Наибольшее значение линейной функции графическим методом

Шаг 1

Рассмотрим неравенство 1 системы ограничений.

- x1

+ x2

3 

·  Построим прямую.

Заменим знак неравенства на знак равенства .

- x1

+ x2

=

3 

Преобразуем уравнение следующим образом .

x1

+

x2

= 3

-1

1

Каждый член уравнения разделим на 3 .

x1

+

x2

= 1

-3

3

Мы получили уравнение прямой в отрезках.  
Данная форма записи позволяет легко нарисовать прямую. 
 
На оси x1 рисуем точку с координатой -3 .  
На оси x2 рисуем точку с координатой 3 . 
 
Соединяем полученные точки и получаем необходимую прямую.

·  Какие точки нас интересуют?

- x1

+ x2

3 

x2

x1

+ 3

Знак неравенства меньше или равно нуля, следовательно, нас интересуют точки лежащие ниже построенной нами прямой.

·  Объединим полученную полуплоскость с ранее найденными ограничениями. (см. рис. 1)

Область допустимых решений выделена штриховкой.

Вершины области допустимых решений:

A (0 , 0)

B (0 , 3)

Шаг 2

Рассмотрим неравенство 2 системы ограничений.

3 x1

- x2

15 

·  Построим прямую.

Заменим знак неравенства на знак равенства .

3 x1

- x2

=

15 

Преобразуем уравнение следующим образом .

x1

+

x2

= 15

1/3

-1

Каждый член уравнения разделим на 15 .

x1

+

x2

= 1

5

-15

Мы получили уравнение прямой в отрезках.  
Данная форма записи позволяет легко нарисовать прямую. 
 
На оси x1 рисуем точку с координатой 5 .  
На оси x2 рисуем точку с координатой -15 . 
 
Соединяем полученные точки и получаем необходимую прямую.

·  Какие точки нас интересуют?

3 x1

- x2

15 

-3 x1

+ x2

-15 

x2

3 x1

- 15

Знак неравенства больше или равно нуля, следовательно, нас интересуют точки лежащие выше построенной нами прямой.

·  Объединим полученную полуплоскость с ранее найденными ограничениями. (см. рис. 2)

Область допустимых решений выделена штриховкой.

Вершины области допустимых решений:

A (0 , 0)

C (5 , 0)

B (0 , 3)

D (9 , 12)

Шаг 3

Рассмотрим неравенство 3 системы ограничений.

x1

+ x2

7 

·  Построим прямую.

Заменим знак неравенства на знак равенства .

x1

+ x2

=

7 

Преобразуем уравнение следующим образом .

x1

+

x2

= 7

1

1

Каждый член уравнения разделим на 7 .

x1

+

x2

= 1

7

7

Мы получили уравнение прямой в отрезках.  
Данная форма записи позволяет легко нарисовать прямую. 
 
На оси x1 рисуем точку с координатой 7 .  
На оси x2 рисуем точку с координатой 7 . 
 
Соединяем полученные точки и получаем необходимую прямую.

·  Какие точки нас интересуют?

x1

+ x2

7 

x2

- x1

+ 7

Знак неравенства меньше или равно нуля, следовательно, нас интересуют точки лежащие ниже построенной нами прямой.

·  Объединим полученную полуплоскость с ранее найденными ограничениями. (см. рис. 3)

Область допустимых решений выделена штриховкой.

Вершины области допустимых решений:

A (0 , 0)

C (5 , 0)

B (0 , 3)

E (2 , 5)

F (11/2 , 3/2)

Шаг 4

Рассмотрим неравенство 4 системы ограничений.

- x1

-4 x2

-4 

·  Построим прямую.

Заменим знак неравенства на знак равенства .

- x1

-4 x2

=

-4 

Каждый член уравнения умножим на -1.

x1

+ 4 x2

=

4 

Преобразуем уравнение следующим образом .

x1

+

x2

= 4

1

1/4

Каждый член уравнения разделим на 4 .

x1

+

x2

= 1

4

1

Мы получили уравнение прямой в отрезках.  
Данная форма записи позволяет легко нарисовать прямую. 
 
На оси x1 рисуем точку с координатой 4 .  
На оси x2 рисуем точку с координатой 1 . 
 
Соединяем полученные точки и получаем необходимую прямую.

·  Какие точки нас интересуют?

- x1

-4 x2

-4 

x1

+ 4 x2

4 

4 x2

- x1

+ 4

x2

-1/4 x1

+ 1

Знак неравенства больше или равно нуля, следовательно, нас интересуют точки лежащие выше построенной нами прямой.

·  Объединим полученную полуплоскость с ранее найденными ограничениями. (см. рис. 4)

Область допустимых решений выделена штриховкой.

Вершины области допустимых решений:

C (5 , 0)

G (4 , 0)

B (0 , 3)

H (0 , 1)

E (2 , 5)

F (11/2 , 3/2)

Шаг 5

Вернемся к нашей исходной функции L .

L = 

2 x1

+ 3 x2

Допустим значение функции L равно 1 (абсолютно произвольно выбранное число), тогда

1 = 

2 x1

+ 3 x2

Данное уравнение является уравнением прямой на плоскости.

Из курса аналитической геометрии известно, что данная прямая перпендикулярна вектору, координатами которого являются коэффициенты функции, а именно вектору ON = (2,3).

Следовательно, с геометрической точки зрения, функция L изображается как множество прямых перпендикулярных вектору ON = (2,3).

Построим вектор ON = (2,3).

Вектор ON изображен красным цветом. (см. рис.5)

Для наглядности вектор ON нарисован не в масштабе.

Значение функции L будет возрастать при перемещении прямой в направлении вектора ON.

Диапазон перемещения прямой НЕ от точки O до точки N, а именно, в направлении от точки O к точке N.

Будем перемещать прямую, перпендикулярную вектору ON, до тех пор, пока она полностью не пройдет область допустимых решений.

В нашем случае, касание прямой, перед выходом из области допустимых решений, произойдет в вершине E (2,5). 
 
В точке E значение функции L будет наибольшим.