Построение и анализ модель множественной регрессии

,

которая зависит  от стандартной ошибки модели , удаления от своего среднего значения, количества наблюдений n,  заданного уровня вероятности попадания в интервал прогноза (он определяет величину ;

затем находят  сам доверительный интервал прогноза:

нижняя граница (НГ) интервала –  ,

верхняя граница (ВГ) интервала –  .

U = 3,93

нижняя граница  интервала –  = 15,62– 3,93= 11,69

верхняя граница  интервала –   = 15,62 + 3,93= 19,55

 

6. Представлены графически: фактические и модельные значения, точечный прогноз и доверительный интервал прогноза (для однофакторной модели).

Рисунок – Фактические  (исходные) данные

 

Рисунок – Исходные и  расчетные данные (модель множественной регрессии)

 

 Рисунок – Исходные  и расчетные данные 

(модель регрессии  с факторами х2 и х3)

 

Рисунок – Исходные и расчетные данные (модель регрессии  с фактором х3)

 

 

Задача 2. Построение и анализ модели временного ряда

 

По  исходным данным требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

2. Проверить наличие тренда.

3. Построить линейную модель временного ряда , параметры которой оценить с помощью метода наименьших квадратов.

4. Оценить адекватность модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности уровней ряда остатков и соответствия ряда остатков нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия воспользоваться таблицами).

5. Оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

6. Осуществить прогноз (точечный прогноз и доверительный интервал) результирующего показателя на следующие два временных шага (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности 0,85).

7. Представить графически фактические значения исследуемого показателя, результаты моделирования и прогнозирования

В таблице приведены  данные объема реализации продукции  условного предприятия Y(t) (млн. руб.) за 16 кварталов.

Месяц, t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Объем реализации продукцииyt, млн. руб.	6	26	54	61	95	107	134	160	177	188	210	237	241	260	277	299

 

 

Решение:

1.  Для выявления аномальных уровней временных рядов можно использовать различные методы, рассчитанные для статистических совокупностей. Для проверки наличия аномального наблюдения воспользуемся методом Ирвина, который предполагает использования следующей формулы:

l =

   (t = 2, 3, ……n)

s²_у = [S(у – у_ср)²] / (n – 1)

у_ср = 158,25

Месяц, t	Объем реализации продукции yt, млн. руб.	У –  у ср:	(у  – уср)2
1	6	-152,25	23180,06
2	26	-132,25	17490,06
3	54	-104,25	10868,06
4	61	-97,25	9457,563
5	95	-63,25	4000,563
6	107	-51,25	2626,563
7	134	-24,25	588,0625
8	160	1,75	3,0625
9	177	18,75	351,5625
10	188	29,75	885,0625
11	210	51,75	2678,063
12	237	78,75	6201,563
13	241	82,75	6847,563
14	260	101,75	10353,06
15	277	118,75	14101,56
16	299	140,75	19810,56
136	2532	0	129443

 

S(у – у_ср)² = 129443

s²_у =  129443 / (16-1) = 8629,5333

s_у = 92,89528

Расчетные значения:

Квартал, t	yt	l
1	6	---
2	26	0,215296
3	54	0,301415
4	61	0,075354
5	95	0,366004
6	107	0,129178
7	134	0,29065
8	160	0,279885
9	177	0,183002
10	188	0,118413
11	210	0,236826
12	237	0,29065
13	241	0,043059
14	260	0,204531
15	277	0,183002
16	299	0,236826

Расчетные значения λ сравниваем с табличными значениями критерия Ирвина λ_a = 1,5 (для уровня значимости a =0,05). Очевидно, что все расчетные значения  λ меньше табличного. Следовательно, соответствующие значения у_t уровня ряда можно считать нормальными (не аномальными)

2.Проверено наличие тренда в исходном временном ряду по методу Фостера – Стьюарта.

На первом этапе  проводим сравнение каждого уровня исходного ряда (начиная со второго) со всеми предыдущими, определяя две числовые последовательности:

Квартал, t	yt	R	L
1	6
2	26	1	0
3	54	1	0
4	61	1	0
5	95	1	0
6	107	1	0
7	134	1	0
8	160	1	0
9	177	1	0
10	188	1	0
11	210	1	0
12	237	1	0
13	241	1	0
14	260	1	0
15	277	1	0
16	299	1	0

 

Далее вычисляются  величины:

S = 15,0 (характеризует изменение временного ряда)

D = 0,0   (характеризует изменение дисперсии уровней временного ряда)

t_s = (15 – 3.858) / 2.76835 = 4,02478

(отклонение  величины S от математического ожидания величины s для ряда, в котором уровни расположены случайным образом)

t_d = (15) / 7.462687 = 2.01

(отклонение  величины d от нуля)

Проверяем соответствующие  гипотезы, т.е. расчетные значения  t_s и t_d сравниваются с табличными значениями критерия t-Стьюдента с заданным уровнем значимости (t_a = 2.23). В нашем случае t_s больше табличного значения, а t_d меньше, т.е. для исходного временного ряда имеется тренд в среднем, а тренда дисперсии уровней ряда нет.

3. Построена линейная регрессионная модель

= a₀ + а₁ * t  (t = 1¸36)

где параметры  уравнения регрессии  (a₀ , а₁) получены на основе метода наименьших квадратов путем решения системы уравнений:

n * a₀  +  а₁ * S t = S y

a₀ * S t + а₁ * S t² = S y*t

Для построения уравнения линейной регрессии используем функцию «Сервис. Анализ данных. Регрессия» (рис 1).

Задав соответствующие  диапазоны данных в окне,

получим набор  таблиц А, Б, В. 

 

Таблица А –  регрессионный анализ

Множественный R	0,997279	Множественный коэффициент корреляции R
R-квадрат	0,994566	Коэффициент координации R
Нормированный R-квадрат	0,994178
Стандартная ошибка	7,088338	Стандартная ошибка определения R
Наблюдения	16	Число наблюдений

 

Таблица Б –  дисперсионный анализ

	Число степеней свободы	дисперсия	Дисперсия на 1 степень свободы	Статистика  Фишера
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	128739,6	128739,6	2562,26	2,94E-17
Остаток	14	703,4235	50,24454
Итого	15	129443

 

Таблица В

	Коэффициенты  уравнения регрессии	Стандартная ошибка определения коэффициентов	t-статистика	Вероятность ошибки	Нижние 95%-пределы	Верхние 95%-пределы
	Коэффициенты	Стандартная ошибка		P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	-7,15	3,717156	-1,92351	0,074992	-15,1225	0,822506
t	19,45882	0,384419	50,61877	2,94E-17	18,63433	20,28332

 

Из таблицы  В следует, что линейная модель временного ряда имеет вид:

У = -7,15 + 19,45882 *t

 

 

4. Оценена адекватность построенной модели на основе исследования

* случайности остаточной компоненты по критерию пиков (поворотных точек).

* независимости уровней ряда остатков по d – критерию (критические значения d₁ = 1.08 и d₂ = 1.36) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении  r₁ = 0,36.  Т.е. осуществляется проверка отсутствия существенной автокорреляции в остаточной последовательности по d – критерию Дарбина – Уотсона, используя формулу

Месяц, t	yt	у расч	Е = у – у  расч	Е2	Еt – Et-1	(Еt – Et-1)2
1	6	12,30882353	-6,3088	39,80125433
2	26	31,76764706	-5,7676	33,2657526	0,5412	0,2929
3	54	51,22647059	2,7735	7,692465398	8,5412	72,9517
4	61	70,68529412	-9,6853	93,80492215	-12,4588	155,2223
5	95	90,14411765	4,8559	23,57959343	14,5412	211,4458
6	107	109,6029412	-2,6029	6,775302768	-7,4588	55,6340
7	134	129,0617647	4,9382	24,38616782	7,5412	56,8693
8	160	148,5205882	11,4794	131,7768945	6,5412	42,7870
9	177	167,9794118	9,0206	81,37101211	-2,4588	6,0458
10	188	187,4382353	0,5618	0,315579585	-8,4588	71,5517
11	210	206,8970588	3,1029	9,628243945	2,5412	6,4576
12	237	226,3558824	10,6441	113,2972405	7,5412	56,8693
13	241	245,8147059	-4,8147	23,18139273	-15,4588	238,9752
14	260	265,2735294	-5,2735	27,81011246	-0,4588	0,2105
15	277	284,7323529	-7,7324	59,78928201	-2,4588	6,0458
16	299	304,1911765	-5,1912	26,94831315	2,5412	6,4576
	2532	2532	-1,27898E-13	703,4235294	1,11764706	987,816609