Исследование функций и построение графиков

§10. Исследование функций и построение  
графиков

1. Возрастание и  убывание функции

 

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция    называется возрастающей (неубывающей) на интервале   если для любых   таких, что    значения функции   и   удовлетворяют неравенству    ¹  ( ).

    Функция    называется убывающей (невозрастающей) на интервале   если для любых   таких, что   значения функции    и   удовлетворяют неравенству   
    ²  ( ).

    Интервалы возрастания и убывания функции  называются интервалами монотонности функции.

    Из  определения возрастающей функции  следует, что если    возрастает на  , то на этом интервале приращение аргумента    и соответствующее ему приращение функции    будут иметь одинаковый знак.

    Действительно, если  ,  то 

⇒  

,

⇒  

.

Если  ,  то 

⇒  

,

⇒  

.

    Аналогично  показывается, что если   убывает на  , то на этом интервале приращение аргумента   и соответствующее ему приращение функции    будут иметь разный знак.

    Справедлива следующая теорема.

    ТЕОРЕМА 1  (необходимое и достаточное условия возрастания (убывания) функции).  Пусть функция    дифференцируема на интервале  . Тогда

1) если  функция    возрастает (убывает) на  ,  то на этом интервале ее производная неотрицательна (неположительна),

т.е.    ,    ( ,  );

2) если производная  на интервале   положительна (отрицательна), т.е.

,    ( ,  ),

то  функция    на   возрастает (убывает).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО³

    1) (Необходимость.)  Пусть     возрастает на  .  Требуется доказать, что ,  .

    Так как    возрастает на  ,  то знак    и соответствующего ему приращения совпадают.

⇒ 

,  ,

(при  условии, что   ).

Но тогда    .

    Аналогично  доказывается, что если    убывает на  , то  ,  .

    2) (Достаточность.)  Пусть   ,  .  Требуется доказать, что    возрастает на  .

    Пусть  ,  .  Рассмотрим разность  .  По теореме Лагранжа, существует точка ,  такая, что

.

⇒  

.

Так как    и   получаем:

,

.

Следовательно,    возрастает на интервале .

    Аналогично  доказывается, что если  ,  ,  то   убывает на  .     ∎

 

2. Экстремумы функции

 

    Пусть функция    определена на множестве  ℝ,  ,  – внутренняя точка   (т.е. существует некоторая окрестность точки , целиком лежащая во множестве  ).

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка    называется точкой максимума функции    если существует такая  -окрестность   точки ,  что ,  .  Значение функции в точке максимума называется максимумом функции.

    Точка    называется точкой минимума функции    если существует такая  -окрестность   точки ,  что ,  .  Значение функции в точке минимума называется минимумом функции.

    Точки минимума и максимума функции  называются ее точками экстремума. Минимумы и максимумы функции называются ее экстремумами.

    Замечания:

     1) Понятия минимум и максимум  функции близки к понятиям  наименьшее и наибольшее значения функции. По сути, они отражают одно свойство функции: они показывают, в каком отношении находятся значение функции в данной точке и значения функции в других точках. Различие в области действия этих понятий. Наибольшее и наименьшее значения – понятия глобального характера (« »), максимум и минимум – понятия локального характера  (« »).  Чтобы подчеркнуть эту взаимосвязь понятий, в некоторой литературе употребляют термины «глобальный максимум (минимум)» вместо наибольшего (наименьшего) значения функции  и  «локальный максимум (минимум)» – вместо максимум (минимум) функции.

    2) В силу локального характера  понятий максимума и минимума, функция может иметь в своей области определения несколько точек максимума и минимума. Причем, некоторые минимумы функции могут быть больше ее максимумов  (см. рис. 1).

    Для функции, дифференцируемой в точке  ,  справедлива следующая теорема.

    ТЕОРЕМА 2 (необходимое условие экстремума, теорема Ферма).  Если  – точка экстремума функции    и – дифференцируема в точке ,  то ее производная в этой точке равна нулю.

     Геометрический  смысл теоремы 2.  Если – точка экстремума функции   и кривая    имеет невертикальную касательную в точке ,  то эта касательная – горизонтальная  (см. рис 2). 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО⁴

    Пусть, для определенности  – точка максимума функции.  Так как – дифференцируема в точке ,  то существуют    и , причем  .

По определению 

,

.

Так как  – точка максимума функции, то    в некоторой окрестности точки  . 

⇒ 

и       при ,

          при   .

Следовательно,    ,

       .

    Итак, получили: 

           , 

и   .

Но это  возможно только при 

.     ∎ 

    Точки, в которых производная функции    равна нулю, называются стационарными точками функции  .

    Очевидно, что не любая стационарная точка  функции является ее точкой экстремума. Например, функция    имеет стационарную точку ,  которая не является ее точкой экстремума.  Для функции, дифференцируемой в точке  ,  справедлива следующая теорема. 

    ТЕОРЕМА 3 (первое достаточное условие экстремума функции). Пусть  – внутренняя точка области определения функции ,  непрерывна в окрестности точки   и дифференцируема в некоторой ее окрестности, за исключением, возможно, самой точки .  Если при переходе через точку  производная функции    меняет знак, то    является точкой экстремума. При этом, если производная меняет знак с плюса на минус, то  – точка максимума, если с минуса на плюс – то – точка минимума.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО⁵

    Пусть, например, при переходе через точку    производная   меняет знак с плюса на минус. 

    По  формуле Лагранжа для любой точки    из некоторой окрестности    точки справедливо равенство

,

где  – некоторая точка, лежащая между   и .  Используя это равенство, определим знак  .  Имеем:

1) если  ,  то  , 

и  ;

2) если  ,  то  , 

и  .

    Таким образом, для любой точки    из некоторой окрестности    точки выполняется неравенство

и, следовательно, точка    является точкой максимума функции .

    Аналогично  доказывается, что если при переходе через точку    производная   меняет знак с минуса на плюс, то точка   является точкой минимума функции  .    ∎ 

    Замечание. Из теоремы 3 следует, что точками экстремума могут быть не только стационарные точки, но и точки, в которых функция не имеет производной (точки разрыва производной).

    Стационарные  точки функции    и точки, в которых производная функции   не существует,  называются критическими точками  I рода (критическими точками по первой производной).

    ПРИМЕР.  Найти экстремумы функции  .

РЕШЕНИЕ

1) Находим  область определение функции:

ℝ.

2) Находим  производную функции  и ее  критические точки:

;

:  ,   ⇒  ,  ;

       :    таких точек нет.

3) Определяем знак  :    
 
 

    Таким образом, 

 – точка минимума функции   ,

 – точка максимума функции  ,

,    . 

    Если  функция      раз дифференцируема в критической точке , то справедлива следующая теорема.

    ТЕОРЕМА  4  (второе достаточное условие экстремума функции).  Пусть  – внутренняя точка области определения функции   и     раз дифференцируема в точке , причем