Сопротивление материалов

На участке KB эпюра изображается прямой, параллельной оси балки, так как поперечная сила не зависит от переменной z.

Рис. 6.2

 

Изгибающий момент M в произвольном поперечном сечении балки равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, приложенных с одной стороны от этого сечения, относительно его центра тяжести. При этом внешняя сила (или момент m), изгибающая балку выпуклостью вниз (рис. 6.3, а) вызывает положительный изгибающий момент. В результате нижние волокна балки растянуты, верхние –  сжаты. Если выпуклость обращена вверх (рис. 6.3, б), то возникает отрицательный  изгибающий момент.

Эпюра M, представленная на рис. 6.1, в, построена по следующим характерным ординатам:

через левые  силы

M_A = 0,  

M_D^лев = V_A a – q a² / 2 = 36,6 · 3 – 13 · 3² / 2 = 51,3 кН·м,

M_D^пр = M_D^лев + m = 51,3 + 21 = 72,3 кН·м;

через правые силы

M_K = V_B c = 29,7 · 1,3 = 38,6 кН·м,   

M_B = 0.

При расчете изгибаемых элементов  строительных конструкций эпюру M строят со стороны растянутых волокон, то есть положительные ординаты откладывают вниз от оси балки, а отрицательные вверх.

Рис. 6.3

На участках AD и DK эпюра представляет собой квадратную параболу, потому что изгибающий момент функционально зависит от z². При z = z₀ эта функция достигает экстремума (вершина параболы), поскольку первая производная dM / dz = Q обращается в нуль. Таким образом, выявляется еще одна характерная ордината:

M(z₀) = V_A z₀ – q z₀² / 2 = 36,6 · 2,815 – 13 · 2,815² / 2 = 51,5 кН·м.

В сечении D, где приложен внешний момент m, функция изгибающего момента терпит разрыв и на эпюре возникает скачок, равный величине m и откладываемый в соответствии с введенным правилом знаков. Чтобы не потерять из поля зрения этот скачок, указанное сечение необходимо рассмотреть дважды: не доходя до него и переходя. Поэтому индексы “лев” и “пр”  означают, что момент вычислен не в самом сечении D, а на бесконечно малом удалении соответственно влево и вправо от него.

Ветви параболы в месте разрыва равнонаклонены к оси балки, о чем свидетельствует параллельность пунктирных касательных.

 На ненагруженном участке изгибающий момент линейно зависит от абсциссы z. В сечении K парабола плавно (без излома) сопрягается с наклонной прямой KB.

в) Подбор сечения и построение эпюр напряжений. Судя по эпюре M, опасным с точки зрения нормальных напряжений является сечение  D справа, где возникает наибольший изгибающий момент M_max = 72,3 кН·м = 72,3·10³ Н·м. Требуемый осевой момент сопротивления сечения балки определяется из неравенства

W_x ³ M_max / R = 72,3·10³ / (240·10⁶) = 301·10^-6 м³ = 301 см³.

По таблице сортамента (см. [2], прил. 1) принимаем ближайший двутавр № 27, имеющий следующие геометрические характеристики: W_x = 371 см³ > 301 см³;  S_x = 210 см³;  J_x = 5010 см⁴; h = 27 см; d =0,6 см;  b = 12,5 см; t = 0,98 см (рис. 6.4, а).

Нормальные напряжения меняются  по высоте сечения линейным образом (рис. 6.4, б) от нуля на уровне нейтральной линии (оси x) до наибольшего абсолютного значения в крайних волокнах

s_max = M_max / W_x = 72,3·10³ / (371·10^-6) = 195·10⁶ Па = 195 МПа.

Опасным  с точки зрения касательных напряжений является опорное сечение A,  где возникает наибольшая поперечная сила Q_max = 36,6 кН. Эпюра t в стенке двутавра складывается из прямоугольной эпюры постоянных напряжений t₁ и параболической эпюры напряжений t₂ (рис. 6.4, в). Согласно формуле Журавского

где статический  момент площади сечения полки относительно нейтральной линии (без учета закруглений)

S_1x = b t (h − t) /2 = 12,5 · 0,98  (27 – 0,98) / 2 = 159 см³.

Максимальные касательные напряжения t_max = t₁ + t_2max возникают на уровне нейтральной линии:

Рис. 6.4

2. Б а л к а «Б» (рис. 6.5, а)

 Дано: a = 3,0 м, b = 2,1 м,  d = 2,4 м;  q = 13 кН/м,  F = 43 кН.

 

Рис. 6.5

Решение.

а) Определение опорных реакций. По аналогии с предыдущей балкой (см. п. 1)  

П р о в е р к а :  ∑Y = V_A + V_B −F – q(b + d) = 16 + 85,5 −43 – 13 · 4,5 = 101,5 – 101,5 = 0.

б) Построение эпюр Q и M. Через левые силы имеем:

Q_A = Q_D^лев = V_A = 16 кН;  

Q_D^пр = Q_D^лев – F = 16 − 43 = - 27 кН;

через правые силы:

Q_K = 0;

Q_B^пр = q d = 13 · 2,4 = 31,2 кН;

Q_B^лев = Q_B^пр − V_B = 31,2 − 85,5  = - 54,3 кН.

Эпюра Q  построена по найденным ординатам на рис. 6.5, б. В сечении D, под сосредоточенной силой F, она имеет скачок, равный этой силе и откладываемый в сторону ее действия (вниз) при направлении слева направо или в противоположную сторону при направлении справа налево. Скачки на опорах соответствуют реакциям V_A и V_B.

На участках DB и BK, под равномерно распределенной нагрузкой, угол наклона ветвей эпюры α - одинаковый, поскольку первая производная dQ / dz =  - q = const.

 Ординаты эпюры M (рис. 6.5, в):

M_A = M_K = 0;  

M_D = V_A a = 16 · 3 = 48 кН·м;

M_B = - q d² / 2 = - 13 · 2,4² / 2 = - 37,4 кН·м.

Под сосредоточенной силой эпюра имеет излом, острием обращенный вниз, в сторону действия сиды. 

На участке DB эпюра, является параболой, у которой на этом участке нет вершины. Для построения кривой вычисляем ординату в промежуточном сечении C посередине участка:

На консоли BK эпюра представляет собой параболу с вершиной в точке K.

б) Подбор сечения. Опасным является сечение D: M_max = M_D = 48 кН·м.

Требуемый осевой момент сопротивления  сечения балки 

W_x ³ M_max / R = 48·10³ / (240·10⁶) = 200·10^-6 м³ = 200 см³.

По таблице сортамента (см. [2], прил. 2) принимаем двутавр № 23Б1, имеющий ближайший больший момент сопротивления W_x = 260,5 см³.

3. Б а л к а «В» (рис. 6.6, а)

Дано: a = 3,0 м, b = 2,1 м, c = 1,3 м, d = 2,4 м; q = 13 кН/м,  F = 43 кН,  m = 21 кН·м.

 

 

Рис. 6.6

Решение.

  а) Определение опорных реакций:

П р о в е р к а : ∑Y = V_A + V_B − F − q(a + b + 0,5d) = 53,14 + 71,76 − 43 − 13 · 6,3 = 124,9 - 124,9 = 0.

 

б) Построение эпюр Q и M (рис. 6.6, б и в). Через левые силы:

Q_H = Q_A^лев = 0;   

Q_A^пр = V_A = 53,14 кН;

Q_D^лев = V_A − q a = 53,14 − 13 · 3,0 = 14,14 кН;

Q_D^пр = Q_D^лев − F = 14,14 − 43 = -28,86 кН.

Через правые силы:

     Q_K = 0;

     Q_B^пр = q·0,5d = 13 · 1,2 = 15,6 кН;

Q_B^лев = Q_B^пр −V_B = 15,6 − 71,76 = - 56,16 кН.

Эпюра Q представлена на рис. 6.6, б. Она состоит из прямых, одинаково наклоненных к оси (q = const). На участках AD и DB эпюра не пересекает ось, поэтому при построении параболической эпюры M необходимо рассмотреть промежуточные сечения E и C в середине обоих участков. На участке BK вершина параболы совпадает с точкой K (Q_K =0).

Ординаты эпюры М через левые силы:

M_H = M_A = -m = -13 кН;

M_E = - m + V_A ·0,5a − q(0,5a)² / 2 = - 21 + 53,14 · 1,5 − 13 · 1,5² / 2 = 44,1 кН·м;

M_D = - m + V_A a − qa² / 2 = - 21 + 53,14 · 3 − 13 · 3² / 2 = 79,9 кН·м. 

Через правые силы:

  M_K = 0;

  M_B = - q(0,5d)² / 2 = - 13 · 1,2² / 2 = - 9,36 кН·м;

M_C = - q(0,5b + 0,5d)² / 2 + V_B·0,5b = -13 · 2,25² / 2 + 71,76 · 1,05 = 42,4 кН·м;

контрольный пересчет в сечении D:

M_D = - q(b + 0,5d)² / 2 + V_B b = -13(2,1+ 1,2)² / 2 + 71,76 · 2,1 = 79,9 кН·м.

Эпюра M построена на рис. 6.6, в. В сечениях A, D и B, где приложены сосредоточенные внешние силы, эпюра Q имеет скачки (разрывы), а эпюра M − изломы.

в) Подбор сечения. Опасным является сечение D: M_max = M_D = 79,9 кН·м.

Требуемый осевой момент сопротивления сечения двух швеллеров

W_2[ ³ M_max / R = 79,9 ·10³ / (240·10⁶) = 333·10^-6 м³ = 333 см³,

одного швелллера

W_[ = W_2[ / 2  ³  333 / 2 = 166,5 см³.

По таблице сортамента (см. [2], прил. 3) принимаем два швеллера № 22 с моментом сопротивления   W_x = 2 · 192 = 384 см³ > 333 см³.

г) Построение эпюр Q и M от каждой нагрузки в отдельности. 1) Сосредоточенная сила F (рис. 6.7, а).

Опорные реакции:

Sm_B = 0;   V_A(a + b) −F b = 0,   V_A = F b / (a+b) = 43 · 2,1 / (3+2,1) = 17,7 кН;

Sm_A = 0;   F a − V_B(a + b) = 0,   V_B = F a / (a+b) = 43 · 3 / 5,1 =25,3 кН.

Проверка:  SY = V_A + V_B − F = 17,7 + 25,3 − 43 = 0.

Эпюра Q (рис. 6.7, б):

Q_H = Q_A^лев = 0;   

  Q_A^пр = Q_D^лев = V_A = 17,7 кН;

  Q_B^пр = Q_K = 0;

Q_D^пр = Q_B^лев = -V_B = - 25,3 кН.   .

Эпюра M (рис. 6.7, в):

M_H = M_A = 0; M_B = M_K = 0.   

  M_D = V_A a = 17,7· 3 = 53,1 кН·м;

 Рис. 6.7

2) Распределенная нагрузка q (рис. 6.8, а). Опорные реакции:

Sm_B = 0;  V_A(a + b) − q(a + b)² / 2 + q(0,5d)² / 2 = 0,

V_A = q[(a + b)² – 0,25d²] /[2(a + b)] = 13( 5,1² – 0,25·2,4²) / (2 · 5,1) = 31,3 кН;

Sm_A = 0; q(a + b + 0,5d)² / 2 − V_B(a + b) = 0,

V_B = q(a + b + 0,5d)² / [(2(a + b)]  = 13 · 6,3² / (2 · 5,1) = 50,6 кН.

Проверка:   SY = V_A + V_B − q(a + b + 0,5d) = 31,3 + 50,6 − 13 · 6,3 = 81,9 − 81,9 = 0.

 

 
Рис. 6.8

Эпюра Q (рис. 6.8, б):

Q_H = Q_A^лев = 0;

   Q_A^пр = V_A = 31,3 кН;

   Q_K = 0;

   Q_B^пр = q·0,5d = 13 · 1,2 = 15,6 кН;

Q_B^лев = Q_B^пр − V_B = 15,6 − 50,6 = - 35 кН.

Из построенной эпюры видно, что на участке AB поперечная сила проходит через нулевое значение (меняет знак). Абсциссу z₀ соответствующего сечения можно найти из уравнения   
 Q(z₀) = V_A – q z₀ = 0   Þ   z₀ = V_A / q = = 31,3 / 13 = 2,408 м.

Эпюра M (рис. 6.8, в):

M_H = M_A = 0;

  M(z₀) = V_A z₀ − q z₀² / 2 = 31,3 · 2,408 − 13 · 2,408² / 2 = 37,7 кН·м;

  M_K = 0;

M_B = - q(0,5d)² /2 = - 13 · 1,2² / 2 = - 9,36 кН·м.   

Вершина параболы на участке AB находится в точке с абсциссой z₀ (максимум функции изгибающего момента в пролете).

3) Сосредоточенный момент m (рис. 6.9, а). Опорные реакции согласно условию ΣY = 0 должны быть равны и противоположны по направлению. Момент m стремится оторвать балку от опоры B и прижать к опоре A, поэтому реакция V_A направлена вверх, а V_B − вниз. Их значение определяем из уравнения

Sm_B = 0;  -m + V_A(a + b) = 0;   

   V_A = m / (a + b) = 21 / 5,1 = 4,12 кН;

   V_B = - V_A  = - 4,12 кН.

Таким образом, реакции образуют пару сил с моментом, равным приложенному моменту m и противоположным ему по направлению.

Эпюра Q (рис. 6.9, б):

Q_H = Q_A^лев = 0;

Q_A^пр = Q_B^лев = V_A = 4,12 кН;  

  Q_K = Q_B^пр = 0.

Эпюра M (рис. 6.9, в):

M_H = M_A = - m = - 21 кН·м;  

  M_K = M_B = 0.

На левой консоли поперечная сила отсутствует, а изгибающий момент постоянный, то есть возникает чистый изгиб.

 
Рис. 6.9

4. Б а л к а «Г» (рис. 6.10, а)

Дано: a = 3,0 м, c = 1,3 м, d = 2,4 м;  q = 13 кН/м, F = 43 кН,  m = 21 кН·м;  h/b = 1,3.

Рис. 6.10

Решение.

а) Построение эпюр Q и M. Расчет консоли следует начинать сразу с построения эпюр, перемещаясь от свободного конца к заделке и учитывая каждый раз нагрузки, приложенные справа от рассматриваемого сечения. При таком подходе отпадает необходимость предварительного определения реакций заделки. Они получатся автоматически в результате построения эпюр, то есть точно так же, как в задачах № 1 и 5.

Эпюра Q (рис. 6.10, б):

Q_B = 0;

  Q_D^пр = q · 0,25d = 13 · 0,25 · 2,4 = 7,8 кН;

Q_D^лев = Q_D^пр + F = 7,8 + 43 = 50,8 кН;

Q_C = Q_A = q(0,25c + 0,25d) + F = 13 · 0,25(1,3 + 2,4) + 43 = 55,03 кН.

Эпюра M (рис. 6.10, в):

M_B = 0;   

  M_D = - q(0,25d)² / 2 = -13 · 0,6² / 2 = - 2,34 кН·м;

M_C^пр = - q(0,25c + 0,25d)² / 2 – F · 0,25c = -13 ·[0,25(1,3+2,4)]² / 2 − 43·0,325 = - 19,5 кН·м;

M_C^лев = M_C^пр + m = - 19,5 + 21 = 1,5 кН·м;

M_A = - q(0,25c + 0,25d)[0,25a + (0,25c + 0,25d) / 2] − F(0,25a + 0,25c) + m =

   = -13 · 0,25(1,3 + 2,4) · 0,25[3,0 +(1,3 + 2,4) / 2] − 43·0,25(3,0 + 1,3) + 21 = - 39,8 кН·м.

Поскольку парабола на участке DC не имеет вершины, рассматриваем промежуточную точку E в середине участка:

M_E = - q(0,125c + 0,25d)² / 2 −F·0,125c = - 13 (0,1625 + 0,6)² / 2 − 43 · 0,1625 = - 10,8 кН·м.

На участке BD парабола имеет вершину в точке B (Q_B = 0). Касательная к параболе в точке C параллельна наклонной прямой на участке CA. В точке D имеется излом, острием направленный вниз, в сторону действия силы F. На эпюре Q в этом месте возникает скачок, равный силе и направленный вверх, в противоположную сторону (при перемещении справа налево).

Построенные эпюры позволяют  определить реакции заделки. Согласно эпюре Q вертикальная реакция V_A = 55,0 кН направлена вверх, поскольку она должна стремиться вращать балку по ходу часовой стрелки, чтобы вызвать положительную поперечную силу. Реактивный момент m_A = 39,8 кН·м направлен против хода часовой стрелки и изгибает балку выпуклостью вверх согласно отрицательной эпюре M.

б) Подбор сечения. Опасным является сечение в заделке:   M_max = |M_A| = 39,8 кН·м.

Требуемый осевой момент сопротивления 

W_x ³ M_max / R = 39,8 · 10³ / (15·10⁶) = 2653·10^-6 м³ = 2653 см³.

С другой стороны, момент сопротивления прямоугольника W_x = bh²/6, или с учетом заданного отношения размеров h/b = 1,3