Анализ денежного обращения и кредитования

Проведение многомерных  статистических исследований, в частности  регрессионного анализа, невозможно без массовых наблюдений. В этой связи в результате анализа годовых отчетов по Центральному Банку Р.Ф. за 9 лет был сформирован массив, исходный для анализа информации  (табл. 1).

Таблица 1

Исходная информация для проведения корреляционно-регрессионного анализа 

год	Y	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7
2001	1154,4	763,3	104,7	44,7	247,2	207,4	329,8	462,5
2002	1612,6	1191,5	129,9	94,7	361,2	261	366,7	702,4
2003	2134,5	1708,1	291,4	112,5	555,5	300,4	502,6	1030,8
2004	3212,6	2474,3	263,7	248,7	757,1	362	625,1	1519,5
2005	4363,3	3406,8	425,8	538,2	881,1	380,5	752,6	1980,1
2006	6044,7	4484,4	667,9	1055,8	1231,5	444,4	1036,6	2761,2
2007	8995,8	6298,1	1035,6	1882,7	1426,8	566,5	1341,2	3809,7
2008	13272,1	9532,6	1418,1	2971,1	1989,8	731,7	1674,7	5159,2
2009	13493,2	12843,5	2501,2	4017,2	3183,2	881,4	1760,3	5906,9

 

Наиболее простой формой зависимости и достаточно строго обоснованной для случая совместного  нормального распределения является линейная, т.е. зависимость вида⁶

y=a₀+a₁ x₁ +a₂ x₂ +…+a_p x_p                                                           (2)

При построении множественной регрессии важно учесть, какие факторы нужно включать в уравнение или есть переменные, которые существенно не влияют на величину Y и их нецелесообразно включать в уравнение (2).

Для решения этого  часто используется  таблица, составленная из коэффициентов парной корреляции. Элементами такой таблицы являются коэффициенты парной корреляции для всех семи факторов.

Таблица 2

Таблица коэффициентов  парной корреляции

	у	х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7
у	1
х1	0,977329	1
х2	0,933244	0,985692	1
х3	0,977708	0,994979	0,983501	1
х4	0,942056	0,989873	0,992239	0,977791	1
х5	0,983632	0,996282	0,973977	0,988389	0,983309	1
х6	0,993888	0,969196	0,925911	0,965267	0,94055	0,978934	1
х7	0,995363	0,987133	0,952722	0,982204	0,9645	0,99265	0,995904	1

 

Для отбора значимых факторов в уравнение регрессии воспользуемся  следующей формулой: ⁷

                                         

                                                              (3)

Из данной модели исключаются факторы Х₂, Х₃, Х₄, Х₅ , Х₇ , поскольку не выполняются неравенства системы (3):

          

Из первой системы  неравенств выгоняем фактор Х₂, т.к. не выполняется условие системы неравенств (3).

           

Из этой системы неравенств выгоняем фактор  Х₃, т.к. не выполняется условие системы неравенств  (3).

Условие системы неравенств (3) не выполняется, следовательно, выгоняем фактор  Х₄.

Из этой системы неравенств выгоняем фактор  Х₅, т.к. не выполняется условие системы неравенств  (3).

Условие системы неравенств (3) выполняется, следовательно, пока оставляем факторы  Х₁ и Х₆.

Условие системы неравенств (3) не выполняется, следовательно исключаем из этой системы фактор Х₇.

Таким образом, после  отсева факторов из модели, уравнение  регрессии примет такой  вид:                   у = а₀ + а₁* Х₁ + а₂* Х₆                             (4)

     После предварительного  отбора факторов на основе парных и частных коэффициентов корреляции производятся оценки параметров а₀, а₁, а₂; обычно они осуществляются по методу наименьших квадратов. Система нормальных уравнений в случае линейной зависимости (2) имеет вид⁸:                       (5) 

Решение такой системы  может осуществляться по теореме  Крамера (с использованием определителей), методом Гаусса (последовательным исключением неизвестных) и другими методами, данные параметры системы нормальных уравнений Х₁, Х₆ находим с помощью пакета «Анализ данных» в программе Excel. ⁹

Таблица 3

                     Регрессионный анализ модели (4) в Excel

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,995524934
R-квадрат	0,991069895
Нормированный R-квадрат	0,988093193
Стандартная ошибка	526,3177269
Наблюдения	9

                    

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	1,84E+08	92228460	332,9423	7,12E-07
Остаток	6	1662062	277010,3
Итого	8	1,86E+08

 

	Коэффи-циенты	Стандар-тная ошибка	t-ста-тистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересе-чение	-1559,747	519,669	-3,00142	0,023964	-2831,33	-288,162	-2831,33	-288,1624
х1	0,271451	0,18349	1,47938	0,189527	-0,17753	0,720435	-0,17753	0,720435
х6	6,761854	1,37683	4,911171	0,002681	3,392869	10,13084	3,392869	10,13084

 

Уравнение регрессии будет иметь  вид:

             

                        Y = -1559,747 + 0,271451*Х1 + 6,761854*Х6              (6)

Таблица 4

Таблица коэффициентов  парной корреляции факторов Х₁, Х₆.

	у	х1	х6
у	1
х1	0,977329	1
х6	0,993888	0,9692	1

 

Для определения тесноты  связи между фактором Y и совокупностью факторов X₁ ,X₆ применяется коэффициент множественной корреляции R. Этот коэффициент изменяется в интервале от 0 до 1. Если R=0, то нет линейной корреляционной связи между Y  и X₁, Х₆. Если R=1, то существует функциональная связь. В нашем случае R=0,9955, что говорит о наличии функциональной связи.

В рамках регрессионной  статистики приведены также значения скорректированного и нескорректированного линейных коэффициентов множественной детерминации.

Нескорректированный коэффициент  множественной детерминации R² =0,9910 оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет 99,10 % и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами – на весьма тесную связь факторов с результатом.

Скорректированный коэффициент множественной детерминации R²=0,9910 определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсией. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов в модели и потому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую (более 90%) детерминированность результата У в модели факторами Х₁, Х₆.

Найдем значения коэффициентов  эластичности. Средние коэффициенты эластичности показывают, на сколько  процентов от значения своей средней изменяется результат при изменении фактора х_j на 1% от своей средней и при фиксированном воздействии на у всех прочих факторов включенных в уравнение регрессии.  Для линейной зависимости:¹⁰

                                                   

                                                             (7)

где - коэффициент регрессии при х_j в уравнении множественной регрессии.

Таблица 5

Расчетные значения результативного  признака

год	у	х1	х6
2001	1154,4	763,3	329,8
2002	1612,6	1191,5	366,7
2003	2134,5	1708,1	502,6
2004	3212,6	2474,3	625,1
2005	4363,3	3406,8	752,6
2006	6044,7	4484,4	1036,6
2007	8995,8	6298,1	1341,2
2008	13272,1	9532,6	1674,7
2009	13493,2	12843,5	1760,3
сумма	54283,2	42702,6	8389,6
ср	6031,467	4744,73	932,1778