Контрольная работа по "Зконометрике"

2.  Определить оптимальную  программу выпуска продукции,  максимальную прибыль, необходимый  размер кредита, сумму уплаченных  процентов и потребность в  трудовых ресурсах, если почасовая  ставка t оплаты труда равна 10 руб/чел.-час.

3.  Найти функцию  спроса на трудовые ресурсы,  как функцию почасовой ставки  оплаты труда t, построить график этой функции. Исследовать зависимость размеров максимальной прибыли и кредита, обеспечивающего её получение, от почасовой ставки t оплаты труда в диапазоне от   10 до 30 рублей за чел.-ч.   Найти функции, выражающие эти зависимости, и построить их графики.

Решение:

1.  Построение математической модели оптимизации

Для построения модели введем следующие обозначения:

Х1- объем выпуска продукции А,

Х2 -объем выпуска продукции  Б,

S- потребность в трудовых ресурсах.

t   - почасовая ставка оплаты труда,

V - размер кредита,

Z - выручка от реализации произведенной продукции.

Р -прибыль предприятия.

Выразим в математической форме основные условия и ограничения рассматриваемой задачи.

Ограничения по использованию  сырья:

3*Х1+1*Х2<=270

Ограничения по использованию  оборудования:

1*Х1+2*Х2<=140

Потребность в трудовых ресурсах S определяется необходимыми затратами труда для выпуска продукции в объемах Х1, и Х2:

S=2*Х1+1*Х2

Размер  необходимого  кредита определяется,  исходя   из  потребности  в трудовых ресурсах S и почасовой ставки оплаты труда t,  т.е.

V=tS=t(2*Х1+1*Х2).

Выручка от реализации произведенной  продукции:

Z=1216*Х1+420*Х2

Сумма расходов по обслуживанию кредита  определяется размером возвращаемого  кредита и процентов по нему, т.е. равна

V+(40%/12 * 3/100%)*V=V+0,1V=1,1*V

Прибыль предприятия определяется как разность между выручкой и расходами по обслуживанию кредита, т.е.

P=Z-1,1*V

Подставляя в эту  формулу выражения для Z и V, получим

Р=(1216*Х1+420*Х2)- 1,1* t(2*Х1+1*Х2)=

=(1216-2,2t)*X1+(420-1,1t)*X2

Следовательно, математическая модель оптимизации выпуска продукции принимает следующий вид: найти неизвестные значения объемов выпуска X1 и X2, удовлетворяющие ограничениям

3*Х1+1*Х2<=270  (1)

1*Х1+2*Х2<=140   (2)

Х1>=0, X2>=0  (3)

и доставляющие максимальное значение целевой функции

P=(1216-2,2t)*X1+(420-1,1t)*X2àmax  (4)

При этом необходимый  размер кредита V определяется по формуле:

V=tS=t(2*Х1+1*Х2).

 

2. Определение  оптимальной программы выпуска  продукции

 

 При ставке оплаты труда t=10 коэффициенты целевой функции равны соответственно C1=1216-2,2*10=1194 и C2=420-1,1*10=409.

Следовательно, математическая модель (1) - (4) примет вид:

3*Х1+1*Х2<=270

1*Х1+2*Х2<=140

Х1>=0, X2>=0 

P=1194*X1+409*X2àmax

Из уравнения находим  точку максимума: Х1=80, Х2=30.

Максимальный размер прибыли:

Р=1194*80+409*30=107790 (руб.).

потребность в трудовых ресурсах:

S=2*80+1*30=190 (чел.-час.)

размер необходимого кредита:

V=10*190=1900 (руб.),

сумма уплаченных процентов:

0,1*V= 0,1*1900=190 (руб.)

 

2.3. Нахождение функции спроса на трудовые ресурсы

 

Сначала найдем решение задачи при t = 50. Она имеет следующий вид:

3*Х1+1*Х2<=270

1*Х1+2*Х2<=140

Х1>=0, X2>=0 

P=1106*X1+365*X2àmax

Рис. 2.2 Графическое  решение при t=50

 

Из рисунка видно, что  оптимальное решение задачи изменилось. Им теперь является точка D = (90, 0). Максимальный размер прибыли:

Максимальный размер прибыли:

P=1106*90+365*0=99540 (руб.),

а потребность в трудовых ресурсах:

S=2*90+1*0=180 (чел.-час.)

Так как t=50 руб./чел.-час, то размер кредита:

V = S t = 180*50=9000 (руб.), а сумма уплаченных процентов за кредит:

0,1*9000= 900 (руб.)

 

Для нахождения параметра t=t` используем тот факт, что если две прямые на плоскости параллельны, то их коэффициенты при одинаковых переменных пропорциональны.

Так как граничная  прямая (1) задается уравнением:

3*Х1+1*Х2=270

а линия уровня целевой  функции – уравнением:

(1216-2,2t)*X1+(420-1,1t)*X2=h,

где h – любое число, то имеем:

Следовательно:

Так, из проведенного выше анализа следует, что при 10<=t<40 оптимальное решение задачи является точка C, а при 40 < t <=50 – точка D.

При  t=40 решение определено неоднозначно: им будет любая точка отрезка [CD].

Теперь мы можем построить функцию спроса S(t) на трудовые ресурсы.

• 10<=t<40 спрос на трудовые ресурсы равен ранее найденной при t = 10 величине спроса, т.е. S (t) = S(10) = 190;

• При 40 < t <=50 спрос на трудовые ресурсы равен ранее найденной при t = 50 величине, т.е. S (t) = S(50) = 180.

• При t = 40 спрос на трудовые  ресурсы определен неоднозначно. В зависимости от того, какое оптимальное решение из отрезка [CD] будет выбрано, он может принять любое значение из числового отрезка [180, 190], т.е. 180<=S(t) <=190.

Зная спрос на трудовые ресурсы, можно определить величину необходимого кредита V(t) как функцию от ставки труда t, используя формулу V(t) = tS(t).

• При 10<=t<40 размер кредита V(t) = tS(t).=1900t, так как спрос на трудовые ресурсы не изменяется и равен 1900.

• При 40 < t <=50 размер кредита V(t) = tS(t).=1800t, так как спрос на трудовые ресурсы не изменяется и равен 1800.

• При t = 40 размер кредита определен неоднозначно. Так как спрос на трудовые ресурсы может принять любое значение из отрезка [1800, 1900], размер кредита V(40) может быть любым числом из отрезка [1800x40, 1900x40] = [72000, 76000].

 

Найдем зависимость величины прибыли Р (t) от ставки оплаты труда t, используя формулу

P=(1216-2,2t)*X1+(420-1,1t)*X2— оптимальное решение задачи.

• При 10<=t<40 оптимальное решение - точка C = (80, 30). Поэтому величина прибыли P(t) = (1216– 2,2t)*80+(1260-3,3t)*30 = 135080-275*t.

• При 40 < t <=50 оптимальное решение — точка D = (90, 0). Значит величина прибыли P=(1216-2,2t)*90= 109440-198t.

• При t = 40 оптимальное решение задачи — любая точка отрезка. Однако во всех точках этого отрезка величина прибыли одинакова и равна Р(40) = 135080-275*40 = 124080.

 

График спроса на трудовые ресурсы

График максимальной прибыли

 

 

Задача 4

 

Фирма при производстве продукции использует два вида ресурсов: рабочую силу (L, тыс. чел. - час.) и оборудование (К, тыс. ст. - час.). Производственная функция (ПФ) фирмы, построенная путем обработки статистических данных, имеет вид:

,

де Y- объем выпуска продукции (ед.).

Требуется:

1.Построить графики  ПФ при фиксированном значении  одной из переменных: а) K=315;  б)L = 63.

2.  Найти уравнения  изоквант ПФ и построить их  графики для Y1=188, Y2=282, Y3=376.

3. Известны объем выпуска  продукции Y=282 и наличные трудовые ресурсы L=63 в базовом периоде. Определить потребность в оборудовании в плановом периоде при увеличении объема выпуска продукции 10%, если возможность увеличения трудовых ресурсов составляет не более 5%.

4. Рабочая сила нанимается  по контракту с почасовой оплатой  труда 350 (ден.ед./тыс. чел. - час), оборудование берется в аренду с суммарными затратами 70 (ден.ед./тыс. ст. - час). Объем капитала, который фирма может затратить на рабочую силу и оборудование, составляет 49000 (ден. ед.). Построить математическую модель задачи оптимизации выпуска продукции, считая, что производственная функция задана на множестве К >= О, L >= 0; найти графическим методом ее решение. Определить предельную норму технологического замещения- оборудования рабочей силой и предельную эффективность финансовых ресурсов в точке оптимума.

Решение:

1) Производственная функция (ПФ) - функция, описывающая зависимость максимального объема производимого продукта от затрат ресурсов (факторов), используемых в производственном процессе. В задаче в качестве ресурсов выступают рабочая сила (L, тыс. чел. - час.) и оборудование (К, тыс. ст. - час.). Производственная функция фирмы, построенная путем обработки статистических данных, имеет вид:

, где Y- объем выпуска продукции (ед.).

Построим графики производственной функции при фиксированном значении одной из переменных.

а) Пусть К = 315. Тогда ПФ - степенная функция следующего вида:

Вычислим значения этой функции в двух точках, например, L = 2 и L = 32. Имеем, что Y(315,2) = 47,4, а Y(315,32) = 200,8. График функции представлен на рис. 4.1(а).

б) Пусть L = 63. Тогда ПФ - степенная функция следующего вида:

Также вычислим значения этой функции в двух точках, например К = 30 и К=130. Имеем, что Y(30, 63) = 87,1, а Y(130, 63) = 181,3. График функции представлен на рис. 4.1(б).

 

Отметим, что заданная ПФ удовлетворяет основным свойствам  производственных функций:

• при отсутствии хотя бы одного ресурса объем выпуска  продукции равен нулю, то есть Y(0, 0) = Y(K, 0) = Y(0,1) = 0;

• с ростом затрат хотя бы одного ресурса объем выпуска Y растет;

• с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу увеличивающегося ресурса убывает, т.е. имеет место закон убывающей эффективности ресурсов.

 

2) Изокванта - совокупность всех комбинаций факторов производства (К, L), обеспечивающих одинаковый объем выпускаемой продукции. Изокванты дают графическое представление двухфакторной производственной функции Y(K, L) в виде ее линий уровня.

Выпишем соответствующие  этим значениям уравнения изоквант:

Для построения на плоскости OKL изоквант целесообразно из их уравнений в явном виде выразить переменную L как функцию от переменной К:

Итак, уравнение трех изоквант запишем в следующем виде:

 

3. Известны объем выпуска продукции Y=282 и наличные трудовые ресурсы L=63 в базовом периоде. Определить потребность в оборудовании в плановом периоде при увеличении объема выпуска продукции на 10%, если возможность увеличения трудовых ресурсов составляет не более 5%.

При заданном увеличении объем выпуска продукции составит:

Y=1,1*Yбаз=1,1*282=310,2 (ед.).

Существует множество  комбинаций факторов производства (К, L), обеспечивающих выпуск продукции в объеме 310,2 ед. Потребность в оборудовании в плановом периоде можно выразить как функцию от объема трудовых ресурсов. Используя уравнение изокванты:

Таким образом, если объем  трудовых ресурсов, используемых в  производстве, не изменится и останется на уровне L_баз =63 (тыс.чел. — час.), то потребность в оборудовании в плановом периоде составит:

 (тыс. ст. - час.).

В базовом периоде  потребность в оборудовании составляла:

 (тыс. ст. - час.).

 

Если же объем трудовых ресурсов увеличится на 5% по отношению к базовому и составит:

L=1,05*Lбаз=1,05*63=66,2 (тыс. чел. -час.),

то потребность в  оборудовании в плановом периоде  составит:

 (тыс. ст. - час.).

Итак, при объеме трудовых ресурсов LÎ[Lбаз; 1,05 Lбаз] потребность в оборудовании в плановом периоде составит некоторую величину KÎ[4,2; 4,4].

 

4. Согласно условию фирма может приобрести на рынке используемые в производстве ресурсы по ценам р_к = 70 (ден. ед. / тыс. ст. - час.) и p_L = 350 (ден. ед. / тыс. чел. - час.). Величина ее затрат С на покупку L единиц рабочей силы и К единиц оборудования составит

С =p_KK+ p_L L = 70K+350L.

Задача фирмы состоит  в нахождении максимального объема выпуска продукции при условии, что уровень затрат на покупку ресурсов не превосходит 49000 ден. ед. Математическая модель этой задачи может быть записана так: найти объемы ресурсов K и L, удовлетворяющие ограничениям

70K+350L≤49000     (1)

K³0, L³0       (2)

и доставляющие максимальное значение целевой функции

      (3)

Так как Y- нелинейная функция, то эта модель представляет собой задачу нелинейного программирования. Ограничение (1) называется бюджетным ограничением.

Ее решение можно  найти графическим методом. Для  этого построим область допустимых решений, задаваемую условиями (1) и (2). Она представляет собой заштрихованный треугольник ОАВ. Граничная прямая АВ бюджетного ограничения задается уравнением

70K+350L=49000.

Для нахождения значений координат точки D используем тот факт, что градиент целевой функции , вычисленный в точке касания, перпендикулярен прямой АВ. Это означает, что вектор grad Y и вектор нормали ОС = (p_K, p_L) этой прямой пропорциональны, т.е справедливо равенство:

      (4)

Поскольку , отсюда имеем, что