Производственные функции в моделях макроэкономической динамике

В коротком периоде модель Домара не учитывает, что увеличение инвестиций ведет к увеличению производственных мощностей (эффект невелик), но в долгом периоде, когда проявляется экономический рост, следует принимать во внимание их роль в росте производственных мощностей.

В модели Домара условием динамического равновесия является равенство прироста денежного дохода (спроса) и прироста производственных мощностей (предложения), которое описывается уравнением: . Отсюда следует: , - средняя склонность к сбережениям; - мультипликатор.

Таким образом, темп прироста чистых инвестиций равен капиталоотдаче, умноженной на среднюю долю сбережений в национальном доходе. В модели Харрода используются две формулы, одна из которых выражает условие статического макроэкономического равновесия:

где - темп роста национального дохода,

- доля сбережений в национальном  доходе,

- капиталоемкость;

а другая - условие динамического  равновесия:

где s - склонность к сбережению, рассчитанная на основании изученных фактических данных;

Cr - требуемая для обеспечения  динамического равновесия капиталоемкость;

Gw - необходимый, или,  по выражению Харрода, гарантированный темп роста, обеспечивающий постоянный процент прироста продукции.   

Содержание модели Харрода  сводится к тому, что существует некий равновесный уровень склонности к сбережению sr, при котором достигается оптимальный темп роста (динамическое равновесие) в условиях непостоянного естественного прироста трудоспособного населения и НТП. Отклонения действительного уровня склонности к сбережению от равновесного обусловливают нарушение равновесия, что требует государственного регулирования экономики.

Если s > sr, то это означает избыточность сбережений (имеет место неполная занятость, экономика стагнирует).

Если s < sr, имеет место  недостаточность сбережений. (экономика «перегрета» индустриальной активностью предпринимателей, экономика «вползает» в хроническую инфляцию).

Модель Харрода - Домара включает в себя жесткие допущения, применимые только при краткосрочном анализе. Она описывает динамику дохода Y. При этом инвестиции I равны сбережениям S, а прирост инвестиций с приростом дохода связан мультипликатором 1/s.

Экономика считается  закрытой. Основная предпосылка модели роста - формула взаимосвязи между инвестициями и скоростью роста дохода. Предполагается, что скорость роста дохода пропорциональна инвестициям. В модель включаются следующие предпосылки: инвестиционный лаг равен нулю; выбытие капитала отсутствует; производственная функция в модели линейна; затраты труда постоянны во времени либо выпуск не зависит от затрат труда; технический прогресс не принимается в расчет.

Модель Харрода-Домара служит вспомогательным инструментом при рассмотрении проблемы экономического роста в долгосрочном периоде. Модель помогает уяснить характер взаимосвязей в динамике, представив их в наиболее простой и наглядной форме. Формула модели:

где G - искомый темп экономического роста;

С - соотношение «капитал-выпуск» (коэффициент капиталоемкости);

S - доля сбережений  в национальном доходе.

Чем больше величина чистых сбережений (S), тем больше размер инвестиций, а значит и выше темп роста. Чем выше капиталоемкость, тем ниже темп экономического роста. При высоких темпах экономического роста коэффициент капиталоемкости будет «подстегивать» этот рост. В условиях же депрессии, снижающихся темпах роста для поддержания желаемых темпов инвестиций будет недоставать.

Модель Харрода-Домара помогает представить, как будет  выглядеть кривая экономического роста не в относительно короткий, а в длительный период. Модель «подскажет», какие условия необходимы для поддержания постоянного и относительно равномерного роста.

Модель экономического роста:

1. Сбережения S являются фиксированной частью национального дохода Y, откуда:

                                                      (1.2.1)

где s - норма сбережений.

2. Инвестиции I - есть изменение в объеме капитала К, откуда:

                                                         (1.2.2)

3. Объем основного капитала K пропорционально связан с национальным доходом Y через коэффициент капитала k:

                                                     (1.2.3)

4. Наконец, так как национальные сбережения S должны быть равны совокупным инвестициям I, мы можем записать это равенство как:

                                                            (1.2.4)

Но из выражения (1.2.1) мы знаем, что S = s * Y, а из выражений (1.2.2) и (1.2.3) имеем:

Отсюда равенство (1.2.4) между сбережениями и инвестициями можно записать следующим образом:

или просто:

                                                      (1.2.5)

Поделив обе части  равенства (1.2.5) сначала на У, затем на k, получаем:

                                                           (1.2.6)

Экономический смысл  уравнения (1.2.6) весьма прост. Чтобы был рост, в стране должна сберегаться и инвестироваться определенная доля ВНП, чем она больше, тем быстрее рост.

Итоговый смысл модели Харрода - Домара заключается в том, что сбалансированный темп роста есть функция темпов роста численности населения и капитала. Условием существования постоянного равновесного темпа роста экономической системы является соблюдение равенства темпов роста населения и темпов роста капитала.

1.3 Модель Солоу

 

Модель Солоу является односекторной моделью экономического роста. В модели экономическая система, производит один  продукт, который может, как потребляться, так и инвестироваться. Система описывается 5-ю эндогенными переменными: X - валовой внутренний продукт, C - фонд непроизводственного потребления, I - инвестиций, K - капитал, L - труд.

Кроме того, в модели используются экзогенные показатели: μ – доля выбывших за год основных производственных фондов, ρ – норма накопления, ν - годовой темп прироста числа занятых (находятся в следующих: ).

Предполагается, что эндогенные переменные изменяются во времени, а  внешние остаются постоянными, причем норма накопления ρ – считается  управляющим параметром и может  устанавливаться на начальном этапе, на любом уровне из области допустимых значений. Время t считается непрерывным, считается в годах.

Предполагается, что годовой выпуск в каждый момент времени определяется линейно-однородной неоклассической  ПФ:

                                                                        (1.3.1)

Рассмотрим, как меняются ресурсные показатели за небольшой  промежуток времени  Согласно определению темпа прироста поэтому Используя начальное условие , получаем

Износ и инвестиции в  расчете на год равны μК и I соответственно, а за время - соответственно , по этому прирост фондов за это время откуда получаем дифференциальное уравнение

Инвестиции и фонд потребления  следующим образом выражаются через  ВВП:

Итак, получаем следующую запись модели Солоу в абсолютных показателях:

;                         (1.3.2)

Поскольку

То запись модели Солоу  приобретает следующую форму  в удельных показателях:

                        (1.3.3)

Таким образом, каждый абсолютный или относительный показатель изменяется во времени, т.е. можно говорить о  траектории системы в абсолютных или относительных показателях.

Траектория называется стационарной, если показатели не изменяются во времени:

Как видно из формул (1.3.3), установление фондовооруженности на постоянном уровне приводит к выходу на стационарную траекторию. На стационарной траектории , поэтому

                                            (1.3.4)

Если задать условие  , то уравнение (1.3.4) будет иметь единственное ненулевое решение.

 

Переходный режим в  модели Солоу

 

Если  , то экономика уже находится на стационарной траектории и может сойти с нее только при изменении внешних условий.

При в экономике будет происходить переходный процесс, который закончится установлением стационарного режима. В переходном режиме фондовооруженность удовлетворяет уравнению

Получаем три типа переходного процесса применительно к фондовооруженности: - ускоренный рост, который по достижении значения k сменяется замедленным ростом; - замедленный рост; - замедляющееся падение фондовооруженности.

 

Золотое правило накопления

 

Суть золотого правила  накопления состоит в том, что  надлежащим выбором нормы накопления можно максимизировать среднедушевое  потребление в стационарном режиме, а следовательно, и через относительно непродолжительное время после начала переходного процесса.

Наибольшее среднедушевое потребление  достигается при  , т.е. норма накопления должна быть равна эластичности выпуска по фондам (рисунок 1.3.1).

 

 

 

 

    0                                             1           

                   недокопления             перекопления

Рисунок 1.3.1. Удельное потребление как функции нормы потребления

 

 

Глава 2 Практическая реализация модели Солоу

 

Построим имитационную схему для модели Солоу и проследим ее динамику на протяжении 50 лет для следующих значений параметров:

Возьмем следующие начальные значения  переменных:

Как можно охарактеризовать динамику фондовооруженности? Вычислим теоретические значения и , сравним с начальными данными и сделаем выводы.

Заменим заданное значение нормы накопления оптимальным. Проследим увеличение нормы потребления до максимального значения. После этого снизим значение .

Построение модели

Для исходных значений параметров и переменных построим имитационную схему с использованием модели Ферхюльста. Возьмем значение емкости популяции . Посмотрим как изменилась динамика модели.

Производство  в модели характеризуется макроэкономическим показателем X. Возьмем в качестве такового ВВП. В качестве других переменных в модели используются трудовые ресурсы L, объемы: основных производственных фондов K, инвестиций I и потребления C.

Постоянными параметрами  модели являются темпы прироста населения  ν, темпы потерь фондов μ, норма накопления ρ (и норма потребления 1-ρ). В качестве зависимости ВВП от фондов и трудовых ресурсов берется производственная функция Кобба-Дугласа. Получающаяся система уравнений модели выглядит следующим образом:

                                                           (2.1.1)

                                                      (2.1.2)

                                                      (2.1.3)

                                                               (2.1.4)

                                                       (2.1.5)

Данная модель может быть сведена к решаемому аналитически дифференциальному уравнению для величины - фондовооруженности. Помимо этого, кажется важным рассмотреть такую величину как норма потребления . В рамках имитационного моделирования мы можем рассматривать сразу все соотношения (2.1.1)-(2.1.5), отслеживая попутно динамику важных величин k и c. Для получения динамики значений K и L требуется представить уравнения (2.1.1) и (2.1.2) в виде разностных схем. Естественно здесь принять шаг по времени равный 1 году. Тогда, известным уже способом мы получаем следующие соотношения:

                                                (2.1.6)

                                      (2.1.7)

Используя начальные значения  переменных , и соотношения (2.1.6) и (2.1.7) построим производственную функцию Кобба-Дугласа

Используя уравнения (2.1.4) и (2.1.5) вычислим инвестиции I и потребление C. Найдем значение стационарной фондовооруженности: , k*=0,006647, т.е. фондовооруженность асимптотически стремится к значению 0,00647, убывая при большем начальном значении и возрастая при меньшем. Возрастание является ускоренным при малых значениях фондовооруженности (меньших =0,002024) и замедленным при больших.