Типы экспериментов

|b|≥S_b*t,

где  |b|- модуль рассчитанного коэффициента регрессии,

t – значение критерия Стьюдента, при числе опытов в центре плана n₀ = 3 число степеней свободы f = 2 при уровне значимости α = 0,05, тогда t = 4,30,

S_b – дисперсия коэффициентов регрессии,

S_b² = S_B²/N,

S_B – дисперсия воспроизводимости опытов,

S_B² = ,

n₀ – число опытов в центре плана,

y_0k –значение переменной отклика в центре плана,

y₀ – среднее значение переменной отклика в центре плана.

Рассчитаем  среднее значение переменной отклика  из опытов в центре плана:

y₀ =(52,3 + 52,15 + 51,65)/3 = 52,033

S_B² =[(52,3 – 52,033)² + (52,15 – 52,033)²+ (51,65 – 52,033)²]/(3-1) = 0,116

S_b² =0,116/8 = 0,0145

S_b = =0,12

Из формулы (5)  расчетное значение критерия Стьюдента равно t_pi =|b_i|/ S_b.

Его сравниваем с теоретическим значением t_pi ≥ t_Т. Тогда :

t_p0 =464,5833 > 4,3 –коэффициент значим;

t_p1 =19,2708 > 4,3 –коэффициент значим;

t_p2 =22,9167 > 4,3 –коэффициент значим;

t_p3 =1,7708 < 4,3 – коэффициент не значим;

t_p12=3,2292 < 4,3 – коэффициент не значим;

t_p23=7,3958 > 4,3 –коэффициент значим;

t_p13 =0,625 < 4,3 – коэффициент не значим.

Запишем уравнение регрессии с учетом значимых коэффициентов:

y =55,75 – 2,3125x₁ - 2,75x₂– 0,8875x₂x₃.

Переведем полученное уравнение регрессии  в натуральные величины. Для этого  воспользуемся исходной таблицей данных:

Таблица 4. Основные характеристики плана эксперимента

Уровни факторов	X1	X2	X3
Верхний фактор	16	10	800
Нижний фактор	12	5	400

 

Физические (натуральные) переменные найдем по формулам:

x_i =(X_i – X_i0)/∆X_i0,

где x_i – кодированное значение фактора;

X_i0 – натуральное значение фактора на нулевом уровне;

X_i – натуральное значение фактора;

∆X_i0 – интервал варьирования фактора.

Найдем  натуральное значение фактора на нулевом уровне:

X_i0 = (X_iB + X_iH)/2,

где  X_iB – значение верхнего фактора;

X_iH – значение нижнего фактора.

X₀₁ =(16 + 12)/2 =14;

X₀₂ =(10 + 5)/2 =7,5;

X₀₃ =(800 + 400)/2 = 600.

Найдем  интервал варьирования фактора:

∆X_i0 = (X_iB - X_iH)/2,

∆X₀₁ =(16 – 12)/2 =2;

 ∆X₀₂ =(10 – 5)/2 =2,5;

 ∆X₀₃ =(800 – 400)/2 =200.

Тогда физические (натуральные) переменные примут вид:

X₁ =(x₁ – 14)/2;

X₂ =(x₂ – 7,5)/2,5;

X₃ =(x₃ – 600)/200.

Подставляя  эти величины в уравнение регрессии  и преобразовывая его, получим уравнение  регрессии в физических (натуральных) величинах:

y = 72,2 – 1,156x₁ – 0,035x₂ + 0,013x₃ – 0,002x₂ x₃.

Уравнение регрессии считается адекватным, если выполняется условие:

F_р ≤F_т,

где F_т – табличное значение критерия Фишера;

F_р – расчетное значение критерия Фишера.

Табличное значение критерия Фишера F_т при уровне значимости α=0,05 зависит от числа степеней свободы дисперсии адекватности

f_ад = n₀ -1,

где n₀ - число опытов в центре плана, n₀ = 3.

f_ад = 8 – 5 = 3,

f_в = 3 - 1 = 2.

Тогда F_т = 19,164.

Расчетное значение критерия Фишера F_р находится по формуле:

,

где y_u – экспериментальное значение функции отклика;

y_u – расчетное значение переменной отклика в U–м опыте, определенном при подстановке в уравнение регрессии.

Для удобства расчета составим таблицу, в которую  занесем экспериментальное и расчетное значения функции отклика с учетом значений факторов.

y₁ =55,75 + 2,3125 + 2,75 – 0,8875 = 59,925;

y₂ =55,75 – 2,3125 + 2,75 – 0,8875 = 55,3;

y₃ =55,75 + 2,3125 - 2,75 + 0,8875 = 56,2;

y₄ =55,75 – 2,3125 - 2,75+ 0,8875 = 51,575;

y₅ =55,75 + 2,3125 + 2,75 + 0,8875 =61,7;

y₆ =55,75 – 2,3125 + 2,75 + 0,8875 = 57,075;

y₇ =55,75 + 2,3125 - 2,75– 0,8875 = 54,425;

y₈ =55,75 - 2,3125 - 2,75– 0,8875 = 49,8.

 

Таблица 5. Результаты расчетов

№	yu	x1	x2	x3	yu
1	58,65	-1	-1	-1	59,925
2	56,15	+1	-1	-1	55,3
3	57,20	-1	+1	-1	56,2
4	50,15	+1	+1	-1	51,575
5	62,20	-1	-1	+1	61,7
6	57,00	+1	-1	+1	57,075
7	54,20	-1	+1	+1	54,425
8	50,45	+1	+1	+1	49,8

 

По данным таблицы 5, пользуясь формулой, найдем значение дисперсии оценки адекватности:

S_АД² = [(58,65 – 59,925)² + (56,15 – 55,3)² +(57,20 – 56,2)² + (50,15 – 51,575)² +(62,20 – 61,7)² +(57,00 – 57,075)² + (54,20 – 54,425)² +(50,45 – 49,8)²]/(8-5) = = 2,037

Тогда расчетный  критерий Фишера равен:

F_p= S_АД²/ S_B² = 2,037/0,116 = 17,56

Проверяем условие адекватности: 17,56 < 19,164 , значит, уравнение регрессии считаем  адекватным.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы

1. Адлер  Ю.П. Планирование эксперимента  при поиске оптимальных условий.  – М.: Наука, 1971. – 283 с.

2. Налимов  В.В. Статистические методы описания  химических и металлургических процессов. – М.: Металлургиздат, 1963. – 60с.

3. Налимов  В.В. Теория эксперимента.- М.: Наука, 1971. – 208с.

4. Брейсуэлл Р. Преобразование Хартли. Теория и приложения. – М.: Мир, 1990. – 342с.