Типы экспериментов

Функция f(τ) может быть дискретным представлением исходного непрерывного колебания или функцией переменной, дискретной по своей природе.

Дискретное  преобразование Хартли (ДПХ) вещественной функции f(τ) и соответствующее обратное преобразование определяются соотношениями

                

где, как и выше, используется обозначение  cas θ= cos θ + sin θ, введенное Хартли.

Для получения обратного ДПХ  воспользуемся свойством ортогональности

Подставляя величину  определяющую преобразование H(v), в выражение   получим

,

что подтверждает справедливость обратного  преобразования.

Коэффициент в ДПХ заимствуется из практики использования ДПФ, для которого величина F (0) равна постоянной составляющей функции ; другими словами, ДПХ является симметричной процедурой. Кроме этого, ДПХ является вещественным преобразованием, так как вещественной является функция .

Физический смысл величин  τ и ν

Переменная τ интерпретируется как время, а дискретная переменная ν - как частота; однако следует помнить две особенности. Если в качестве единицы времени t принята секунда, т. е. временной интервал между последовательными элементами временного ряда равен 1 с, то частота равна ν /N [Гц], а не ν, следовательно, частотный интервал между соседними элементами последовательности H(v) равен [Гц]. По мере увеличения ν возрастает соответствующая частота, но только до значения ν  = N/2; при дальнейшем росте величины ν соответствующая ей частота становится равной (N - ν)/N,  обращаясь в нуль при ν  = N.

Чётная и нечётная составляющие

Как в случае непрерывного преобразования, ДПХ имеет чётную и нечетную компоненты

,

однако  должны быть высказаны некоторые  соображения в отношении определений в силу принятого ограничения диапазона изменения ν от 0 до N - 1. Общепринятый способ учета этого ограничения заключается в присвоении функции вне области ее определения таких значений, чтобы сформировать циклическую (периодическую) функцию с периодом N. Таким образом, для ν = -1 мы присваиваем функции значение H(N - 1), так как ν = -1 и ν = N - 1 разделены периодом длины N. В общем случае будем присваивать функции Н(-ν), где -N ν -1, значения H(N-ν) для которых независимая переменная заключена в основном диапазоне изменения ν. С помощью данной процедуры мы приходим к более простому соотношению между ν и частотой: можно сказать, что ν/N представляет собой не что иное, как частоту в герцах в диапазоне -N/2<ν<N/2. Получим также соотношения для четной и нечетной составляющих, согласующиеся с равенствами, приведенными выше. Таким образом, имеем

Рассмотрим чётную и нечётную составляющие ДПХ  на примере биномиального  импульса (см. ниже)

Из определения  F(ν) для ДПФ очевидно, что F(ν) может быть получено с использованием четной и нечетной составляющих ДПХ:       F(ν) = E(ν)-iO(ν).

С другой стороны, если мы располагаем преобразованием  F(ν), то можно сформировать H(ν):  H(ν) = ReF(ν)-ImF(ν).

Эти выражения имеют сходство с  соотношениями, полученными выше для непрерывного преобразования.

 

 

 

 

1.4.Метод Марквардта

 Это  комбинация методов Ньютона и  Коши. Вдали от точки минимума  направление определяется по  методу Коши, а в окрестности  точки минимума – по методу  Ньютона.  ,

 где:         H(k) – матрица Гессе (вторых  производных; 

                 I – единичная матрица; 

                  – параметр, определяющий направление поиска и длину шага.

 При  этом в формуле  .

 На  начальном этапе  , при этом второй член в много больше первого, поэтому поиск осуществляется по методу Коши. По мере приближения к точке оптимума уменьшается и стремится к нулю. Таким образом вблизи точки оптимума первый член много больше второго и поиск осуществляется по методу Ньютона.

 Если  после первого шага f(x⁽¹⁾)< f(x⁽⁰⁾), то следует выбрать   и реализовать следующий шаг, в противном случае , гд е  и повторить предыдущий шаг.

 Алгоритм.

1.     Задать x₀ – начальное приближение, M – максимальное количество итераций, N – количество переменных и - параметр сходимости.

2.     При k=0 

3.     Вычислить компоненты вектора .

4.     Если , то x_k=x* иначе, если , то x_k=x*. Перейти к п. 5.

5.     Вычислить S^(k).

 6.     Вычислить x(^k+1)= x^(k)+S^(k)

 7.     Если f(x^(K+1))> f(x^(k)), то перейти к п. 9, иначе перейти к п. 8.

8.     Положить  , k=k+1, перейти к п. 3.

9.     Положить , перейти к п. 5.

Достоинства метода:

 ·         простота;

 ·         убывание целевой функции; 

 ·         быстрая сходимость как вдали  от точки оптимума, так и вблизи  неё: 

 ·         отсутствие поиска вдоль прямой.

  Недостаток:

 ·         необходимость вычисления матрицы  Гессе на каждой итерации.

 Вычислительные  эксперименты показали, что метод  наиболее эффективен для функций вида суммы квадратов: .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.1.Задание 1

В результате эксперимента получена таблица значений несущей способности Р, МН, в зависимости от предельного нормального напряжения σ, МПа:

Таблица 1. Исходные данные

σ	20	60	100	120	150	180	200
Р	11	10,2	10	9,6	9,2	8,5	8,2

Методом наименьших квадратов найти аналитическую  зависимость Р=f(σ).

Определить  несущую способность Р, если напряжение равно 80 МПа.

 

Решение

1.приведем  уравнение регрессии к линейному  виду. Задано следующее уравнение  регрессии:

y=a*b^x.

Для приведения зависимости к линейному виду сначала прологарифмируем обе части уравнения:

ln(y) = ln(a) +xln(b).

введем обозначения: y = ln(y); a₀ = ln(a); a₁ = ln(b). дальнейшие преобразования и результаты расчетов будем вносить в таблицу 2.

Преобразуем входные величины для каждого  из опытов, результаты внесем во второй и третий столбцы таблицы 2. Найдем необходимые для последующего решения величины ( столбцы 4 – 5 таблицы 2).

Найдем  средние значения для величин:

x = ∑x_i/n=66,7/7 = 9,529

y = ∑y_i/n=31,984/7 = 4,569

, где x_i, y_i – преобразованные входные величины,

n – количество измерений.

Найдем  отклонения исходных величин от средних, заполним столбцы 6,8 таблицы 2 и возведем отклонения в квадрат ( столбцы 7 и 9 таблицы 2).

Рассчитаем  столбец 10 таблицы 2.

Параметры уравнения регрессии находятся  по формулам:

a₀ = = 11,691

a₁ = = -0,747

Согласно  формулам преобразования коэффициентов  уравнения регрессии a = exp(a₀);  b = exp(a₁).

Тогда a=119491,438 ;b=0,474 .

Учитывая  полученные коэффициенты, запишем уравнение  регрессии в линейной форме:

y= 11,691 – 0,747x.

Для оценки связи двух величин используется коэффициент корреляции :

r = = -0,992

Так как  r ≈ -1, то связь величин близка к линейной.

С учетом полученных коэффициентов исходная функция примет вид:

y = 119491,438*0,474^х

Подставляя  в полученную функцию исходные значения x, найдем соответствующие значения зависимой переменной y_р, найдем отклонения расчетного значения зависимой переменной от исходного ( заполним столбцы 11 и 12 таблицы 2).

y_p1= 119491,438*0,474¹¹=33,426

y_p2= 119491,438*0,474^10,2=58,922

y_p3= 119491,438*0,474¹⁰=68,410

y_p4= 119491,438*0,474^9,6=92,217

y_p5= 119491,438*0,474^9,2=124,308

y_p6= 119491,438*0,474^8,5=208,630

y_p7= 119491,438*0,474^8,2=262,252

Для выбора наилучшего уровня регрессии вычислим среднеквадратичное отклонение экспериментальных и расчетных значений функции, которое рассчитывается по формуле:

σ = = 32,38

Определим несущую способность Р, если напряжение равно 80 МПа:

80 = 119491,438*0,474^х;

х = 9,8 (МН).

Выразим графически уравнение регрессии  исходных и экспериментальных данных ( рисунок 1).

Рисунок 1. График уравнения регрессии  исходных и экспериментальных данных

 

 

 

Таблица 2. Результаты расчета

№	xi	yi	xi’= xi	yi’=ln(yi)	(xi’)2	xi’* ln(yi)	xi-x	(xi-x)2	yi-y	(yi-y)2	(xi-x)* ( yi-y)	yp	y1- yp
1	11	20	11	2,996	121	32,956	1,471	2,164	-1,573	2,474	-2,314	32,426	-12,426
2	10,2	60	10,2	4,094	104,04	41,759	0,671	0,45	-0,475	0,226	-0,319	58,922	1,078
3	10	100	10	4,605	100	46,05	0,471	0,222	0,036	0,0013	0,017	68,410	31,59
4	9,6	120	9,6	4,787	92,16	45,995	0,071	0,005	0,218	0,048	0,015	92,217	27,783
5	9,2	150	9,2	5,011	84,64	46,101	-0,329	0,108	0,442	0,195	-0,145	124,308	25,692
6	8,5	180	8,5	5,193	72,25	44,141	-1,029	1,059	0,624	0,389	-0,642	209,63	-29,63
7	8,2	200	8,2	5,298	67,24	43,444	-1,329	1,766	0,729	0,531	-0,969	262,252	-62,252
∑			66,7	31,984	641,33	300,446		5,774		3,864	-4,357

 

 

2.2.Задание 2

Для лабораторной молотковой дробилки установить зависимость  между содержанием в измельченном угле фракций менее 3 мм (z = y,%) и определяющими факторами X₁ –шириной щели решетки (b), мм;  X₂ – влажностью измельченного угля(v),%; X₃ – частотой вращения ротора (n), мин^-1.

Таблица 3.Матрица планирования и результаты экспериментов

№ опыта	X1	X2	X3	Y
1	-1	-1	-1	58,65
2	+1	-1	-1	56,15
3	-1	+1	-1	57,20
4	+1	+1	-1	50,15
5	-1	-1	+1	62,20
6	+1	-1	+1	57,00
7	-1	+1	+1	54,20
8	+1	+1	+1	50,45
9	0	0	0	52,30
10	0	0	0	52,15
11	0	0	0	51,65

 

Уравнение регрессии имеет вид:

y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃ + b₁₂x₁x₂ + b₂₃x₂x₃ + b₁₃x₁x₃.

Вычисляем коэффициенты уравнения регрессии.

b₀ = ,

где b₀ – свободный член;

n=8- количество опытов;

y_j – значение переменной отклика для опыта i;

b₀ = (58,65 + 56,15 + 57,20 + 50,15 + 62,20 + 57,00 + 54,20 + 50,45)/8 = 55,75

b_i = ,

x_ij – фактор;

b₁=(-58,65 + 56,15 - 57,20 + 50,15 - 62,20 + 57,00 - 54,20 + 50,45)/8 = -2,3125

b₂ =(-58,65 - 56,15 + 57,20 + 50,15 - 62,20 - 57,00 + 54,20 + 50,45)/8 = -2,75

b₃ =( -58,65 - 56,15 - 57,20 - 50,15 + 62,20 + 57,00 + 54,20 + 50,45)/8 = 0,2125

b_ij = ,

 

b₁₂ =( 58,65 - 56,15 - 57,20 + 50,15 + 62,20 - 57,00 - 54,20 + 50,45)/8 = 0,3875

b₂₃ =( 58,65 + 56,15 - 57,20 - 50,15 - 62,20 - 57,00 + 54,20 + 50,45)/8 = -0,8875

b₁₃ =( 58,65 - 56,15 + 57,20 - 50,15 - 62,20 + 57,00 - 54,20 + 50,45)/8 = 0,075

Запишем уравнение регрессии с учетом полученных коэффициентов:

y =55,75 – 2,3125x₁ - 2,75x₂ + 0,2125x₃ + 0,3875x₁x₂ – 0,8875x₂x₃ + 0,075x₁x₃.

Проверим  значимость коэффициентов регрессии. Коэффициент регрессии значим, если выполняется условие: