Построение графика зависимости признаков по теоретическим частота

Относительное линейное отклонение для выборки по объему кредитных вложений равно:

%

Коэффициент вариации характеризует однородность совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации меньше либо равен 33%, иначе признается неоднородной. Коэффициент вариации определяется по формуле:

Тогда, коэффициент вариации для выборки по объему кредитных вложений равен:

%

Коэффициент вариации для выборки по объему кредитных вложений больше, чем 33% (равен 59,1 %), следовательно, совокупность неоднородна, а это означает, что среднее значение признака не является центром распределения.

4. Построение рядов распределения.

4.1 Определение количественных характеристик распределения  (показателей асимметрии и эксцесса).

 

При анализе данных важно представить  не только размер вариации, но и то, как распределены единицы совокупности по всему диапазону значений признака.

Показатели асимметрии и эксцесса используются для количественной оценки симметричности.

Для расчета показателя асимметрии используют формулу:

,

где M₃ – центральный момент третьего порядка;

σ – среднее квадратическое отклонение.

В свою очередь центральный  момент третьего порядка рассчитывается по формуле:

Для того, чтобы определить, является ли асимметрия существенной или не существенной, рассчитывается отклонение показателя асимметрии к среднеквадратическому отклонению. Для этого используют соотношение: ,   где As – показатель асимметрии;  - средняя квадратическая ошибка отклонения асимметрии, которая рассчитывается по формуле:

,

    где  n – число единиц в совокупности.

Данное соотношение меньше 3, из этого следует, что асимметрия признается несущественной.

В симметричных распределениях или распределениях с несущественной асимметрией рассчитывается показатель эксцесса. Расчет производится по следующей формуле:

,

где  M₄ – центральный момент четвертого порядка;

σ – среднее квадратическое отклонение.

Момент четвертого порядка  рассчитывается как:

Показатель эксцесса меньше 0, из этого следует что распределение плосковершинное.

4.2 Нахождение эмпирической функции, построение ее графика.

 

 

Построим графики эмпирического  распределения банков в зависимости  от выбранных признаков. Для этого по оси абсцисс необходимо откладывать середину интервала значения признака, а по оси ординат, соответствующие ей частоты.

4.3 Определение теоретических частот по закону нормального распределения. Построение графиков.

 

 

Для удобства вычислений вероятностей случайные величины нормируются, а затем по специальным таблицам находится плотность распределения нормируемой случайной величины. Для этого используются следующие формулы:

,

где t – нормируемое отклонение.

Теоретические частоты  находятся по формуле:

,

где f – эмпирические частоты;

k – величина интервала.

Определим теоретические  частоты для выборки банков по объему кредитных вложений.

Таблица 5 – Расчет теоретических частот по объему кредитных вложений.

№ п/п	Группы банков по объему кредитных  вложений, млн. руб.	Число банков, fi	Середина интервала, xi’			Теоретические частоты,
1	34-100	10	67	-1,02	0,2371	5
2	101-167	7	134	-0,34	0,3765	8
3	168-234	6	201	0,34	0,3765	8
4	235-301	4	268	1,02	0,2371	5
5	302-368	1	335	1,69	0,0957	2
6	369-435	2	402	2,37	0,0241	0
Итого	-	30	-	-	-	28

 

По найденным теоретическим  частотам построим график теоретического распределения банков по объему кредитных  вложений.

При совмещении графиков теоретического и эмпирического распределения получится следующее:

4.4  Проверка гипотезы о подчинение изучаемых признаков нормальному закону распределения.

 

Так как все предположения  о характере распределения лишь гипотезы, а не категорические утверждения, то они должны быть подвергнуты статистической проверке с помощью одного из критериев согласия. Критерии согласия, опираясь на установленный закон распределения, дают возможность установить, когда расхождение между частотами эмпирического и теоретического распределений следует признать несущественными, то есть случайными, а когда существенными (в тех случаях, когда неверно выдвинута гипотеза о законе распределения).

Для проверки гипотезы о  подчинении изучаемых признаков  нормальному закону распределения  воспользуемся критерием Романовского, который рассчитывается по формуле:

,

где h – число групп;

 l – число независимых параметров, которые необходимо знать, чтобы построить кривую теоретического распределения.

В свою очередь  рассчитывается по формуле:

,

где  f_i – эмпирические частоты распределения;

f_i' – теоретические частоты распределения.

Таблица 6 – Расчет значения критерия Пирсона для распределения по объему кредитных вложений.

№ п/п	Группы банков по объему кредитных вложений, млн. руб.	Эмпирические частоты, fi	Теоретические частоты,
1	34-100	10	5	25	5
2	101-167	7	8	1	0,125
3	168-234	6	8	4	0,5
4	235-301	4	5	1	0,2
5	302-368	1	2	1	0,5
6	369-435	2	0	4	0
Итого	-	30	28	-	6,325

 

Рассчитаем значение критерия Романовского для распределения  по объему кредитных вложений:

Так как критерий Романовского меньше 3 (равен 1,357), то гипотеза о распределении банков в зависимости от объемов кредитных вложений по закону нормального распределения принимается.

5. Оценка параметров генеральной совокупности на основе выборочных данных.

 

Расхождение между генеральной  и выборочной совокупностями измеряется средней ошибкой выборки, которая рассчитывается следующим образом:

,

где n – число единиц в выборочной совокупности;

N – число единиц в генеральной совокупности.

Среднюю ошибку необходимо знать для того, чтобы определить возможные пределы для средней генеральной совокупности

Суждение о том, что  средняя в генеральной совокупности будет лежать в пределах можно гарантировать не с абсолютной точностью, а с некоторой вероятностью. Для этого рассчитывают предельную ошибку выборки по формуле: ,

где  t – коэффициент доверия, определяемый в зависимости от вероятности по таблицам.

Таким образом, показатели генеральной совокупности для генеральной  средней при заданной вероятности  определяются по показателям выборочной совокупности следующим образом:

Рассчитаем среднюю  ошибку для выборки по объему кредитных  вложений:

(млн.руб.)

Найдем предельную ошибку для выборки по кредитным вложениям, принимая вероятность равной 0,95. По таблице находим коэффициент доверия t, равный 1,96.

(млн.руб.)

Таким образом, границы, в которых с вероятностью 0,95 будет  находиться среднее значение показателя объемов кредитных вложений, принимают  вид:

      (млн.руб.)

      (млн.руб.)

 

 

6. Корреляционно-регрессионный  анализ.

6.1. Отбор факторов в регрессионную модель.

 

Примем в качестве факторного признака объемы кредитных  вложений, а в качестве результативного  – прибыль. Данный выбор обусловлен спецификой банковской деятельности, где прибыль, в том числе, складывается и из процентов, за выданные кредиты.

6.2. Расчет парного коэффициента корреляции. Анализ зависимости между переменными.

 

Парный коэффициент  корреляции можно вычислить по следующей формуле:

,

где n – число единиц в выборочной совокупности;

x_i – значение факторного признака;

y_i – значение результативного признака.

Таблица 7 – Расчет парного коэффициента корреляции для выборочной совокупности.

№ п/п	Название банка	Кредитные вложения, млн. руб. xi	Прибыль, млн. руб. yi	xi2	yi2	xi·yi
1	Нефтехимбанк	252	38	63504	1444	9576
2	Ланта-банк	201	3	40401	9	603
3	Совфинтрейд	276	33	76176	1089	9108
4	Еврофинанс	431	-2	185761	4	-862
5	Уралпромстробанк	73	25	5329	625	1825
6	МАПО-Банк	192	47	36864	2209	9024
7	Тори-Банк	51	15	2601	225	765
8	Петровский	368	9	135424	81	3312
9	Нефтепромбанк	156	31	24336	961	4836
10	Оргбанк	253	8	64009	64	2024
11	Евразия-Центр	68	17	4624	289	1156
12	Гарантия	80	18	6400	324	1440
13	Промрадтехбанк	71	50	5041	2500	3550
14	Металлинвестбанк	207	29	42849	841	6003
15	Прио-Внешторг-банк	103	30	10609	900	3090
16	Камчаткомагропром-банк	66	92	4356	8464	6072
17	Тайдон	249	36	62001	1296	8964
18	Роспромстройбанк	122	43	14884	1849	5246
19	Тагилбанк	108	-9	11664	81	-972
20	Подольск-промкомбанк	70	55	4900	3025	3850
21	Мосстройбанк	64	0,5	4096	0,25	32
22	Волгопромбанк	183	7	33489	49	1281
23	Нижний Новгород	34	6	1156	36	204
24	Ставрополье	185	28	34225	784	5180
25	Колыма-банк	110	20	12100	400	2200
26	Экопромбанк	119	1	14161	1	119
27	Преображение	198	11	39204	121	2178
28	Краснодарбанк	394	15	155236	225	5910
29	МЕНАТЕП Санкт-Петербург	128	14	16384	196	1792
30	Ноябрьск-нефте-комбанк	49	22	2401	484	1078
Итого		4861	692,5	1114185	28576,25	98584

 

Таким образом, парный коэффициент  корреляции будет равен:

Парный коэффициент  корреляции, равный -0,21247, показывает, что связь между факторным признаком, т.е. объемом кредитных вложений, и результативным, т.е. прибылью, обратная (так как коэффициент имеет отрицательное значение), и практически отсутствует (что определилось по шкале количественных характеристик тесноты связи Чеддока – 0,1-03 – слабая корреляционная связь).

6.3. Построение уравнения однофакторной регрессии с использованием метода наименьших квадратов.

 

Определим вид зависимости  между объемом кредитных вложений и размером прибыли, используя графический метод.

 

По графику можно  предположить, что зависимость прибыли  от объема кредитных вложений все больше приближается к уравнению прямой. Следовательно, сумма квадратов отклонений эмпирических точек от теоретических принимает вид:

В этом случае коэффициенты уравнения регрессии рассчитываются по формулам:

 

 

Рассчитаем данные коэффициенты:

 

 

Таким образом, уравнение регрессии принимает  вид:

6.4 Проверка значимости коэффициентов регрессии и коэффициента корреляции.

 

Поскольку анализ взаимосвязей между явлениями проводят в выборочной совокупности, а данные необходимо обобщить на всю генеральную совокупность, то необходимо проверить коэффициенты уравнения регрессии на статистическую значимость.

При объеме выборки меньше или равном 30 единицам значимость коэффициентов уравнения регрессии определяют с помощью t-критерия Стьюдента, который находится по формуле (для коэффициента a):

,

где a – коэффициент уравнения регрессии;

n – число единиц совокупности;

- остаточное среднее квадратическое отклонение, которое отображает вариацию результативного признака (y) от всех прочих, кроме факторного признака (x), которое находится по формуле:

,

где y_i – эмпирические значения результативного признака;

- теоретические значения результативного  признака, найденные по уравнению  регрессии;

n – число единиц в совокупности.

Проверка значимости для коэффициента b осуществляется по формуле: