Теория массового тобслуживания

• количеством и производительностью обслуживающих каналов;

• дисциплиной очереди;

• мощностью источника требований.

В качестве основных критериев эффективности функционирования систем массового обслуживания в  зависимости от характера решаемой задачи могут выступать:

• вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки;

• вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки;

• относительная и абсолютная пропускная способность системы;

• средний процент заявок, получивших отказ в обслуживании;

• среднее время ожидания в очереди;

• средняя длина очереди;

• средний доход от функционирования системы в единицу времени и т.д.

Итак, предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между факторами, определяющими функциональные возможности системы, и эффективностью ее функционирования. В большинстве случаев все параметры, описывающие систему массового обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому эти системы относятся к стохастическим системам [2, 82 - 85].

1.1.2 Классификация  систем массового обслуживания

Согласно общей классификации система массового обслуживания разделяется на три подсистемы.

Первая подсистема - это система массового обслуживания без потерь. Под термином система  без потерь (с полным ожиданием) понимают систему, в которой, если все приборы  заняты, требование становится в очередь  и не покидает ее до тех пор, пока не будет обслужено.

Вторая подсистема - это система с частичными потерями. Подобная подсистема характеризуется  тем, что требование либо не становится в очередь, если эта очередь превышает  по длине некоторую величину (система  с ограниченной длиной очереди), либо становится в очередь, но покидает ее, если время пребывания в ней превышает определенную величину (система с ограниченным временем пребывания), или, если время ожидания в очереди начала обслуживания превышает определенную величину (система с ограниченным временем ожидания начала обслуживания).

Третья подсистема - это система без очередей. Под  этим термином понимают систему, в которой  требование покидает систему, если все  обслуживающие устройства (приборы) заняты. В такой системе, очевидно, очереди не может быть.

Системы, имеющие  очередь, подразделяются на системы  с одной очередью и системы  с несколькими очередями.

Все системы  массового обслуживания делятся  на системы с одним каналом  и системы с конечным числом каналов  обслуживания. Под термином канал  понимают обслуживающее устройство в цехе, пропускающее через себя требование. В тех случаях, когда приборов много удобно (математически более просто) считать, что их бесконечное число.

Все системы  массового обслуживания можно разделить  на системы с бесконечным числом требований (например, запросы на телефонные переговоры, на обслуживание покупателей, автомашины на бензозаправках и т.д.) и с конечным числом требований в системе (группа ремонта станков в цехе: число станков известно, тренировка футболистов футбольной команды, лечение больных студентов в институтской поликлинике и т.п.).

теория массовое обслуживание математический

Представленная классификация, конечно, не исчерпывает все множество  различных систем массового обслуживания. Эти системы могут классифицироваться и по другим признакам.

Так, весьма важной характеристикой  является дисциплина обслуживания, под  которой понимают порядок выбора требований из очереди. В соответствии с этим системы подразделяются на четыре вида.

СМО с типом дисциплины "первый пришел - первый обслуживается" - дисциплина "живой очереди";

СМО с типом дисциплины "последний пришел - первый обслуживается" - примером такой системы является склад, заполненный изделиями, из которого на доработку удобно брать изделия, поступившие последними;

СМО с типом дисциплины выбора требований случайным способом;

СМО с типом дисциплины выбора требований в соответствии с  присвоенными приоритетами.

Другими вариантами классификаций  могут быть следующие.

Поступление требований может быть единичным и групповым.

Требования могут обслуживаться параллельно работающими приборами, но может быть и система, в которой приборы расположены последовательно так, что как только будет обслужено требование первым прибором, то начнет обслуживаться и другое и т.д.

Интенсивность обслуживания прибором может быть постоянной или зависеть от длины очереди, приоритетов или каких-либо других факторов.

Наконец, системы массового  обслуживания различают по характеру  входного потока и по характеру обслуживающих  устройств.

1.1.2.2 Классификация процессов обслуживания

Обозначения Кендалла систем массового обслуживания.

Аналогично  входному потоку процесс обслуживания требований может быть детерминированным  и стохастическим.

Детерминированный процесс обслуживания характеризуется  постоянной величиной времени обслуживания

где - интенсивность  обслуживания, которая представляет собой число требований, обслуживаемых  в единицу времени.

Стохастический  процесс обслуживания может быть произвольным, рекуррентным или совершенно случайным, как и при описании входного потока требований [15].

При рассмотрении систем массового обслуживания часто  используются обозначения предложенные Кендаллом. Они позволяют описать  СМО с помощью следующих трех элементов: вид входного потока, распределение  продолжительности обслуживания, число обслуживающих приборов.

Используются  следующие обозначения:

M - пуассоновское  или экспоненциальное распределение;

D - постоянная  величина;

E_k - распределение Эрланга;

G - общий вид  распределения;

GI - рекуррентный  входной поток.

Общий вид, характеризующий систему массового обслуживания, представляет собой следующую последовательность:

где Н₁ - характеристика входного потока, H₂ - характеристика времени обслуживания прибора, i - число приборов.

Например, система M /D /s - система с s приборами, обслуживающая поступающие требования за строго определенный интервал времени, поступающие требования образуют пуассоновский поток [16].

1.1.2.3 Классификация  систем массового обслуживания

По характеру обслуживания.

1.1.2.3.1 СМО  с отказами

Одноканальная СМО содержит один канал (n = 1), и на ее вход поступает пуассоновский поток заявок П_вх интенсивность (среднее число событий в единицу времени) которого inП_вх=л. Так как интенсивность входящего потока может изменяться во времени, то вместо л записывают л (t). Тогда время обслуживания каналом одной заявки Т_об распределено по показательному закону и записывается в виде: , где л - интенсивность отказов.

Состояние СМО  характеризуется простаиванием  или занятостью ее канала, т.е. двумя  состояниями: S₀ - канал свободен и простаивает, S₁ - канал занят. Переход системы из состояния S₀ в состояние S₁ осуществляется под воздействием входящего потока заявок П_вх, а из состояния S₁ в состояние S₀ систему переводит поток обслуживании П_об: если в данный момент времени система находится в некотором состоянии, то с наступлением первого после данного момента времени СМО переходит в другое состояние. Плотности вероятностей перехода из состояния S₀ в S₁ и обратно равны соответственно л и µ. Граф состояний подобной СМО с двумя возможными состояниями приведен на рис.3.

Рис.3. Граф состояний  одноканальной СМО с отказами.

Для многоканальной СМО с отказами (n > 1) при тех  же условиях состояния системы обозначим  по числу занятых каналов (по числу  заявок, находящихся в системе  под обслуживанием, так как каждый канал в СМО либо свободен, либо обслуживает только одну заявку).

Таким образом, подобная СМО может находиться в  одном из следующих (n+1) состояний: s₀ - все n каналов свободны; s₁ - занят только один из каналов, остальные (n-1) каналов свободны; s_i - заняты i - каналов, (n-i) каналов свободны; s_n - заняты все n каналов. Граф состояний такой СМО приведен на рис.4.

Рис.4. Граф состояний  многоканальной СМО с отказами.

При этом имеет  место а 

Пользуясь общим  правилом составления дифференциальных уравнений Колмогорова, можно для приведенных на рис.2 и рис.3 графов состояний составить системы дифференциальных уравнений:

например, для  одноканальной СМО (рис.2) имеем:

для многоканальной СМО (рис.3) соответственно имеем:

Решив первую систему уравнений, можно найти значения p₀ (t) и p₁ (t) для одноканальной СМО и построить графики при трех случаях:

1) л >µ;

2) л=µ;

3) л<µ (рис.5 а, б, в). Можно также определить  предельную пропускную способность  СМО. Решение второй системы  уравнений для многоканальной СМО в аналитическом виде получить вручную сложно, и его обычно получают с помощью ЭВМ в численном виде.

Рис.5 а, б, в, г.

В целом, характеристики одноканальной СМО с отказами приведены ниже и особых пояснений  не требуют [17].

Таблица 1. Характеристики одноканальной СМО с отказами.

Характеристика в момент времени t	Обозначения, формулы
Вероятность того, что  канал свободен
Вероятность того, что  поступившая заявка будет принята  к обслуживанию
Вероятность занятости  канала
Вероятность отказа заявки
Относительная пропускная способность СМО (средняя доля обслуженных  заявок среди поступивших)
Абсолютная пропускная способность СМО (среднее число  обслуженных заявок за единицу времени)
Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок
Среднее время обслуживания заявок
Среднее время пребывания заявки в системе
Вероятность того, что  канал свободен
Вероятность того, что  поступившая заявка будет принята  к обслуживания
Вероятность занятности канала
Вероятность отказа заявке
Относительная пропускная способность СМО
Абсолютная пропускная способность СМО
Интенсивность выходящего потока Пвых обслуженных заявок
Среднее время обслуживания заявок
Среднее время пребывания заявки в системе

 

1.1.2.3.2 СМО  с ожиданием

Система массового  обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание - простейший поток с интенсивностью л. Интенсивность  потока обслуживания равна µ (т.е. в  среднем непрерывно занятый канал  будет выдавать µ обслуженных  заявок). Длительность обслуживания - случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

Предположим, что независимо от того, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), т.е. клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость. Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на рис.6.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.6. Граф состояний  одноканальной СМО с ожиданием

Состояния СМО  имеют следующую интерпретацию:

S₀ - канал свободен;

S₁ - канал занят (очереди нет);

S₂ - канал занят (одна заявка стоит в очереди);

S_n - канал занят (n-1 заявок стоит в очереди);

S_N - канал занят (N-1 заявок стоит в очереди).

Стационарный  процесс в данной системе будет  описываться следующей системой алгебраических уравнений:

(1.11)

где с=л/µ; n - номер  состояния.

Решение приведенной  выше системы уравнений (1.10) для нашей  модели СМО имеет вид:

(1.12)

(1.13)

Тогда

Следует отметить, что выполнение условия стационарности для данной СМО необязательно, поскольку число допускаемых в обслуживающую систему заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди (которая не может превышать N-1), а не соотношением между интенсивностями входного потока, т.е. не отношением л/µ=с. Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N-1): вероятность отказа в обслуживании заявки:

(1.14)

относительная пропускная способность системы:

(1.15)

абсолютная пропускная способность:

(1.16)

среднее число  находящихся в системе заявок:

(1.17)

среднее время  пребывания заявки в системе:

(1.18)

средняя продолжительность  пребывания клиента (заявки) в очереди:

(1.19)

среднее число  заявок (клиентов) в очереди (длина  очереди):

. (1.20) [2, 89 - 92].

Теперь рассмотрим более подробно СМО, имеющую n-каналов  с неограниченной очередью. Поток  заявок, поступающих в СМО, имеет  интенсивность л, а поток обслуживаний - интенсивность µ. Необходимо найти предельные вероятности состояний СМО и показатели ей эффективности.