Выборочное наблюдение

Нулевая гипотеза состоит  в том, что между новым и  существующим методами производства изделий  отсутствуют существенные различия с точки зрения влияния их на материалоемкость, т.е. что между генеральными средними при старом и новом методах  производства нет существенной разницы, а отклонение выборочной средней  от достигнутого уровня при существующем методе обусловлено только случайностями  выборки, т.е. означает, что , где и - средний  расход сырья на единицу продукции  соответственно при существующем и  новом методах производства.

Альтернативная гипотеза может быть сформулирована двояко:

1. Применение нового метода  обработки приводит к изменению  расхода сырья на единицу продукции,  т.е. состоит в том, что . Примем  уровень значимости равным 0,05, тогда  и критическая область соответственно  задается неравенством . По таблицам  интегральной функции Лапласа  определяем коэффициент доверия  t=1,96. Таким образом, величина предельного  расхождения двух средних с  вероятностью, равной 0,95, не должна  превышать . Следовательно, с вероятностью 0,95 доверительные пределы для  генеральной средней при новом  методе будут равны .

Средний расход материала  при применении новой технологии составляет 2,6, т.е. попадает в критическую  область. Следовательно, данные наблюдения не являются совместимыми с выдвинутой гипотезой о том, что между  новым и существующим методами производства изделий отсутствуют существенные различия с точки зрения влияния  их на материалоемкость.

2. Применение нового метода  обработки приводит к снижению  расхода сырья на единицу продукции,  т.е. состоит в том, что . В  этом случае рассматривается  область больших отрицательных  отклонений, т.е. при . В данном  варианте критическая область  определяется неравенством . Нулевая  гипотеза не будет опровергаться,  если средний расход материала  на единицу продукции будет  больше величины . Так как по  новой технологии расход сырья  составляет 2,6 условных единиц, то  с вероятностью 0,995 можно считать,  что нулевая гипотеза должна  быть отвергнута и что, следовательно,  применение новой технологии  приводит к снижению расхода  сырья на изготовление продукции.

2.3.Малые выборки

Малые выборки        

статистические выборки  столь малого объёма n, что к ним нельзя применить простые классические формулы, действующие лишь асимптотически при n → ∞. Особенности статистической оценки параметров по М. в. легче всего понять на примере нормального распределения (для которого малыми обычно считают выборки объёма n ≤ 30). Пусть необходимо оценить неизвестное среднее значение a выборкиx₁, x₂, ..., x_n из нормальной совокупности с неизвестной дисперсией σ². Обозначим        

   

 

 

                

 

 

         Исходным пунктом при оценке a служит то обстоятельство, что распределение вероятностей величины         

        

 не зависит от а и σ.        

 Вероятность ω неравенства  — t_ω < t < t_ω и равносильного ему неравенства        

        

(1)        

 вычисляется при этом  по формуле        

 ω =          

 где s(t, n — 1) есть плотность вероятности для так называемого Стьюдента распределения с n — 1 степенями свободы. Определяя для заданных n и ω (0 < ω < 1) соответствующее t_ω (что можно сделать, например, по таблицам), получают правило (1) нахождения доверительных границ  для величины а, имеющей  ω.         

 При больших n формула (2), связывающая ω и t_ω, приближённо может быть заменена формулой        

        

 Эту формулу иногда  неправильно применяют для определения t_ω при небольших n, что приводит к грубым ошибкам. Так, для ω = 0,99 по формуле находим t_0,99 = 2,58; истинные значения t_0,99 для малых n приведены в следующей таблице:        

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------         

| n          | 2          | 3          | 4          | 5          | 10        | 20        | 30         |        

|----------------------------------------------------------------------------------------------------------------|         

| t_0,99       | 63,66    | 9,92      | 5,84      | 4,60      | 3,25      | 2,86      | 2,76      |         

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

 

        Если пользоваться формулой (3) при n = 5, то получится вывод, что неравенство         

        

выполняется с вероятностью 0,99. В действительности в случае пяти наблюдений вероятность этого  неравенства равна лишь 0,94, а вероятностью 0,99 обладает в соответствии с приведённой  таблицей неравенство        

        

 Об оценке по М.  в. теоретической дисперсии σ² см. «Хи-квадрат» распределение. Разработаны также аналогичные методы оценки по М. в. параметров многомерных распределении (например, коэффициента корреляции).

 

 

 

 

 

 

 

Глава 3. Анализ данных с применением выборочного наблюдения в жилищном фонде Российской Федерации   

 

Сводка и группировка  данных статистического наблюдения

Выполним простую сводку по показателю «Площадь жилищ, приходящаяся в среднем на одного жителя, по регионам Российской Федерации, весь жилищный фонд; кв.м/чел» на конец 2012г. Результат сводки представим в таблице 1.1

Таблица 1.1 - Простая сводка по показателю «Площадь жилищ, приходящаяся в среднем на одного жителя, по регионам Российской Федерации, весь жилищный фонд» на конец 2012г.

Название субъекта РФ	Площадь жилищ, кв.м/чел
Российская Федерация	20,2
Центральный федеральный  округ	21,5
Белгородская область	22,0
Брянская область	21,9
Владимирская область	22,4
Воронежская область	22,9
Ивановская область	21,5
Калужская область	22,2
Костромская область	22,8
Курская область	22,0
Липецкая область	21,9
Московская область	23,3
Орловская область	21,2
Рязанская область	22,5
Смоленская область	22,8
Тамбовская область	21,6
Тверская область	24,5
Тульская область	22,5
Ярославская область	21,5
г. Москва	18,8
Северо-Западный федеральный округ	22,0
Республика Карелия	21,8
Республика Коми	22,2
Архангельская область	22,5
Вологодская область	23,1
Калининградская область	19,2
Ленинградская область	23,3
Мурманская область	22,3
Новгородская область	23,7
Псковская область	24,5
г. Санкт-Петербург	20,9
Южный федеральный  округ	18,4
Республика Адыгея	22,7
Республика Дагестан	15,6
Республика Ингушетия	6,7
Чеченская Республика	...
Кабардино-Балкарская Республика	15,3
Республика Калмыкия	19,8
Карачаево-Черкесская Республика	18,4
Республика Северная Осетия - Алания	24,9
Краснодарский край	18,7
Ставропольский край	19,1
Астраханская область	18,6
Волгоградская область	19,4
Ростовская область	19,1
Приволжский федеральный  округ	19,9
Республика Башкортостан	18,6
Республика Марий Эл	20,2
Республика Мордовия	21,1
Республика Татарстан	19,7
Удмуртская Республика	18,1
Чувашская Республика	19,8
Кировская область	20,3
Нижегородская область	21,3
Оренбургская область	19,1
Пензенская область	21,3
Пермская область	18,9
Самарская область	20,0
Саратовская область	21,7
Ульяновская область	20,8
Уральский федеральный  округ	19,5
Курганская область	19,1
Свердловская область	20,4
Тюменская область	18,3
Ямало-Ненецкий автономный округ	17,4
Челябинская область	19,8
Сибирский федеральный  округ	19,0
Республика Алтай	15,2
Республика Бурятия	17,6
Республика Тыва	12,6
Республика Хакасия	18,9
Алтайский край	19,2
Красноярский край	20,0
Эвенкийский автономный округ	27,5
Иркутская область	19,3
Кемеровская область	19,7
Новосибирская область	18,6
Омская область	19,5
Томская область	19,0
Читинская область	18,2
Дальневосточный федеральный округ	19,8
Республика Саха (Якутия)	19,5
Приморский край	18,9
Хабаровский край	19,5
Амурская область	19,6
Камчатская область	21,2
Магаданская область	25,7
Сахалинская область	21,4
Еврейская автономная область	20,0
Чукотский автономный округ	28,4

Проанализировав все данные можно выделить две республики, данные по которым значительно отличаются от всей совокупности. Вследствие этого, уберем из расчетов Чеченскую республику и республику Ингушетия.

Построим простую группировку, с выделением групп субъектов  со значением показателя выше и ниже среднего по Российской Федерации.

Рассчитаем среднее по группе, расчет выполним как простую  арифметическую величину по формуле (1):

, кв.м/чел (1)

где n - число субъектов РФ в данной группе,

X_i - значение по каждому субъекту.

Результат занесем в таблицу 1.2.

Таблица 1.2 - Простая группировка  с выделением групп субъектов  выше и ниже среднего по Российской Федерации относительно среднего значения по России

Площадь жилищ, кв.м/чел	Количество субъектов	В % к общему числу	Среднее по группе, кв.м/чел
Ниже среднего по РФ (< 20,2 кв.м/чел)	39	48,75	18,6
Выше среднего по РФ (> 20,2 кв.м/чел)	41	51,25	22,5
Итого	80	100,00	20,2

 

Отобразим полученные результаты на графике, показанном на рисунке 1.1, для  простой группировки лучшим образом  подойдет круговая диаграмма.

Рисунок 1.1 - Доля субъектов  со значением выше и ниже среднего по Российской Федерации 

Построим простую группировку, с выделением групп субъектов  со значением показателя выше и ниже среднего относительно Челябинской  области.

Рассчитаем среднее по группе, расчет выполним как простую  арифметическую величину по формуле (1).

Результат занесем в таблицу 1.3.

Таблица 1.3 - Простая группировка  с выделением групп субъектов  выше и ниже среднего относительно Челябинской области

Площадь жилищ, кв.м/чел	Количество субъектов	В % к общему числу	Среднее по группе, кв.м/чел
Ниже среднего по ЧО (< 19,8 кв.м/чел)	33	41,25	18,4
Выше среднего по ЧО (> 19,8 кв.м/чел)	47	58,75	22,2
Итого	80	100,00	20,2

Отобразим полученные результаты на графике, показанном на рисунке 1.2. Для  простой группировки лучшим образом  подойдет круговая диаграмма.

Рисунок 1.2 - Доля субъектов  со значением выше и ниже среднего по Челябинской области 

Выполнив простые группировки  видно, что в среднем значение показателя по РФ не сильно варьируется. Это обусловлено тем, что в  каждом субъекте соотношение жителей  и жилой площади сопоставимо. Поэтому разброс значений показателя не велик.

 

Произведем отбор 27 и 35 субъектов  из генеральной совокупности.

Будем производить случайный  отбор субъектов РФ.

Составим две таблицы  из 27 и 35 субъектов соответственно 3.1 и 3.2.

Таблица 3.1 - Бесповторная выборка 27 субъектов РФ

№ п/п	Название субъекта	Площадь жилищ, кв.м/чел
1	Владимирская область	22,4
2	Ивановская область	21,5
3	Костромская область	22,8
4	Липецкая область	21,9
5	Республика Карелия	21,8
6	Архангельская область	22,5
7	Калининградская область	19,2
8	Мурманская область	22,3
9	Краснодарский край	18,7
10	Ставропольский край	19,1
11	Астраханская область	18,6
12	Волгоградская область	19,4
13	Республика Башкортостан	18,6
14	Республика Мордовия	21,1
15	Удмуртская Республика	18,1
16	Кировская область	20,3
17	Курганская область	19,1
18	Свердловская область	20,4
19	Магаданская область	25,7
20	Ямало-Ненецкий автономный округ	17,4
21	Челябинская область	19,8
22	Республика Алтай	15,2
23	Республика Тыва	12,6
24	Алтайский край	19,2
25	Иркутская область	19,3
26	Хабаровский край	19,5
27	Сахалинская область	21,4