Выборочное наблюдение

 

Если  n  достаточно велико, то  близко к единице и дисперсию в генеральной совокупности можно заменить на дисперсию в выборке.

Средняя ошибка выборочной доли определяется по формуле

где  – дисперсия выборочной доли.

Для показателя доли альтернативного  признака (выборочной доли) дисперсия  определяется по формуле

Приведенная формула средней  ошибки выборочной доли применяется  при повторном отборе.

При бесповторном отборе численность  генеральной совокупности сокращается, поэтому дисперсия умножается на коэффициент  Формулы расчета средних ошибок выборочной доли для различных способов отбора единиц из генеральной совокупности приведены в табл. 2.

 

Таблица 2

Формулы расчета средних  ошибок выборочной доли и выборочной средней⁸:

Метод  отбора выборки	Средняя ошибка
	выборочной доли	выборочной средней
Механическ ий и собственно–случайный повторный
Серийный п  ри бесповторном отборе серий
Типический при повторном  случайном отборе внутри групп
Типический при бесповторном случайном отборе внутри групп

 

где            N     – численность генеральной  совокупности;

                   – межсерийная дисперсия выборочной доли;

                 r      – число отобранных  серий;

                 R     – число серий в  генеральной совокупности;

                 – средняя из групповых дисперсий выборочной доли;

                  – дисперсия признака  x;

                   – межсерийная дисперсия выборочных средних;

                  – средняя из групповых дисперсий выборочной средней.

Дисперсии в формулах расчета  средних ошибок выборочной доли в  табл.1.2 определяется следующим образом:

      – межсерийная  дисперсия выборочной доли

где    w_j  – выборочная доля в   j  -й серии;

         – средняя величина доли во всех сериях;

 

     – средняя  из групповых дисперсий

где      w_j     – выборочная доля в j  -й типической группе;

             n_j   – число единиц  в j  -й типической группе;

            k      – число типических  групп.

Предельное значение ошибки выборочной доли определяется по следующей  формуле:

Величина средней ошибки выборочной доли  зависит от доли изучаемого признака в генеральной совокупности, числа наблюдений и способа отбора единиц из генеральной совокупности для наблюдения, а величина предельной ошибки    зависит еще и от величины вероятности , с которой гарантируются результаты выборочного наблюдения.

Распространение выборочных данных на генеральную совокупность производится с учетом доверительных  интервалов. Доля альтернативного признака в генеральной совокупности равна

Ошибка  выборочной  средней

Ошибка выборочной средней  представляет собой расхождение (разность) между выборочной средней  и генеральной средней , возникающее вследствие не сплошного выборочного характера наблюдения⁹. Величина ошибки выборочной средней определяется как предел отклонения  от  , гарантируемый с заданной вероятностью:

где   – средняя ошибка выборочной средней.

При повторном отборе средняя  ошибка определяется следующим образом:

где  – средняя величина дисперсии количественного признака  , которая рассчитывается по формуле средней арифметической невзвешенной

или средней арифметической взвешенной

где     f_i     – статистический вес.

Формулы расчета средней  ошибки выборочной средней для различных  способов отбора выборочной совокупности приведены в табл.1.2.

Межсерийная дисперсия выборочных средних  и средняя из выборочных дисперсий типических групп вычисляются следующим образом:

где  – среднее значение показателя    в j - й серии;

      – дисперсия признака   x   в   j - й типической группе;

       n_j    – число единиц в   j  - й типической группе.

Предельная ошибка выражается следующим образом:

и зависит от вариации изучаемого признака в генеральной совокупности, объема и доли выборки, способа отбора единиц из генеральной совокупности и от величины вероятности, с которой  гарантируются результаты выборочного  наблюдения.      

Средняя величина количественного  признака в генеральной совокупности определяется с учетом предельной ошибки выборочной средней 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2.Способы отбора обеспечивающие репрезентативность

 

2.1.Распространение выборочных  данных на генеральную совокупность

Выборочное наблюдение проводится в целях распространения выводов, полученных по данным выборки, на генеральную  совокупность.

Пределы, в которых находятся  значения характеристик в генеральной  совокупности при заданном уровне вероятности, следующие:

- для средней; (5)

- для доли. (6)

Это означает, что с заданной вероятностью можно утверждать, что  значение генеральной характеристики следует ожидать в этих пределах.

Покажем на примерах как  определять пределы.

Пример 1. Для определения скорости расчетов с кредиторами предприятий корпорации в коммерческом банке была проведена случайная выборка 100 платежных документов, по которым средний срок перечисления и получения денег оказался равным 20 дням со средним квадратическим отклонением 7 дней.

Необходимо с вероятностью P=0,954 определить предельную ошибку выборочной средней и доверительные пределы  в которых будет находится  средняя продолжительность расчетов предприятий данной корпорации с  кредиторами.

Решение:

Средняя продолжительность  расчетов предприятий корпорации с  кредиторами находится в пределах

Так как выборка случайная  повторная, то предельная ошибка выборки  определяется по формуле (1):

дня.

И, значит, пределы средней  продолжительности расчетов равны

С вероятностью 0,954 можно  утверждать, что средняя продолжительность  расчетов предприятий корпорации с  кредиторами в коммерческом банке  может изменяться от 18,6 дня до 21,4 дня.

Пример 2. Для изучения расхода сырья на единицу продукции

проведена двухпроцентная случайная  выборка, в результате которой получены следующие обобщенные данные:

Расход сырья на единицу, г.	Обследовано изделий, шт. (f)
18 - 20 20 - 22 22 - 24 24 - 26 26 и выше	5 28 52 12 3

                     Определить:

1) средний расход сырья  на одно изделие;

2) дисперсию и среднее  квадратическое отклонений;

3) коэффициент вариации;

4) с вероятностью 0,954: предельную  ошибку выборочной средней и  возможные пределы расхода сырья  для всей партии изделий;

5) возможные пределы удельного  веса изделий с расходом сырья  от 20 до 24 г.

Решение:

Все необходимые расчеты  представим в таблице 1.

                 Таблица 1

Расход сырья  на ед.г.	Число изделий, шт.,	Середина интервала, (Х)
А	1	2	3	4	5	6
18-20 20 - 22 22 - 24 24 - 26 Свыше 26	5 28 52 12 3	19 21 23 25 27	95 588 1196 300 81	-3,6 -1,6 0,4 2,4 4,4	12,96 2,56 0,16 5,76 19,36	64,8 71,68 8,32 69,12 58,08
Итого	100		2260			272,0

 

 

Средний расход сырья на одно изделие в выборке равен:

г.

Вычислим дисперсию и  среднее квадратическое отклонение.

Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии

Коэффициент вариации:

%.

Предельная ошибка выборочной средней:

Следовательно, границы генеральной  средней будут находиться в пределах

или

С вероятностью 0,954 можно  утверждать, что расход сырья на единицу продукции всей партии может  изменяться от 22,273 до 22,927 г.

Ошибка выборочной доли определяется по формуле:

Сначала определим выборочную долю (частость):

или 80 %

Выборка показала, что расход сырья от 20 до 24 граммов на единицу  продукции приходится на 80% изделий. Определим предельную ошибку доли:

или 7.9 %

С учетом ошибки генеральная  доля ожидается в границах:

или

Следовательно, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что во всей партии продукции удельный вес изделий  с расходом сырья от 20 до 24 граммов  ожидается в пределах не менее 72,1 % и не более 87,9 %.

Пример 3. По материалам выборочного обследования 625 семей области получены следующие данные:

Таблица 3.2

Семья	Обследовано семей,	Доля расходов на платные услуги, %	Доля расходов на платные услуги, в коэффициентах	Дисᴨȇрсия доли,
1	2	3	4	5
Городских поселений Сельской местности	500 125	37,0 24,0	0,37 0,24	0,2331 0,1824
	n=625	-	-	-

 

Выборка 2%-ная проведена  по методу типического пропорционального  отбора. В группах применялся механических отбор семей.

С вероятностью 0,954 определить пределы доли расходов на платные  услуги жителями области.

Решение:

Доля расходов на платные  услуги жителями области находится  в пределах:

 

Следовательно, для решения  необходимо предварительно определить среднюю долю расходов по 2 группам  населения, а затем ее ошибку.

Средняя доля равна:

или 34,4 %.

Для расчета ошибки выборки  типического отбора надо вычислить  среднюю из групповых дисперсий. В графе 5 таблицы 4.2 показан расчет групповых дисперсий доли. Вычислим среднюю из них:

 

Теперь вычислим предельную ошибку типической выборки:

, 3,7%;

или

Таким образом, можно с  вероятностью 0,954 утверждать, что доля расходов населения области на платные  услуги ожидается в пределах не менее 30,7 % и не более 38,1 %.

Аналогично вычисляется  ошибка типической выборки для выборочной средней (для варьирующего признака).

Пример 4. В механическом цехе завода в десяти бригадах работает 100 рабочих. В целях изучения квалификации рабочих была произведена 20% - ная серийная бесповторная выборка, в которую вошли 2 бригады. Получено следующее распределение обследованных рабочих по разрядам:

 

 

 

Рабочие	Разряды рабочих  в бригаде 1	Разряды рабочих  в бригаде 2	Рабочие	Разряды рабочих  в бригаде 1	Разряды рабочих  в бригаде 2
1 2 3 4 5	2 4 5 2 5	3 6 1 5 3	6 7 8 9 10	6 5 8 4 5	4 2 1 3 2

 

Необходимо определить с  вероятностью 0,997 пределы, в которых  находится средний разряд рабочих  механического цеха.

Решение:

Определим выборочные средние  по бригадам и общую среднюю:

Определим межсерийную дисперсию:

Рассчитаем среднюю ошибку выборки:

                      где R-число серий в генеральной совокупности;

r-число отобранных серий.

Вычислим предельную ошибку выборки с вероятностью 0,997

С вероятностью 0,997 можно  утверждать, что средний разряд рабочих  механического цеха находится в  пределах , 

2.2.Определение и оценка  существенности расхождения выборочных  средних

К расчетам ошибок случайной  выборки прибегают не только для  того, чтобы оценить степень репрезентативности выборочных данных, но и для того, чтобы сравнить между собой средние  величины данного признака по двум совокупностям.

Известно, например, что средний  расход сырья на единицу продукции  при существующем методе производства составляет 2,8 условных единиц. После  внесения изменений в существующую технологию изготовления продукции  по результатам проверки достаточно большой партии изделий средний  расход сырья на единицу продукции  составил 2,6 условные единицы. Средняя  ошибка выборки оказалась равной 0,1. Возникает вопрос, действительно  ли применение нового метода обработки  приводит к снижению материалоемкости продукции?