Статистические методы изучения инвестиций

Средняя ошибка выборки - это среднее квадратическое отклонение всех возможных значений выборочной средней от генеральной средней, т.е. от своего математического ожидания M[ ].

Величина  средней ошибки выборки рассчитывается дифференцированно (по различным формулам) в зависимости от вида и способа отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную.

Для собственно-случайной  и механической выборки с бесповторным способом отбора средняя ошибка выборочной средней определяется по формуле

,                                                                                                                     (15)

где – общая дисперсия выборочных значений признаков,

       N – число единиц в генеральной совокупности,

        n – число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная средняя:

,

                                       ,                                         (16)

где     – выборочная средняя,

          – генеральная средняя.

Границы задают доверительный интервал генеральной средней, т.е. случайную область значений, которая с вероятностью Р гарантированно содержит значение генеральной средней. Эту вероятность Р называют доверительной вероятностью или уровнем надёжности.

В экономических  исследованиях чаще всего используются доверительные вероятности Р= 0.954, Р= 0.997, реже  Р= 0,683.

В математической статистике доказано, что предельная ошибка выборки   кратна средней ошибке µ с коэффициентом кратности t (называемым также коэффициентом доверия), который зависит от значения доверительной вероятности Р. Для предельной ошибки выборочной средней это теоретическое положение выражается формулой

                                                       (17)

Значения t вычислены заранее для различных доверительных вероятностей Р и протабулированы (таблицы функции Лапласа Ф). Для наиболее часто используемых уровней надежности Р значения t задаются следующим образом (табл. 15):

Таблица 15

Доверительная вероятность P	0,683	0,866	0,954	0,988	0,997	0,999
Значение t	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5

По условию демонстрационного  примера выборочная совокупность насчитывает 25 предприятий, выборка 10% механическая, следовательно, генеральная совокупность включает 250 банков. Выборочная средняя , дисперсия определены в Задании 1 (п. 3). Значения параметров, необходимых для решения задачи, представлены в табл. 16:

Таблица 16

Р	t	n	N
0,954	2	25	250	4,22	1,002

Расчет средней ошибки выборки  по формуле (15):

,

Расчет  предельной ошибки выборки по формуле (17):

Определение по формуле (16) доверительного интервала  для генеральной средней:

4,22, млн руб. ± 0,738 млн руб.

Вывод. На основании проведенного выборочного обследования предприятий региона с вероятностью 0,954 можно утверждать, что для генеральной совокупности предприятий средний размер нераспределенной прибыли находится в пределах от [3,482; 4,958].

 

2. Определение ошибки  выборки для доли предприятий  с нераспределенной прибылью  5,0 млн руб. и выше, а также границ, в которых будет находиться генеральная доля

Доля  единиц выборочной совокупности, обладающих тем или иным заданным свойством, выражается формулой

              ,                                                                  (18)

где  m – число единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

        n – общее число единиц в совокупности.

Для собственно-случайной  и механической выборки с бесповторным способом отбора предельная ошибка выборки доли единиц, обладающих заданным свойством, рассчитывается по формуле

                 ,                                           (19)

где  w – доля единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

       (1-w) – доля единиц совокупности, не обладающих заданным свойством,

        N – число единиц в генеральной совокупности,

        n– число единиц в выборочной совокупности.

Предельная  ошибка выборки  определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная доля р единиц, обладающих заданным свойством:

                                                          (20)

По условию  Задания 3 исследуемым свойством  является равенство или превышение нераспределенной прибыли предприятий  5,0 млн руб.

Число банков с заданным свойством  определяется из табл. 3 (графа 3):

m=6

Расчет выборочной доли по формуле (18):

Расчет  по формуле (19) предельной ошибки выборки  для доли:

Определение по формуле (20) доверительного интервала  генеральной доли:

0,078

0,402

или

7,8%

40,2 %

Вывод. С вероятностью 0,954 можно утверждать, что в генеральной совокупности предприятий доля предприятий с инвистициями в основой капитал 5,0 млн руб. и выше будет находиться в пределах от 7,8% до 40,2%.

3. Определение необходимого объема  выборки с заданным значением  допустимой предельной ошибки  выборки, равной 10 млн руб.

Необходимый объем  выборки для обеспечения заданной предельной ошибки выборки  средней величины изучаемого признака в случае собственно-случайной и механической выборки с бесповторным  способом отбора вычисляется по формуле

                                                (21)

По условию  демонстрационного примера ошибка выборки  не должна превышать 10 млн руб. Параметры t, N и известны из решений предыдущих задач.

Расчет необходимой  численности выборки по формуле (21):

Вывод. Для того, чтобы обеспечить для средние инвестиции в основной фонд предельную ошибку выборки н, равную 10 млн руб., необходимо из 250 предприятий, составляющих генеральную совокупность, отобрать в выборочную совокупность 52 предприятия.

 

 Задание 4

Динамика инвестиций в отрасли  промышленности города характеризуется  следующими (неполными) данными:

Исходные данные                                   Таблица 11

Год	Инвестиции, млн. руб.	По сравнению с предыдущим годом			Абсолютное значение 1 % прироста, млн.руб.
		Абсолютный прирост, млн.руб.	Темп роста, %	Темп прироста, %
1
2			102		15
3		40
4				3
5		56,9

 

Определите:

1) инвестиции за каждый год;

2) недостающие показатели анализа  ряда динамики и внесите их  в таблицу;

3) средний темп роста и прироста.

Осуществите прогноз размера инвестиций на следующие два года на основе найденного среднегодового темпа роста.

Выполнение  задания 

Целью выполнения данного задания является анализ изменения годовых уровней объемов реализации продукции за отдельные периоды времени (в натуральном выражении), а также получение обобщающих оценок изменения годовых уровней ряда за весь исследуемый пятилетний период.

 

К числу  основных аналитических показателей рядов динамики, характеризующих изменения уровней ряда за отдельные промежутки времени, относятся следующие: абсолютный прирост, темп роста, темп прироста, абсолютное значение одного процента прироста.

1. Абсолютный прирост  (∆_у) характеризует, на сколько в абсолютном выражении увеличился или уменьшился уровень ряда за определенный промежуток времени. Показатель рассчитывается как разница между сопоставляемыми уровнями:

 

∆_уi^б = у_i – у_о,                                                                            (1)

∆_уi^ц = у_i – у_i-1.                                                                          (2)

Значение  показателя со знаком “+” означает увеличение уровня, со знаком “-“ -  снижение.

Абсолютный  прирост (сокращение) с переменной базой ∆_у^ц иначе называют скоростью роста (сокращения).

Примечание 1. Цепные и базисные абсолютные приросты взаимосвязаны:

• сумма цепных абсолютных приростов равна базисному  абсолютному приросту за весь исследуемый период:

;

• разность между двумя смежными базисными приростами равна соответствующему цепному абсолютному  приросту.

 

2. Темп роста (Т_р) –  показатель интенсивности изменения уровней ряда за определенный промежуток времени. Рассчитывается как относительная величина, выраженная в коэффициентах, по формулам  

        

,                                                         (3)   

                                       

                                                         (4)    

или в процентах  – по формулам:

                                       

    (%)  ,                                    (5)

                                         

  (%)                                      (6)

Темп  роста всегда число положительное. Если Т_р=100%, то значение уровня не изменилось; если Т_р>100%, то значение уровня повысилось, а если Т_р<100% - понизилось.

Примечание 2. Между цепными и базисными темпами роста существует взаимосвязь:

• произведение цепных темпов роста равно базисному темпу роста за весь исследуемы период:

• частное от деления двух смежных базисных темпов роста равно соответствующему цепному темпу роста.

 

3. Темп прироста (Т_пр) – показатель, характеризующий относительную скорость изменения уровней ряда в единицу времени. Он показывает, на сколько процентов один уровень больше (или меньше) другого, принятого за базу сравнения. Рассчитывается путем вычитания 100% из соответствующего темпа роста (базисного или цепного):

Т_прi=Т_рi-100 (%)

 

                                          (7)

4. Абсолютное значение (содержание)  1 % прироста (А_1%)  показывает, сколько абсолютных единиц уровней ряда приходиться на 1% прироста. Показатель рассчитывается как отношение цепного абсолютного прироста к соответствующему цепному темпу прироста или как одна сотая часть предыдущего уровня.

                   (8)

Аналитические показатели годовых изменений уровней ряда, рассчитанные по формулам (1)-(8) для данных табл.1, приведены в табл.2.

 

1. В первый год инвестиции составили 1500 млн. руб., так как

15*100= 1500 млн. руб.

Учитывая, что темп роста во 2 году  составил 102 %, находим темп прироста, %:

Т_прi=Т_рi-100 (%)

Т пр=102-100=2 %

 

Теперь сосчитаем, сколько  составил абсолютный прирост, млн. руб.:

15*2=30 млн. руб.

Таким образом, инвестиции во 2 году составили 1530 млн. руб.

Так как, нам известна сумма абсолютного  прироста в 3 году, млн. руб., мы можем  найти, сколько составили инвестиции:

1530+40=1570 млн. руб.

 

2.Темпы роста составили в 3 году, %(5) :

 

 

Тпр.=1570/1530*100=102,6 %