Построение и анализ модель множественной регрессии

Задача 1. Построение и анализ модель множественной регрессии

 

По исходным данным требуется:

1. Построить классическую линейную модель множественной регрессии, выполнить экономический анализ основных показателей модели: коэффициентов «чистой» регрессии, индекса корреляции, индекса детерминации, оценить значимость модели в целом (F-критерий Фишера) и отдельных ее параметров (t-статистика Стьюдента).

2. Проанализировать матрицу парных коэффициентов корреляции на наличие мультиколлинеарности. Если мультиколлинеарность присутствует - устранить (или ослабить) ее методом пошагового отбора переменных.

3. Построить линейную модель регрессии только со значимыми факторами (на основании выводов, сделанных в п.п. 1 и 2). Дать экономическую интерпретацию коэффициентов модели. Оценить качество построенной модели (индексы корреляции и детерминации, F-критерий Фишера, средняя относительная ошибка аппроксимации). Дайте оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, β- и Δ- коэффициентов.

4. Построитьипроанализировать линейную модель парной регрессии с наиболее значимым фактором. Сравнить качество моделей, построенных в п.п. 3 и 4.

5. Осуществить прогнозирование (точечный прогноз и доверительный интервал прогноза) среднего значения показателя Y при уровне значимости a = 0,1 при условии, что прогнозное значения фактора X составит 80% от его максимального значения (для однофакторной модели).

6. Представить графически: фактические и модельные значения, точечный прогноз и доверительный интервал прогноза (для однофакторной модели).

Примечание. Выполнение задач отразить в аналитической записке, приложить компьютерные распечатки расчетов.

По территориям  Сибирского федерального округа имеются  данные за 20XX г. о значениях экономических показателей:

y – инвестиции в экономику, млрд. руб.,

x₁– среднегодовая численность занятых в экономике, млн. чел.,

x₂ – валовой региональный продукт, млрд. руб.,

x₃ – инвестиции прошлого года в экономику, млрд. руб.

Субъекты РФ	y	x1	x2	x3
Республика  Алтай	0,8	0,081	2,6	0,26
Республика  Бурятия	3,1	0,396	18,1	2,64
Республика  Тыва	0,3	0,103	2,6	0,28
Республика  Хакасия	1,9	0,234	14,3	1,78
Алтайский край	6,7	1,108	34,8	5,13
Красноярский  край	24,0	1,401	129,5	12,43
Иркутская обл.	11,4	1,138	85,9	8,62
Кемеровская обл.	16,4	1,236	69,0	11,74
Новосибирская обл.	9,4	1,122	58,3	6,05
Омская обл.	4,8	0,968	40,6	4,54
Томская обл.	8,6	0,456	31,2	5,84
Читинская обл.	5,7	0,440	22,2	3,19

 

Решение:

1. Построение уравнения множественной регрессии и оценка ее параметров

Коэффициенты  уравнения множественной регрессии оцениваются, как и коэффициенты парной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК). Классический подход к оцениванию коэффициентов уравнения регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК).

Система нормальных уравнений VYRимеет вид:

Sy = ma₀  + а₁Sx1 +  а₂Sx2 + а₃Sx3

Syx1 = a₀Sx1  + а₁S(x1)² + а₂Sx1*х2 + а₃S х1*x3

Syx2 = a₀Sx2  + а₁Sx1*х2 + а₂S (х2)² + а₃S х2*x3

Syx3 = a₀Sx3  + а₁Sx1*х3 + а₂Sх2*х3 + а₃S (х3)²

Величины  Sy, Sx1, Syx1, S(x1)², Sx2, Syx2, S(x2)², Syх1*x2, Sx3, Syx3, S(x3)²,Sx1*х3, Sx2*х3находятся непосредственно по данным производственных измерений, которые заданы в таблице промежуточных вычислений.   

 

t	х1	х2	х3	у	ух1	ух2	ух3	х1х2	х1х3	х2х3	(х1)2	(х2)2	(х3)2
Республика  Алтай	0,081	2,6	0,26	0,8	0,0648	2,08	0,208	0,2106	0,02106	0,676	0,00656	6,76	0,0676
Республика  Бурятия	0,396	18,1	2,64	3,1	1,2276	56,11	8,184	7,1676	1,04544	47,784	0,15682	327,61	6,9696
Республика  Тыва	0,103	2,6	0,28	0,3	0,0309	0,78	0,084	0,2678	0,02884	0,728	0,01061	6,76	0,0784
Республика Хакасия	0,234	14,3	1,78	1,9	0,4446	27,17	3,382	3,3462	0,41652	25,454	0,05476	204,49	3,1684
Алтайский край	1,108	34,8	5,13	6,7	7,4236	233,16	34,371	38,5584	5,68404	178,524	1,22766	1211,04	26,3169
Красноярский  край	1,401	129,5	12,43	24	33,624	3108	298,32	181,43	17,4144	1609,69	1,9628	16770,3	154,505
Иркутская обл.	1,138	85,9	8,62	11,4	12,9732	979,26	98,268	97,7542	9,80956	740,458	1,29504	7378,81	74,3044
Кемеровская обл.	1,236	69	11,74	16,4	20,2704	1131,6	192,536	85,284	14,5106	810,06	1,5277	4761	137,828
Новосибирская обл.	1,122	58,3	6,05	9,4	10,5468	548,02	56,87	65,4126	6,7881	352,715	1,25888	3398,89	36,6025
Омская обл.	0,968	40,6	4,54	4,8	4,6464	194,88	21,792	39,3008	4,39472	184,324	0,93702	1648,36	20,6116
Томская обл.	0,456	31,2	5,84	8,6	3,9216	268,32	50,224	14,2272	2,66304	182,208	0,20794	973,44	34,1056
Читинская обл.	0,44	22,2	3,19	5,7	2,508	126,54	18,183	9,768	1,4036	70,818	0,1936	492,84	10,1761
ИТОГО	8,683	509,1	62,5	93,1	97,6819	6675,92	782,422	542,727	64,18	4203,43	8,83939	37180,3	504,734

 

Для исходной задачи система нормальных уравнений примет вид:

93,1  = 12 * а₀ + 8,683 * а₁ + 509,1 * а₂ + 62,5*а₃

97,6819= 8,683 * а₀ +  8,83939 * а₁ + 542,727 * а₂ + 64,18 * а₃

6675,92 = 509,1 * а₀ +  542,727 * а₁ + 37180,3 * а₂ + 4203,43 * а₃

782,422 = 62,5 * а₀ +  64,18 * а₁ + 4203,43 * а₂ + 504,734 * а₃

Для построения уравнения линейной регрессии используем функцию «Сервис. Анализ данных. Регрессия» (рис 1).

Задав соответствующие  диапазоны данных в окне,

получим набор таблиц А, Б, В.

 

 

Таблица А –  регрессионный анализ

Множественный R	0,982883	Множественный коэффициент корреляции R
R-квадрат	0,966059	Коэффициент координации R
Нормированный R-квадрат	0,953331
Стандартная ошибка	1,498558	Стандартная ошибка определения R
Наблюдения	12	Число наблюдений

 

Таблица Б –  дисперсионный анализ

	Число степеней свободы	дисперсия	Дисперсия на 1 степень свободы	Статистика  Фишера
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	3	511,3438	170,4479	75,90049	3,22E-06
Остаток	8	17,96541	2,245676
Итого	11	529,3092

 

Таблица В

	Коэффициенты  уравнения регрессии	Стандартная ошибка определения коэффициентов	t-статистика	Вероятность ошибки	Нижние 95%-пределы	Верхние 95%-пределы
	Коэффициенты	Стандартная ошибка		P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	-0,0131	0,829506	-0,01579	0,987785	-1,92595	1,899743
X1	-3,71269	2,113172	-1,75693	0,116993	-8,58568	1,160292
X2	0,087542	0,033895	2,582735	0,032478	0,00938	0,165705
Х3	1,294828	0,331211	3,909372	0,004485	0,531053	2,058602

 

Из таблицы  В следует, что уравнение регрессии  имеет вид:

У = -0,0131 –3,71269*х1 + 0,087542*х2+1,294828*х3

 

 

Выполнен экономический анализ основных показателей модели: коэффициентов «чистой» регрессии, индекса корреляции, индекса детерминации, оценить значимость модели в целом (F-критерий Фишера) и отдельных ее параметров (t-статистика Стьюдента).

Коэффициент детерминации (индекс детерминации) можно определить из табл. А:

R²_{ух1,х2,….} = 0,966059

Очевидно, что  связь между факторами (х1, х2, х3) и  результатом (У) прямая и сильная. Величина R²= 0,966059 показывает долю изменения (вариации) результативного признака под действием факторного признака. Т.е. доля изменения (вариации) результативного признака под воздействием факторного признака равна  96,61 %

Коэффициент множественной корреляции (индекс корреляции) можно определить из табл. А:

R_{ух1,х2,….} =

= 0,982883

Проверка значимости уравнения регрессии основана на использовании F-критерии Фишера. Фактическое значение критерия берется из таблицы Б, т. е.

Fфакт = 75,90049

Табличные зачения  составляют

F(0,05)=3,443357   F(0,01)= 5,71902.

Откуда следует, что уравнение регрессии значимо как при α = 0,05, так и при α = 0,01.

Оценим значимость отдельных параметров построенной  модели. Из таблицы 1 видно, что на уровне значимости α = 0,05 все включенные в модель факторы являются значимыми: Р – значение< 0,05.

	Коэффициенты  уравнения регрессии	Стандартная ошибка определения коэффициентов	t-статистика
	Коэффициенты	Стандартная ошибка
Y-пересечение	-0,0131	0,829506	-0,01579
X1	-3,71269	2,113172	-1,75693
X2	0,087542	0,033895	2,582735
Х3	1,294828	0,331211	3,909372

 

Границы доверительного интервала для коэффициентов  регрессии не содержат противоречивых результатов:

	Коэффициенты  уравнения регрессии	Нижние 95%-пределы	Верхние 95%-пределы
Y-пересечение	-0,0131	-1,92595	1,899743
X1	-3,71269	-8,58568	1,160292
X2	0,087542	0,00938	0,165705
Х3	1,294828	0,531053	2,058602

 

2. Проанализирована матрица парных коэффициентов корреляции на наличие мультиколлинеарности. Если мультиколлинеарность присутствует - устранить (или ослабить) ее методом пошагового отбора переменных.

Построим корреляционную матрицу, используя функцию «Сервис. Анализ данных.Корреляция» табличного процессора MS Excel.

 

 

 

 

	у	х1	х2	х3
у	1
х1	0,824132	1
х2	0,949267	0,873559	1
х3	0,96602	0,885602	0,928676	1

 

Из матрицы  следует, что наблюдается некоторая  коллинеарность между факторами x2 и x3  (так как r x2x3 = 0,928676) и факторами х1 и х3 (r x1x3 = 0,885602). Таким образом, далее будет строиться регрессия y на факторы x2, х3.

3. Построена линейная модель регрессии только со значимыми факторами (на основании выводов, сделанных в п.п. 1 и 2).

Для построения уравнения линейной регрессии используем функцию «Сервис. Анализ данных. Регрессия» (рис 3).

Задав соответствующие  диапазоны данных в окне,

получим набор  таблиц А, Б, В.

 

 

Таблица А –  регрессионный анализ

Множественный R	0,976198	Множественный коэффициент корреляции R
R-квадрат	0,952963	Коэффициент координации R
Нормированный R-квадрат	0,94251
Стандартная ошибка	1,663242	Стандартная ошибка определения R
Наблюдения	12	Число наблюдений

 

Таблица Б –  дисперсионный анализ

	Число степеней свободы	дисперсия	Дисперсия на 1 степень свободы	Статистика  Фишера
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	504,4118	252,2059	91,16845	1,06E-06
Остаток	9	24,89735	2,766373
Итого	11	529,3092