Загальна характеристика моделей з розподіленим лагом

Введемо наступне позначення:

 

Формула 1.2.2

b0 + b1 + ... + bl = b

Величину b називають довгостроковим мультиплікатором. Він показивает абсолютна зміна в довгостроковому періоді t + l результата у під впливом зміни на 1 од. фактора х.

Припустимо

Формула 1.2.3

βj = bj / b, j = (0,1)

Назвемо отримані величини відносними коеффіціентамі моделі з розподіленим лагом. Якщо всі коефіцієнти bj мають однакові знаки, то для будь-якого j:

Формула 1.2.4

0 <βj <1 і Σ_ (j = 0) ^ l;〖βj = 1〗

У цьому випадку відносні коефіцієнти βj є весамі для відповідних коефіцієнтів bj. Кожен з них зміряє частку загальної зміни результативного ознаки в момент часу (t + j).

Знаючи величини βj, за допомогою стандартних формул можна визначити ще дві важливі характеристики моделі множественной регресії: величину середнього лага і медіанного лага. Середній лаг визначається за формулою середньої арифметичної взвешенной:

Формула 1.2.5

l ̅ = Σ_ (j = 0) ^ l;  (j : βj)

і являє собою середній період, протягом якого буде відбуватися зміна результату під впливом зміни фактора в момент часу t. Невелика величина середнього лага свідчить про відносно швидкому реагуванні результату на зміну фактора, тоді як високе його значення говорить про те, що вплив фактора на результат буде впливати протягом тривалого періоду часу. Медіанний лаг - це величина лага, для якого:

Формула  1.2.6

Σ_ (j = 0) ^ l; βj ≈ 0,5

Це той період часу, протягом якого з моменту часу t буде реалізована половина загального впливу фактора на результат.

 

1.3 Вивчення структури лага

Поточне і лагові значення факторної змінної оказують різне за силою вплив на результативну змінну моделі. Кількісно сила зв'язку між результатом і значенням факторной змінної, що відносяться до різних моментів часу, вимірюється за допомогою коефіцієнтів регрессіі при факторних змінних. Якщо побудувати графік залежності цих коефіцієнтів від величини лага, можна получити графічне зображення структури лага, або распределенія в часі впливу факторної змінної на результат. Основні її форми структури лага:

Рисунок 1.2.1: Графічне зображення структури лага

а - лінійна,

 б - геометрична,

 в - перевернута V-подібна,

г -, д -, е - поліноміальна

 

 

 

 

Якщо із зростанням величини лага коефіцієнти при лагових значеннях змінної зменшуються в часі, то має місце лінейная (її ще називають трикутною - рис.1 а)) або геометріческая структура лага (рис.1 б)). Якщо лагові впливу фактора на результат не мають тенденцію до спаданням під часові, то має місце один з варіантів, показаних на рис.1 в) - е). Структуру лага, зображену на рис.1 в), називають «перегорнутою» V-подібною структурою. Основна її особливість - симетричність лагових впливів щодо деякого середнього лага, який характеризується найбільш сильним впливом фактора на результат. Графіки, представлені на рис.1 г), д) і е) свідчать про полиномиальной структурі лага.

Графічний аналіз структури лага аналогічним чином можна проводити і за допомогою відносних коефіцієнтів регресії. Основні труднощі у виявленні структури лага полягає в тому, як отримати значення параметрів. У більшості випадків припущення про структуру лага засновані на загальних положеннях економічної теорії, на дослідженнях взаємозв'язку показників або на результатах проведених раніше емпіричних досліджень чи іншої апріорної інформації.

 

2 ЛАГИ АЛМОН

2.1 Лаги Алмон

Розглянемо загальну модель з розподіленим лагом, що має кінцеву, максимальну величину лага l, яку можна описати співвідношенням (1). Припустимо, було встановлено, що в досліджуваній моделі має місце поліноміальна структура лага, т. Е. Залежність коефіцієнтів регресії bi, від величини лага описується поліномом k-го ступеня. Окремим випадком поліноміальной структури лага є лінійна модель (рис.1 а)). Прикладами лагов, що утворюють поліном 2-го ступеня, є варіанти рис.1 г) і д). Перевернута V-подібна структура лага також може бути апроксимована за допомогою Полінома 2-го ступеня. Нарешті, графік, представлений на рис.1 е) є прикладом моделі лагов у формі полінома 3-го ступеня. Лаги, структуру яких можна описати за допомогою поліномів, називають також лагами Алмон, на ім'я Ширлі Алмон (1965), вперше звернувши увагу на таке подання лагов.

Формально модель залежності коефіцієнтів bj від велічі¬ни лага j у формі полінома можна записати в наступному вигляді:

• для полінома 1-го ступеня: bj = c0 + с1 j;

• для полінома 2-го ступеня bj = c0 + с1 j + с2j2;

• для полінома 3-го ступеня: bj = c0 + с1 j + с2j2 + с3j3 і т. Д.

У найбільш загальному вигляді для полінома k-го ступеня маємо:

Формула 2.1.1

bj = c0 + с1 j + с2j2 + ... + сk jk (2)

Тоді кожен з коефіцієнтів bj моделі (1) можна виразити наступним чином:

b0 = c0;

b1 = c0 + с1 + ... + сk;

b2 = c0 +2 з1 + 4с2 + ... + 2k сk;

b3 = c0 +3 з1 + 9с2 + ... + 3k сk; 

 і т. д.

b1 = c0 + l з1 + l 2С2 + ... + lk сk. (3)

Підставивши в (1) знайдені співвідношення для bj, отримаємо:

Формула 2.1.2

yt = а + c0 Хt + (С0 + с1 + ... + сk) * Хt-1, + (С0 + 2С1 + 4c2 + ... + 2k сk) * Хt-2 +

+ (С0 + 3С1 + 9c2 + ... + 3kсk) * Хt-3 + ... + (С0 + lс1 + l2c2 + ... + lkсk) * Хt-l + et. (4)

Перегруппіруем доданки в (4):

Формула 2.1.3

yt = а + c0 (Хt + Хt-1, + Хt-2 + ... Хt-l) + c1 (Хt-1, +2 Хt-2 + 3 Хt-3 ... l * Хt-l) + c2 (Хt -1, +4 Хt-2 + 9 Хt-3 ... l2 * Хt-l) + ... + ck (Хt-1, + 2k Хt-2 + 3k Хt-3 ... lk * Хt-l) + et. (5)

 

Позначимо доданки в дужках при ci, як нові змінні:

Формули 1.2.4

z0 = Хt + Хt - 1, + х t - 2 + ... + х t - l =;

z1 = х t -1 +2 х t - 2 +3 х t - 3 + ... + l х t - l =;

z2 = х t - 1 +4 х t - 2 +9 х t - 3 + ... + l 2 х t - l =;

......................................................... (6)

zk = х t - 1 +2 k х t - 2 +3 k х t - 3 + ... + lk х t - l =;

 

Перепишемо модель (5) з урахуванням співвідношень (6):

Формула 1.2.6

yt = а + c0 z0 + c1 z1 + c2 z2 + ... + ck zk + et. (7)           

 

 

 2.2 Процедура застосування методу Алмон для розрахунку параметрів моделі з розподіленим лагом виглядає наступним чином:

1. Визначається максимальна величина лага l.
2. Визначається ступінь полінома k, що описує структуру лага.
3. За співвідношенням (6) розраховуються значення змінних z0 ... zk
4. Визначаються параметри рівняння лінійної регресії (7).
5. За допомогою співвідношень (3) розраховуються параметри вихідної моделі з розподіленим лагом.

Застосування методу Алмон пов'язане з рядом проблем.

По-перше, величина лага l повинна бути відома заздалегідь. При її визначенні краще виходити з максимально можливого лага, ніж обмежуватися лагами невеликої довжини. Вибір меншого лага, ніж його реальне значення, призведе до того, що в моделі регресії НЕ буде врахований фактор, що робить значний вплив на результат, т. Е. До невірної специфікації моделі. Вплив цього фактора в такій моделі буде виражено в остатках. Вибір більшої величини лага в порівнянні з її реальним значенням буде означать включення в модель статистично незначного фактора і зниження ефективності отриманих оцінок, проте ці оцінки все ж будуть незміщеними.

Існує кілька практичних підходів до визначення реальної величини лага, наприклад, побудова кількох рівнянь регресії і вибір найкращого з цих рівнянь або застосування формальних критеріїв, наприклад критерію Шварца. Однак найбільш простим способом є вимірювання тісноти зв'язку між результатом і лагів значеннями фактора.

По-друге, необхідно встановити ступінь полінома k. Зазвичай на практиці обмежуються розглядом полиномов 2-й і 3-го ступеня, застосовуючи наступне просте правило: вибранная ступінь полінома k повинна бути на одиницю більше числа екстремумів в структурі лага. Якщо інформацію про структуру лага отримати неможливо, величину k найпростіше визначити шляхом порівняння моделей, побудованих для різних значень k, і вибору найкращої моделі.

По-третє, змінні z, які визначаються як лінійні комбінації вихідних змінних х, будуть корелювати між собою у випадках, коли спостерігається висока зв'язок між самими вихідними змінними. Тому оцінку параметрів моделі (7) доводиться проводити в умовах мультиколінеарності факторів. Однак мультиколінеарності факторів z0 ... zk в моделі (7) позначається на оцінках параметрів b0 ... bl в дещо меншій мірі, ніж якби ці оцінки були получени шляхом застосування методу найменших квадратів безпосередньо до мо¬делі (1) в умовах мультиколінеарності факторів Хt , ..., Хt-l. Це пов'язано з тим, що в моделі (7) мультиколінеарності веде до зниження ефективності оцінок С0, ..., сk, тому кожен з параметрів b0 ... bl, які визначаються як лінійні комбінаціі оцінок С0, ..., сk , буде являти собою більш точну оцінку.

Метод Алмон має дві незаперечні переваги.

o Він досить універсальний  і може бути застосований для моделювання процесів, які характеризуються різноманітними структурами лагов.

o При відносно невеликій  кількості змінних в (7) (зазвичай  вибирають k = 2 або k = 3), яка не призводить до втрати значного числа ступенів свободи, за допомогою методу Алмон можна побудувати моделі з розподіленним лагом будь-якої довжини .

 

3 ПРАКТИЧНЕ ЗАСТОСУВАННЯ, ПОБУДОВА МОДЕЛІЗ РОЗПОДІЛЕНИМ ЛАГОМ

 

3.1 Оценка моделей с лагами в независимых               переменных

 

1. Метод послідовного збільшення кількості лагів

За даним методом рівняння рекомендується оцінювати з послідовно зростаючою кількістю лагів. Ознаками завершення процедури збільшення кількості лагів можуть бути такі:

• при додаванні нового лага який-небудь коефіцієнт регресії при змінної змінює знак. Тоді в рівнянні регресії залишають змінні ,, коефіцієнти при яких знак не поміняли;

• при додаванні нового лага коефіцієнт регресії при змінної стає статистично незначущим. в рівнянні будуть використовуватися тільки змінні, коефіцієнти при яких залишаються статистично значущими.

Застосування методу послідовного збільшення кількості лагів вельми обмежена в силу постійно зменшується числа ступенів свободи, що супроводжується збільшенням стандартних помилок і погіршенням якості оцінок, а також можливості мультіколлінеарності. Крім того, при неправильному визначенні числа лагов можливі помилки специфікації.

2. Метод геометричній  прогресії (метод Койка)

У розподілі Ліжко передбачається, що коефіцієнти («ваги») при лагових значеннях пояснюватиме змінної зменшуються в геометричній прогресії:

Формула 3.1.1

(7.5)

де характеризує швидкість убування коефіцієнтів із збільшенням лага (з віддаленням від моменту аналізу). Таке припущення досить логічно, якщо вважати, що вплив минулих значень пояснюють змінних на поточне значення залежної змінної буде тим менше, чим далі повремени ці показники мали місце.

В даному випадку перетвориться в:

Параметри рівняння можна визначати різними способами.

• Одним з них є перебір значень з інтервалу (0; 1) з довільним фіксованим кроком (наприклад, 0,01; 0,001 та ін.). Для кожного розраховується:

Формула 3.1.2

(7.7)

Значення визначається з умови, що при подальшому додаванні лагових значень величина зміни менш будь-якого раніше заданого числа.

Далі оцінюється рівняння регресії:

Формула 3.1.3

(7.8)

З усіх можливих значень вибирається те, при якому коефіцієнт детермінації для рівняння (7.8) буде найбільшим. Знайдені при цьому параметри підставляються в (7.6).

• Більш поширеною є схема обчислень на основі перетворення Койка. Для цього визначимо рівняння (7.6), помножене на і обчислене для попереднього періоду часу:

Формула 3.1.4

(7.9)

З рівняння (7.6) віднімемо рівняння (7.9):

Формула 3.1.5

(7.10)

де - змінна середня між і.

Перетворення за цим методом рівняння (7.3) в рівняння (7.10) називається перетворенням Ліжко. Таким чином, за допомогою даного перетворення рівняння з нескінченним числом лагів зведено до авторегресійної, для якого потрібно визначити всього три коефіцієнта:.

інтегральний Лагові ефект, що спостерігається в системі, може бути представлений як сукупність ефектів, що викликаються окремими циклами. Аналогічно утворюється Лагові ефект всередині кожного з них за рахунок ефектів, що викликаються окремими подцікламі.Следовательно, сукупний ефект, що виникає в системі, може бути розкладений на складові, якщо підцикли належним чином доповнити характеристиками циклів, в які вони входять. У цьому випадку Лагові ефект, утворений підциклів, можна розкласти на три складові:

1. ефект, пов'язаний із затримкою (випередженням) почала циклу щодо початкової для лаговой системи точки відліку часу;
2. ефект, обумовлений затримкою початку подцикла щодо початку того циклу, в який даний підцикл входить безпосередньо;
3. власний ефект подцикла (утворюється всередині нього).

Вочевидь, наведені вище характеристики тимчасового лага самі по собі порівняно легко піддаються змістовної інтерпретації в термінах динаміки розвитку лагових систем, коли останні трактуються як "місця" спільної "життєдіяльності" поколінь. Однак словесний опис взаємодії цих поколінь і обумовленого ним механізму утворення лагового ефекту залишається досить складним для сприйняття. Потрібні додаткові кошти опису, що полегшують розуміння цього процесу і допомагають надалі здійснити перехід до його моделюванню і регулюванню. Зокрема, для цього можна використовувати наочну графічну модель.

Але навіть найпростіша графічна модель такого роду, як показали наші дослідження, слабо піддається інтерпретації, якщо вона виконана в рамках однієї якої-небудь схеми. Для наочності загальної картини, що відбиває вплив фактора запізнювання на перебіг лагових процесів, доводиться використовувати принаймні серію досить складних схем.