0,4, то Получаем систему уравнений .Отсюда . Подставляя вместо p и c значения 0.75 и 750 соответственно, находим: . Значит,

6. Функция спроса на вино , где K - доход, p - цена бутылки вина, c - количество бутылок вина. Пусть . Если цена вина вырастет до 40, то каким должен стать доход, чтобы спрос на вино оставался прежним? При этом доходе и новой цене, сколько бутылок вина будет куплено? Чему равен эффект замены и эффект дохода при повышении цены на вино до 40?

Решение:

При спрос на вино . Если цена возрастет до 40, а спрос не изменится, то получаем уравнение . Отсюда .

Из уравнения Слуцкого: Эффект дохода . Общий эффект . Тогда эффект замены

7. Потребитель тратит весь свой доход только на два товара 1 и 2. Задана функция спроса потребителя на товар 1:   , где K - доход, - цена товара 1. Пусть , , . Определить, как изменится спрос на товар 1, если его цена упадет до 4 ден. ед. Найдите эффект замены и эффект дохода в общем изменении спроса на товар 1.

Решение:

 При новой цене имеем . Тогда . Из уравнения Слуцкого: Эффект дохода . Общий эффект Тогда эффект замены

8. Потребитель тратит имеющиеся у него деньги на покупку двух товаров. Функция полезности для него имеет вид . Потребитель покупает 15 ед. первого товара и 10 ед. второго товара. Цена товара 1 равна $10. Найдите доход потребителя. Каков наклон бюджетного ограничения в точке (15,10)?

Решение:

Обозначим через p цену товара 2, через K - доход потребителя. Тогда  бюджетная линия имеет вид . Оптимальный набор (15,10) является точкой касания бюджетной линии и кривой безразличия. Найдем значение функции полезности в точке (15,10): , причем кривая безразличия в этой точке задается прямой . А так как точка (15,10) должна быть точкой касания бюджетной линии и кривой безразличия, то прямые и должны совпадать. Значит , . Наклон бюджетной линии в точке (15,10) определяется как .

9. Функция полезности имеет вид . Цена товара 1 равна 2, цена товара 2 равна 1. Доход потребителя равен 140. Определить оптимальный план потребления. 

Решение:

Уравнение бюджетной  линии  . Кривая безразличия изображена на рисунке.

x₂ 

                 

 

                                                      

                                 x^*                                                     

         0                         U                           x₁       

Так как наклон прямой не совпадает ни с наклоном прямой , ни с наклоном прямой , то оптимальным планом потребления будет точка , лежащая на прямой . Получаем систему Отсюда .

10. Фирма, занимающаяся речными перевозками, использует труд перевозчиков (L) и паромы (K). Производственная функция имеет вид . Цена единицы капитала равна 20, цена единицы труда равна 20. Каков будет наклон изокосты? Какое количество труда и капитала должна привлечь фирма для осуществления 100 перевозок? Каковы будут общие издержки? Средние издержки?

Решение:

Изокоста задается уравнением , где C - величина общих издержек (некоторая константа). Отсюда , т.е. наклон этой прямой равен -1. Оптимальное количество труда и капитала для 100 перевозок определяется как точка касания изокванты и изокосты при некотором C . Из первого равенства получаем: . Тогда . Так как общие издержки при этом должны быть минимальны, то, минимизируя C по L , найдем количество труда L: и . Количество капитала найдем по формуле . Общие издержки в этом случае равны 400, а средние издержки определяются как издержки на одну перевозку и равняются 4.

11. ПФ имеет вид , где y-количество продукции за день, L - часы труда, K - часы работы машин. Предположим, что в день затрачивается 9 часов труда и 9 часов работы машин. Каково максимальное количество продукции, произведенной за день? Предположим, что фирма удвоила затраты обоих факторов.Определите эффект масштаба производства.

Решение:

В условиях задачи в день производится единиц продукции. Если затраты обоих факторов удваиваются, то выпуск становится равным , т.е. тоже удваивается. Тогда и эффект от изменения масштаба производства, определяемый из условия ,  равен единице.

12. В краткосрочном периоде ПФ фирмы имеет вид: , где L - число рабочих. При каком уровне занятости общий выпуск будет максимальным?

Решение:

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно найти точку максимума  функции Y(L). Продифференцируем ее по L и приравняем производную к нулю: . Получаем квадратное уравнение, дискриминант которого , а корни . Поскольку один из корней отрицательный, берем . Количество рабочих - целое число, поэтому, округляя, получаем .

13. Предположим, что когда фирма увеличивает применяемый капитал со 120 до 150, используемый труд с 500 до 625, выпуск продукции увеличивается с 200 до 220. Какой эффект роста масштаба производства имеет место в данном случае?

Решение:

Эффект роста масштабов производства определяется из условия . В нашем случае . В то же время выпуск увеличился в раз, т.е. . Значит, и .

14. Издержки производства 100 штук некоторого товара составляют 300 тыс. руб., а 500 штук - 600 тыс. руб. Считая функцию издержек линейной, определите величину издержек в тыс. руб. для выпуска 400 штук.

Решение:

Запишем линейную функцию  издержек в виде , где C - издержки производства, Y - объем выпуска, a,b - коэффициенты. Подставляя известные значения выпуска и соответствующих им издержек, получаем систему уравнений:

Отсюда находим  , т.е. . При получаем .

14. ПФ имеет вид . Если общий объем затрат не должен превышать 30, цена труда равна 4, цена капитала - 5, то при какой комбинации труда и капитала будет достигнут максимальный выпуск?

Решение:

Искомые значения труда и капитала являются координатами точки касания изокванты (при некотором Y) и изокосты . Общие точки этих двух кривых удовлетворяют системе . Отсюда . Найдем максимум Y по L: , т.е. . Тогда и максимальный выпуск равен 11,25 .

15. Задана ПФ фирмы . Цена обоих факторов равна 1. Найдите способ производства 16 единиц продукции с наименьшими затратами.

Решение:

Необходимо найти координаты точки касания изокванты  и изокосты при наименьшем из возможных значении C . Составляем:

Из первого уравнения  и , тогда из второго уравнения . Найдем минимум C по : , отсюда Тогда . Наименьшие затраты равны 1,6 .

16. ПФ фирмы имеет вид . Цена труда составляет 30, а капитала - 120. Чему равны средние издержки производства 100 единиц продукции, если фирма выбирает самый дешевый способ производства?

Решение:

Минимальные издержки C соответствуют  точке касания изокванты и изокосты . Общие точки этих двух кривых удовлетворяют системе . Отсюда . Найдем минимум C по L: , т.е. . Тогда и минимальные издержки равны 120. Средние издержки определяются как издержки, приходящиеся на единицу выпуска, т.е. .

17. Задана ПФ фирмы , где - труд мужчин, - труд женщин (в чел.-часах). Мужчины получают 5,6 долларов в час, женщины - 4 доллара в час. Если фирма использует 81 чел.-час труда женщин и 64 чел.-часов труда мужчин, чтобы произвести 144 ед. продукции, то минимальны ли при этом затраты на данный выпуск?