Линейная функция

Линейная функция

В этой статье мы рассмотрим линейную функцию, график линейной функции и его свойства. И, как обычно, решим несколько задач на эту тему.

Линейной функцией называется функция вида 

Графиком линейной функции является прямая линия.

 

1. Чтобы построить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции  , удобно взять    и  , тогда ординаты эти точек будут равны   и  .

Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график  функции  :

2. В уравнении функции   коэффициент   отвечает за наклон графика функции:

• если  , то график наклонен вправо

• если   , то график наклонен влево

Коэффициент   отвечает за сдвиг графика вдоль оси  :

• если  , то график функции   получается из графика  функции  сдвигом на   единиц вверх вдоль оси 

• если   , то график функции   получается из графика функции   сдвигом на   единиц   вниз вдоль оси 

На рисунке ниже изображены графики функций  ;  ;   

Заметим, что во всех этих функциях коэффициент   больше нуля, и все графики функций наклонены вправо. Причем, чем больше значение  , тем круче идет прямая.

Во всех функциях   – и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)

Теперь рассмотрим графики функций  ;  ;   

На этот раз  во всех  функциях коэффициент   меньше нуля, и все графики функций наклонены влево. Коэффициент b тот же, b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)

Рассмотрим графики функций   ;  ; 

Теперь  во всех уравнениях функций коэффициенты   равны. И мы получили три параллельные прямые.

Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY  в различных точках:

График функции   (b=3) пересекает ось OY  в точке (0;3)

График функции   (b=0) пересекает ось OY  в точке (0;0) -  начале координат.

График функции   (b=-2) пересекает ось OY  в точке (0;-2)

Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции  .

Если  k<0 и b>0, то график функции   имеет вид:

Если  k>0 и b>0, то график функции   имеет вид:

Если  k>0 и b<0, то график функции   имеет вид:

Если  k<0 и b<0, то график функции   имеет вид:

Если  k=0 , то  функция   превращается в функцию     и ее график имеет вид:

Ординаты всех точек графика функции   равны 

Если b=0, то график функции   проходит через начало координат:

 

 

3. Отдельно отмечу график уравнения  . График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси   все точки которой имеют абсциссу  .

Например, график уравнения   выглядит так:

Внимание! Уравнение   не является функцией, так различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.

4. Условие параллельности двух прямых:

График функции   параллелен графику функции  , если 

5. Условие перепендикулярности двух прямых:

График функции   перепендикулярен графику функции  , если   или 

6. Точки пересечения графика функции   с осями координат.

С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).

С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда  . То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты ( ;0):

Рассмотрим решение задач.

1. Постройте график функции  , если известно, что он проходит через точку А(-3;2) и параллелен прямой y=-4x.

В уравнении функции    два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи должны быть два условия, характеризующих график функции.

а) Из того, что график функции   параллелен прямой y=-4x, следует, что k=-4. То есть уравнение функции имеет вид 

б) Нам осталось найти b. Известно, что график функции   проходит через точку А(-3;2). Если точка принадлежит графику функции, то при подстановке ее координат в уравнение функции, мы получим верное равенство:

  отсюда b=-10

Таким образом, нам надо построить график функции 

Точка А(-3;2) нам известна, возьмем точку B(0;-10)

Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим их прямой:

2. Написать уравнение прямой, проходящей через точки A(1;1); B(2;4).

Если прямая проходит через точки с заданными координатами, следовательно, координаты точек удовлетворяют уравнению прямой   . То есть если мы координаты точек подставим в уравнение прямой, то получим верное равенство.

Подставим координаты каждой точки в уравнение    и получим систему линейных уравнений.

Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим  . Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b=-2.

Итак, уравнение прямой  .

3. Постройте график уравнения 

Чтобы найти,  при каких значениях неизвестного произведение нескольких множителей равно нулю, нужно каждый множитель приравнять к нулю и учесть ОДЗ каждого множителя. 

Это уравнение не имеет ограничений на ОДЗ. Разложим на множители вторую скобку и приравняем каждый множитель к нулю. Получим совокупность уравнений:

Построим графики всех  уравнений совокупности в одной коорднатной плоскости. Это и есть график уравнения   :

4. Постройте график функции  , если он перпендикулярен прямой   и проходит через точку М(-1;2)

Мы не будем строить график, только найдем уравнение прямой.

а) Так как график функции  , если он перпендикулярен прямой  , следовательно  , отсюда  . То есть уравнение функции имеет вид 

б) Мы знаем, что  график функции   проходит через точку М(-1;2). Подставим ее координаты в уравнение функции. Получим:

, отсюда  .

Следовательно, наша функция имеет вид:  .

5. Постройте график функции 

Упростим выражение, стоящее в правой части уравнения функции.

Важно! Прежде чем упрощать выражение, найдем его ОДЗ.

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому  ,  .

Тогда наша функция принимает вид:

То есть нам надо построить график функции   и выколоть на нем две точки: с абсциссами x=1 и x=-1:

 

 

 

 

 

3. Линейное  уравнение с одной переменной . Правила

 

Уравнением с одной переменной, называется равенство, содержащее только одну переменную.             Корнем (или решением) уравнения называется такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.               Найти все корни уравнения или доказать, что их нет – это значитрешить уравнение.

Свойство 1. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, получается уравнение с теми же корнями.                       x – 3 = 6       ⇒       x = 6 + 3       ⇒       x = 9 .               Свойство 2. При умножении или делении обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля, мы получим уравнение с теми же корнями (решениями).                         3x = 6         ⇒         3x : 3 = 6 : 3         ⇒         x = 2 .

Уравнение вида ax = b называется линейным. Например:                         1. 3x = 9  ( ax = b ) .                         2. 3x – 3 = 9 ;                            3x = 9 + 3 ;                            3x = 12  ( ax = b ) .     Принято: цифры в алгебраических выражениях заменять   первыми буквами латинского алфавита   — a, b, c, …,   а переменные обозначать последними   — x, y, z.

a ≠ 0     b — любое значение ax = b имеет один корень x = b : a .       a = 0     b ≠ 0                              ax = b не имеет корней .       a = 0     b = 0                              ax = b имеет бесконечно много корней .         3x = 3               один корень       x = 3 : 3       x = 1 .       0 • x = 5           корней нет .       0 • x = 0           бесконечно много корней     x — любое число .

 

 

 

 

3. Устная  работа– 6 мин.

(1) Пока идет устный  счет, слабоуспевающие учащиеся  получают карточку для коррекции знаний и выполняют 1), 2), 4) и 6) задания по образцу. (См. Приложение 1.)

 

4. Обобщение умения  решать уравнения сведением их  к линейному уравнению –9 мин.

Коллективная работа с классом. (Слайд 4)

Решим уравнение

12 – (4х  – 18) = (36 + 5х) + (28 – 6х). (1)

для этого выполним следующие преобразования:

1. Раскроем скобки. Если перед скобками стоит знак “плюс”, то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки. Если перед скобками стоит знак “минус”, то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки:

12 – 4х + 18 = 36 + 5х + 28 – 6х. (2)

Уравнения (2) и (1) равносильны:

2. Перенесем с противоположными знаками неизвестные члены так, чтобы они были только в одной части уравнения (или в левой, или в правой). Одновременно перенесем известные члены с противоположными знаками так, чтобы они были только в другой части уравнения.

Например, перенесем с противоположными знаками неизвестные члены в левую, а известные – в правую часть уравнения, тогда получим уравнение

– 4х – 5х + 6х = 36 + 28–  18, (3)

равносильное уравнению (2), а следовательно, и уравнению (1).

3. Приведем подобные слагаемые:

–3х = 46. (4)

Уравнение (4) равносильно уравнению (3), а следовательно, и уравнению (1).

4. Разделим обе части уравнения (4) на коэффициент при неизвестном.

Полученное уравнение х =   будет равносильно уравнению (4), а следовательно, и уравнениям (3), (2), (1)

Поэтому корнем уравнения (1) будет число 

По этой схеме (алгоритму) решаем уравнения на сегодняшнем уроке:

1. Раскрыть скобки.

2. Собрать члены, содержащие неизвестные, в одной части уравнения, а остальные члены в другой.

3. Привести подобные члены.

4. Разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.

Примечание: следует отметить, что приведенная схема не является обязательной, так как часто встречаются уравнения, для решения которых некоторые из указанных этапов оказываются ненужными. При решении же других уравнений бывает проще отступить от этой схемы, как, например, в уравнении:

 

1) Решите задачи:

а) Мама старше дочери на 22 года. Сколько лет маме, если им вместе 46 лет 
б) В семье трое братьев и каждый следующий младше предыдущего в два раза. Вместе всем братьям 21 год. Сколько лет каждому?

2) Решите уравнения: (Пояснить)

;

 

Какие из данных уравнений являются линейными?

(Во время устного  счета учащиеся используют сигнальные  карточки: зеленую и красную)

3) Проверьте, правильно  ли решено уравнение, если нет, то найди ошибки. (Слайд 7)

4 · (х – 5) = 12 – х  4х – 5 = 12 – х   4х + х = 12 – 5  5х = 7 /:5  х = 1,4

Желающий выходит к интерактивной доске   исправить ошибки

 

4) Пояснить задания из домашней работы, вызвавшие затруднение.

3. Выполнение упражнений  – 10 мин. (Слайд 8)

(1) Какому неравенству удовлетворяет корень уравнения:

4 – 5х = 5

а) x > 1; 
б) x < 0;  
в) x > 0;  
г) x < –1.

(2) При каком значении выражении у значение выражения 2у – 4 в 5 раз меньше значения выражения 5у – 10?

(3) При каком значении k уравнение kx – 9 = 0 имеет корень равный – 2?

 

 

5. Самостоятельная  тестовая работа – 15 мин.

(Учащиеся выполняют тестовую  работу в тетрадях для самостоятельных  работ, дублируя ответы в рабочих  тетрадях. Сдав тесты, учащиеся сверяют ответы с ответами, отображенными на доске)

Учащиеся, справившиеся с работой раньше всех, помогают слабоуспевающим учащимся.

(См. Приложение 3)

 

6. Подведение итогов  урока – 2 мин.

– Какое уравнение с одной переменной называется линейным?

– Что называется корнем уравнения?

– Что значит “решить уравнение”?

– Сколько корней может иметь уравнение?

 

 

 

 

 

32. Линейное  уравнение с двумя переменными  и его график. Правила

 

Уравнение вида     ax + by + c   =   0   называется линейным уравнением    с двумя переменными,     где   a, b и c   —   некоторые числа   ( a ≠ 0 ,   b ≠ 0 ),   а   х и у   —   переменные.              Например:                              5x – 3y – 2   =   0 ;             a = 5 ,   b = – 3   и   c = – 2 ;                или     5x – 2   =   3y         ⇒          5 3 x –  2 3    =   y .                  Последняя запись уравнения, равносильная первой, поможет    нам найти значения   y   при определенных значениях   х .            Если х = 0 ,   то   у   =    5 3 x –  2 3    =    5 3   • 0 –  2 3    =   –  2 3   ;      если х = 1 ,   то   у   =    5 3 x –  2 3    =    5 3   • 1 –  2 3    =    3 3    =   1;      если х = 3 ,   то   у   =    5 3 x –  2 3    =    5 3   • 3 –  2 3    =   4  1 3 ;      если х = 6 ,   то   у   =    5 3 x –  2 3    =    5 3   • 6 –  2 3    =   9  1 3   .                  Решением уравнения с двумя переменными называется такая пара их   значений, которая обращает это уравнение в верное числовое равенство.    В нашем случае это: (0 и –  2 3 )   или   (1 и 1)   или   (3 и 4  1 3 )   или   (6 и 9  1 3 ) и т. д.     5x – 3y – 2   =   0 ;             5 • 0 – 3 • (−  2 3 ) – 2 = 0 ;           5 • 1 – 3 • 1 – 2   =   0 ;                                                      5 • 3 – 3 • 4  1 3   – 2 = 0 ;                   5 • 6 – 3 • 9  1 3   – 2 = 0 .                Используем полученные значения переменных, как координаты    точек и нанесем их на координатную плоскость.                      Мы видим, что наши точки расположены на одной прямой (линии).    Любая точка этой прямой имеет координаты, являющиеся решением нашего   уравнения. Значит, полученная прямая — это графическое решение нашего    уравнения или его график.

Для того чтобы начертить график линейного уравнения достаточно    найти две точки, но для этого надо быть уверенным, что перед вами    именно линейное уравнение.              Чтобы выяснить, является уравнение линейным надо привести его к    стандартному виду.                  ax + by + c   =   0     либо     y   =   kx + m   где   k = –  a b    ,    a   m = –  c b   .              Например:             y 3   + 5 = 3x       ⇒        y 3   = 3x – 5     ⇒       y = 9x – 15     ⇒       9x – y – 15 = 0 .            7y + 2 =  x 2         ⇒       7y =  x 2   – 2     ⇒       y =  1 14 x –  2 7       ⇒       x – 14y – 4 = 0 .             1 x   = y     ( деление числа на x ) ,   но      y x   = 5         ⇒         y = 5x + 0 .            x 2 = 3y – 5     ( x в степени ) ;     xy = 7y + 1     ( произведение x и y ) .                 1 y   = x     ( деление числа на y ) ,   но      x y   = 7         ⇒         y =  1 7 x + 0 .            y 2 = 4x       ( y в степени ) ;     xy = x + 1     ( произведение x и y ) .