Сопротивление материалов

   (2,6 + 3,6) 1,292 N₂ + 3,6 N₂ - 1,6 F = 0;

   N₂ = 1,6 F / 11,61 = 0,1378 F;

   N₁ = 1,292 · 0,1378 F = 0,178 F.

Выражаем напряжения в стержнях через силу F:

   s₁ = N₁ / A = 0,1378 F / A = 0,1378 F / (26·10^-4) = 53 F;

   s₂ = N₂ / (2A) = 0,178 F / (2A) = 0,178 F / (2 × 26×10^-4) = 34,2 F.

2. Определение значения нагрузки F_max. В левом стержне напряжения больше, чем в правом, поэтому он "потечет" первым:   s₁ = s_y , или

   53 F_max = 245 МПа = 245 · 10⁶ Па.

Отсюда

   F_max = 245×10⁶ / 53 = 4620×10³ Н = 4620 кН.

3. Определение значения нагрузки F_пред. В состоянии предельного равновесия рассматриваемой системы напряжения в обоих стержнях достигнут предела текучести. Значения соответствующих усилий N₁ = s_y A и N₂ = s_y·2A подставляем в уравнение равновесия (1):

   (2,6 +3,6) s_y A + 3,6 s_y· 2A - 1,6 F_пред = 0.

Из полученного уравнения предельного равновесия системы находим предельную нагрузку

   F_пред = s_y A (6,2 + 3,6 · 2) / 1,6 =  8,375 s_y A =

            =  8,375 · 245·10⁶ · 26·10^-4 Н = 5334,9·10³ Н ≈ 5335 кН.

4. Сравнение полученных значений нагрузки.

Из расчета видно, что F_пред больше F_max  в n = 5335 / 4620 = 1,15 раз, то есть на 15%.

Задача № 4

Для сечения, состоящего из стального  листа и прокатного профиля в  виде швеллера (рис. 4.1):

1. Определить положение центра тяжести (координаты x_C, y_C).

2. Вычислить осевые и центробежный моменты инерции относительно произвольных центральных осей X и Y.

3. Определить положение главных центральных осей U и V.

4. Найти значения главных  центральных моментов инерции.

5. Провести проверку вычислений.

6. Вычертить сечение в крупном масштабе (в пределах формата страницы тетради) и указать все необходимые оси и размеры.

Дано: размеры сечения листа: h = 600 мм = 60 см, t = 4 мм = 0,4 см. Геометрические характеристики прокатного швеллера № 16 из таблицы сортамента: J_x = J_y2 = 747 см⁴, J_y = J_x2 = 63,3 см⁴;  A₂ = 18,1 см²;  h₂ = 16 см.

Решение.

1. Определение положения центра тяжести составного сечения. В качестве исходных осей принимаем центральные оси x₁, y₁ прямоугольника. Координаты центра тяжести сечения относительно этих осей определяем по формулам

   x_C = S_y1 / A = (A₁x₁ + A₂x₂) / (A₁ + A₂);

                                                                                                                                                                             (1)

   y_C = S_x1 / A = (A₁y₁ + A₂y₂) / (A₁ + A₂),                 
где  S_x1, S_y1 – статические моменты площади всего сечения относительно осей x₁ и y₁; 
    x₁ = 0, y₁ = 0 - координаты центра тяжести прямоугольника; x₂ = h₂/2 + t/2 = 8 + 0,2 = 8,2 см,  
    y₂ = = -(0,5h - 0,3h) = -0,2h = -0,2 × 60= -12 см − координаты центра тяжести швеллера; 
    A₁ = h t = 60 · 0,4 = 24 см² − площадь сечения листа.

Вычисление по формулам (1) дает следующие значения координат:  
    x_C = (0 + 18,1 · 8,2) / (24 + 18,1) = 3,53 см;  
    y_C = (0 + 18,1 (-12)) / (24 + 18,1) = -5,16 см.

Центр тяжести C составного сечения расположен на прямой O₁O₂, соединяющей центры тяжести швеллера и прямоугольника. Через точку C проводим центральные оси X и Y параллельно исходным осям x₁ и y₁.

2. Вычисление осевых и центробежного моментов инерции относительно центральных осей X и Y. Согласно формулам параллельного переноса осей

   J_X = J_x1 + a₁²A₁ + J_x2 + a₂²A₂;  
    J_Y = J_y1 + b₁²A₁ + J_y2 + b₂²A₂;                                                                                                               (2) 
    J_XY = J_x1y1 + a₁b₁A₁ + J_x2y2 + a₂b₂A₂.               

Расстояния a_i, b_i. между осями численно совпадают с координатами точек О₁ и О₂ относительно центральных осей:  
    a₁ =  - y_C = - (-5,16) = 5,16 см;  a₂ = y₂ − y_C = -12 + 5,16 = -6,84 см;  
    b₁ = - x_C = -3,53 см;                 b₂ = x₂ − x_C = 8,2 − 3,53 = 4,67 см. 

Моменты инерции  прямоугольника относительно собственных  центральных осей: 
    J_x1 = t h³ / 12 = 0,4 · 60³ / 12 = 7200 см⁴;  
    J_y1 = h t³ / 12 = 60 · 0,4³ / 12 = 0,32 см⁴.

Моменты инерции швеллера относительно собственных центральных осей приведены  выше, в условии задачи. Центробежные моменты инерции J_x1y1 = 0,  J_x2y2 = 0, так как соответствующие оси - главные для прямоугольника (оси симметрии) и швеллера.¹

После подстановки числовых значений в формулы (2) получим  
    J_X = 7200 + 5,16² 24 + 63,3 + (-6,84)² 18,1 = 8749 см⁴;  
    J_Y = 0,32 + (-3,53)² 24 + 747 + 4,67² 18,1 = 1441 см⁴; 

     J_XY = 0 + 5,16 (-3,53) 24 + 0 + (-6,84) 4,67 · 18,1 = -1015 см⁴.

Угол a₀ между осями X, Y и главными центральными осями U, V определяем следующим образом:     tg 2a₀ = 2J_XY / (J_Y − J_X) = 2(- 1015) / (1441 − 8749) = 0,2778;    
  2a₀ = arctg 0,2778 = 15,53°; a₀ = 7,76°.

 Положительное значение угла  свидетельствует о том, что для определения направления оси U, надо повернуть ось X на 7,76° против хода часовой стрелки (см. рис. 4.1).

  
Рис. 4.1

 

3. Вычисление главных моментов инерции:

    

     J_max = J_U = 8887 см ⁴;  J_min = J_V = 1303 см ⁴.

 

4. Проверка правильности вычислений. а) Статические моменты площади сечения относительно центральных осей X и Y должны быть  равны нулю:  
    S_X = A₁a₁ + A₂a₂ = 24 · 5,16 + 18,1 (-6,84) = 123,8 – 123,8 = 0;  
    S_Y = A₁b₁ + A₂b₂ = 24 (-3,53) + 18,1 · 4,67 = -84,7 + 84,5 = - 0,2 .  
  Погрешность  DS_Y  =  0,2 < 0,3% от 84,5, что допустимо.

б) Главные моменты инерции должны быть экстремальны:

   J_U = 8887 см ⁴ > J_X = 8749 см ⁴;   J_V =1303 см ⁴ < J_Y = 1441 см ⁴.

в) Сумма моментов инерции относительно любой пары взаимно перпендикулярных центральных осей должна быть постоянной:

      J_X + J_Y = 8749 + 1441 = 10 190 см ⁴ ;   J_U + J_V = 8887 + 1303 = 10 190 см ⁴ .

г) Центробежный момент инерции относительно главных осей должен равняться нулю: 
   J_UV = 0,5 (J_X − J_Y) sin 2a₀ + J_XY cos 2a₀ = 0,5 (8749- 1441) sin15,53° – 1015 cos 15,53° = 978 – 978 = 0.

Задача № 5

Для круглого стального бруса, нагруженного тремя внешними (скручивающими) моментами m₁, m₂, m₃ (рис.5.1, а):

1. Построить эпюру крутящего  момента M_z.

2. Найти опасное сечение и подобрать из условия прочности:

  а) диаметр D сплошного кругового сечения;

б) сечение  трубы при заданном отношении a внутреннего d и внешнего D₁ диаметров.  
Расчетное сопротивление стали на сдвиг R_s = 140 МПа.

3. Сравнить оба сечения по расходу материала и, приняв более экономичный вариант, построить эпюру углов поворота j, приняв модуль сдвига G = 80 ГПа.

Дано: m₁ = 4,6 кН·м,  m₂ = 5,4 кН·м,  m₃ = 1,4 кН·м; l = 2 м;  a = 0,6.   

Решение.

1. Построение эпюры M_z . Как и в задаче № 1, расчет целесообразно начинать со свободного конца. Тогда крутящий момент в произвольном поперечном сечении бруса в соответствии с методом сечений равен алгебраической сумме внешних моментов, приложенных справа от рассматриваемого сечения:

   M_z,KH = m₃ = 1,4 кН·м;

   M_z,HC = m₃ – m₁ = 1,4 – 4,6 = -3,2 кН·м;

    M_z,CB = m₃ - m₁ + m₂ = 1,4 – 4,6 + 5,4 = 2,2 кН·м.

Внешние моменты, направленные по ходу часовой стрелки при взгляде  от рассматриваемого сечения в конец  бруса,  считаем положительными (m₂ и m₃),  против хода – отрицательными (m₁).

Рис. 5.1

 

Эпюра M_z построена на рис. 5.1, б. На каждом из трех участков крутящий момент имеет постоянное значение. В сечениях, где приложены внешние моменты (границы участков), крутящий момент меняется скачкообразно, причем размер скачка равен соответствующему внешнему моменту. Следовательно, скачок на уровне заделки характеризует значение реактивного момента m_B = 2,2 кН·м. Положительный знак эпюры на левом участке свидетельствует о том, что реактивный момент направлен по ходу часовой стрелки при взгляде от свободного конца к заделке.

2. Подбор сечения.  Как видно из построенной эпюры, опасными являются сечения среднего участка:

 M_max = |M_z,HC| = 3,2 кН·м.

Условие прочности имеет  вид  t_max = M_max / W_p £ R_s , где полярный момент сопротивления сплошного кругового сечения W_p = pD³ / 16, сечения трубы W_p = pD₁³(1 − a⁴) / 16. Подставляя выражения W_p в условие прочности и разрешая неравенство относительно диаметра, получаем:

а) для сплошного круга (рис. 5.2, а) 

;

б) для трубчатого сечения (рис. 5.2, б)

. 
 d = a D₁ = 0,6 · 51,1 = 30,66 мм.

Округляя до целого числа  миллиметров в большую сторону, принимаем  D₁ = 52 мм, d = 31 мм.

3. Построение эпюры j для бруса с более экономичным  сечением. Для сравнения вариантов по расходу материала надо определить площади сечений. Более экономичным будет сечение с меньшей площадью.

Площадь круга

A = pD² / 4 = 3,14 · 4,9² / 4 = 18,8 см²;

площадь трубчатого сечения

 A₁ = pD₁² (1 − a²) / 4 = 3,14 · 5,2²(1 − 0,6²) / 4 = 13,6 см². 

 

Рис. 5.2

 

Из отношения площадей A₁ / A = 13,6 / 18,8 = 0,72 видно, что трубчатое сечение экономичнее на 28%.

Перед вычислением углов  поворота определим  жесткость сечения  бруса на кручение GJ_p. Момент инерции трубчатого сечения 

J_p = pD₁⁴(1 − a⁴) / 32 = 3,14 · 5,2⁴ (1 − 0,6⁴) / 32 = 62,45 см⁴ = 62,45·10^-8 м⁴.

Модуль сдвига стали G = 80·10⁹ Па.

Жесткость GJ_p = 80·10⁹ · 62,45·10^-8 = 49,96·10³ Н·м².

По формуле Dj = M_zl / (GJ_p) определяем изменение угла поворота на участках с постоянным крутящим моментом:   
 Dj _CB = M_z,CB · 0,3 l / (GJ_p) = 2,2·10³ · 0,3 · 2 / (49,96·10³) = 2,64·10^-2;   
 Dj _HC = M_z,HC · 0,5 l / (GJ_p) = - 3,2·10³ · 0,5 · 2 / (49,96·10³) = - 6,41·10^-2;   
 Dj _KH = M_z,KH · 0,2 l / (GJ_p) = 1,4·10³ · 0,2 · 2 / (49,96·10³) = 1,12·10^-2.

Теперь можно вычислить  значения угла поворота в характерных  сечениях. Начинать необходимо с сечения в заделке, так как там угол поворота отсутствует:

j_B = 0;  

j_C = j_B + Dj_CB = 2,64·10^-2 рад;

j_H = j_C + Dj_HC = (2,64 – 6,41) 10^-2 = - 3,76·10^-2 рад ;

j_K = j_H + Dj_KH = (- 3,76 + 1,12) 10^-2 = - 2,65·10^-2 рад .

В промежуточных сечениях угол j линейно зависит от абсциссы z.

Эпюра j построена на рис. 5.1, в.

  Задача № 6

1. Для балки «А» (рис.6.1, а):

   а) определить опорные  реакции;

б) построить эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента M;

в) по таблице сортамента (ГОСТ 8239-89) подобрать сечение в виде обыкновенного стального двутавра (с уклоном внутренних граней полок) , принимая расчетное сопротивление R = 240 МПа. Построить эпюры нормальных и касательных напряжений в соответствующих опасных сечениях.

2. Для балки «Б»  (рис.6.5, а):

   а) определить опорные  реакции;

  б) построить эпюры Q и M;

  в) при том же расчетном сопротивлении подобрать по таблице сортамента (ГОСТ 26020-83) сечение в виде нормального двутавра (с параллельными гранями полок).

3. Для балки «В»  (рис.6.6, а):

   а) определить опорные  реакции;

б) построить эпюры Q и M;

в) по таблице сортамента (ГОСТ 8240-89) подобрать сечение в виде двух стальных швеллеров, принимая расчетное сопротивление R = 240 МПа;

г) построить эпюры Q и M от каждой нагрузки в отдельности.

4. Для  балки «Г»  (рис.6.10, а):

а) построить  эпюры Q и M;

б) подобрать  сечение прямоугольного деревянного бруса с заданным соотношением сторон h/b. Расчетное сопротивление R = 15 МПа;

в) построить эпюры Q и M от каждой нагрузки в отдельности.

5. Для балки «Д»  (рис.6.14, а):

а) построить  эпюры Q и M;

б) подобрать диаметр бревна при R = 16 МПа.

1. Б а л к а «А» (рис. 6.1, а)

 Дано: a = 3,0 м, b = 2,1 м, c = 1,3 м;  q = 13 кН/м,  m = 21 кН·м. 

Рис. 6.1

Решение.

а) Определение опорных реакций. Предполагая, что реакции V_A и V_B направлены вверх, и руководствуясь правилом знаков статики, составляем уравнения равновесия:

П р о в е р к а :  ∑Y = V_A + V_B – q(a + b) = 36,6 + 29,7 – 13 · 5,1 = 66,3 – 66,3 = 0.

Обе реакции получились положительными, следовательно, они действительно  направлены вверх.

б) Построение эпюр Q и M. Поперечная сила Q в произвольном поперечном сечении балки определяется методом сечений как алгебраическая сумма внешних  сил, приложенных с одной стороны (или слева, или справа) от сечения. При этом если внешняя сила стремится повернуть отсеченную часть балки по ходу часовой стрелки относительно рассматриваемого сечения, то она вызывает положительную поперечную силу (рис. 6.2, а) и наоборот (рис. 6.2, б).

Эпюра Q, приведенная на рис. 6.1, б, построена по следующим ординатам: 
 Q_A = V_A = 36,6 кН (через левые силы), 

Q_K = Q_B = -V_B = -29,7 кН (через правые силы).

Положительные ординаты Q принято откладывать вверх от оси, отрицательные вниз.

На участке AK эпюра представляет собой наклонную прямую, поскольку под распределенной нагрузкой поперечная сила линейно зависит от абсциссы z. Определим значение z₀, при котором Q = 0:

Q(z₀) = V_A – q z₀ = 0 Þ  z₀ = V_A / q = 36,6 / 13 = 2,815 м.