Проектная разработка перспективной ракеты-носителя тяжелого класса «схемы» тандем на сжиженном природном газе

 2 Баллистический расчет

 

Современная баллистика изучает широкий  круг задач, связанных с выбором  рациональных траекторий движения различных  ЛА, в том числе баллистических ракет, РН и космических транспортных систем, головных частей, автоматических межпланетных аппаратов, пилотируемых кораблей и других.

Баллистический  расчет  выполняется  на  ЭВМ.  Эффект  от  использования  ЭВМ  особенно  велик  при  решении  таких  задач,  которые  требуют  много - кратного  обращения  к  одному  и  тому  же  алгоритму,  являющемуся наиболее  трудоемкой  частью  общего  расчета.

 

2.1 Основные  участки траектории полета РН

 

К основным участкам траектории полета относят:

• участок старта;
• участок полета первой ступени;
• разделение ступеней;
• полет второй ступени;
• отделение КА.

Согласно заданию на дипломный  проект, рассматриватеся только участок  старта, участок полета первой ступени  и участок полета второй.

 

2.2 Первый этап

 

Первый этап заключается  в определении параметров номинального вектора перемещения, номинальной  дальности, номинальной траектории – с учетом вращения Земли, без учета её вращения.

Схема полета РН как материальной точки представлена на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 – Схема полета РН как материальной точки в стартовой прямоугольной системе координат.

Для расчёта траектории применяется система дифференциальных уравнений, написанных в стартовой прямоугольной системе координат при следующих основных допущениях:

• Земля  - это равноплотный шар с радиусом R_З=6371000[м] и массой m_З=5,0789×10²⁴ [кг];
• Земля вокруг оси не вращается;
• начало стартовой системы координат располагается в точке старта, ось  Y направлена по радиусу Земли от ее центра, ось X по касательной к поверхности Земли в точке старта, в сторону цели.

Для расчета АУТ используется система дифференциальных уравнений первого порядка, записанная в стартовой прямоугольной системе координат, с учетом всех допущений. Система дифференциальных уравнений, описывающих движение РН в атмосфере, может быть представлена в следующем виде:

,         (2.1)

где  t – время полета, отсчитываемое с момента старта,

     P – тяга двигателей,

    X – лобовое сопротивление,

     Y – подъёмная сила,

     m – масса РН,

     g_m – ускорение силы тяжести,

     V – скорость ракеты относительно принятой системы координат,

    - угол наклона скорости к горизонту точки старта.

Лобовое сопротивление X:

,         (2.2)

где S_M – площадь сечения миделя,

       C_X – коэффициент лобового сопротивления.

Относительное давление атмосферы:

 при  [м],

 при  [м],      (2.3)

 при  [м].

 Относительная плотность атмосферы:

 при  [м],

 при  [м],      (2.4)

 при  [м].

Коэффициент лобового сопротивления:

 если  ,        (2.5)

 если  ,       (2.6)

Для решения системы  уравнений (2.1) применяют метод Рунге-Кутта численного интегрирования дифференциальных уравнений:

,            (2.7)

,         (2.8)

,         (2.9)

где h = 2 – шаг интегрирования.

Для времени t = 0 начальные условия:

;

;

;

;

;

Чтобы попасть в заданную точку выведения, необходимо построить  функционал:

,         (2.10)

где q_мк - конечный угол наклона вектора скорости к местному горизонту,

       H_к – конечная высота выведения,

       H_p  -  высота перигея орбиты выведения,

       d  - допустимое отклонение.

Для решения задачи используются дифференциальные уравнения (2.1), (2.7 - 2.9). Интегрирование дифференциальных уравнений прекращают при выполнении неравенства V_i = V_K (где V_i – скорость, полученная в процессе интегрирования):

V_к= ,   (2.11)

 где M₃  - относительная масса Земли,

      Н_p - высота перигея,

      Н_a - высота апогея.

 

2.3 Второй этап

 

Второй этап заключается  в определении конкретных весовых  или массовых и энергетических характеристик  РН по ОПП.

Текущее ускорение, g_m (зависимость g_m=f(h_m)):

,      (2.12)

где h_m – текущая высота полета ЛА.

Тяга двигателей ДУ РБ ступени РН на любой высоте и в любой момент времени, Р:

,      (2.13)

где P_П – тяга двигателя ДУ РБ ступеней РН при работе в пустоте,

      S_a – площадь выходного сечения сопла двигателя ДУ РБ ступеней РН,

      p_h – давление атмосферы на срезе выходного сечения сопла камеры

двигателя ДУ РБ ступеней РН.

Текущая масса РН в  любой точки траектории, m_t (зависимость т_t=f(t)):

m_t = m_0.i – ((ṁ_Г.j + ṁ_ОК.j)·t_j),     (2.14)

при i = 1…N, i = 2 – количество ступеней,

 j = 1…n, j = 2 – количество РБ,

      t = 1…t_Σ, t_Σ – общее время полета РН,

где ṁ_Г.j – массовый расход горючего на РБ РН,

      ṁ_ОК.j – массовый расход окислителя на РБ РН,

      m_0.i – начальная масса ступеней РН,

      t_j – время работы ДУ РБ ступеней РН,

      t – текущее время полета РН,

 

2.4 Третий этап

 

Третий этап заключается  в расчете и оптимизации угла тангажа, определении скоростей  и ускорений производных номинального вектора перемещения.

При расчете и оптимизации  угла тангажа необходимо ввести  зависимость его от времени по следующим уравнениям:

 

     при 0 < t < 8 10 [c],      (2.15) 

,

Видно, что программа  угла тангажа первой ступени будет  изменяться по обратному закону –  убыванию.

Программа изменения угла тангажа второй ступени построена таким образом, что угол тангажа остается постоянным на всем участке работы двигателей ДУ РБ РН. В этом случае упрощается система управления движением второй ступени РН, а расчет полета ведется с изменением программы угла тангажа при полете  так же, как первой ступени РН.

Таким образом, угол тангажа  не превышает 2⁰ на протяжении полета;

а = –2 , 0, +2 – текущий угол атаки на участках полета траектории РН.

Скорость РН как тела переменой массы в любой точке  траектории, V_i:

V_j = g_m·P_УД.i·ln( ),      (2.16)

при i=1…N, i = 2 – количество ступеней РН

       j = 1…∞, j – количество точек траектории  РН,

где P_УД.i – удельная тяга двигателей ДУ РБ ступеней РН,

       m_k.i – конечная масса ступеней РН,

      m_t – текущая масса ступеней РН, зависящая от времени полета РН.

    Полное  ускорение РН как тела переменой  массы в любой точке траектории а_О:

а_О.j=g_m·n_0.i· (( )–( )·p_h),     (2.17)

при i = 1…N, i=2 – количество ступеней

       j = 1…∞, j – количество точек траектории  РН,

где P_0.i – тяга двигателя ДУ РБ ступеней РН при работе на поверхности Земли,

      n_0.i – стартовая перегрузка ступеней РН.

После этого  находятся значения q_мк и Н_к , далее вычисляется функционал по формуле (2.10). При условии   Ф > d  или F = d, задается другая скорость изменения программы угла тангажа и скачок Dn, и процесс вычисления повторяется.

Если функционал сводится к минимуму медленно, то, изменяя конечный угол тангажа второй ступени, повторим  процесс  вычисления заново для величины:

,       (2.18)

Таким образом, процесс  оптимизации длится до тех пор, пока не выполнится условие  F < d.

Результаты  расчетов  АУТ  первой  и  второй ступеней  представлены в приложении А.

Графики зависимостей построенные  по результатам расчетов, представлены в приложении Б.

 

 

 

2.5 Итоги баллистического расчета

 

Баллистический расчет показал, что данная РН по рассчитанным ОПП поднимает ПН массой 28000 кг на высоту 215000[м] с углом наклонения 51,6⁰, и при этом придает ПН скорость 9583,93[м/с].