Контрольная работа по "Статистике"

Задача 1.

Имеются следующие данные о запасах сахара в одной из торговых организаций  области (т):

1.01	32
1.02	35
1.03	37
1.04	38
1.05	40
1.06	48
1.07	46
1.08	45
1.09	40
1.10	35
1.11	34
1.12	33
31.12	30

 

Определить:

1. Средние запасы сахара за каждый месяц года, квартал, полугодие и год.
2. Индексы сезонности на каждый месяц.
3. Уравнение сезонной волны методом гармонического анализа (первая гармоника)
4. Прогноз необходимого запаса сахара на каждый месяц первого полугодия следующего года, используя уравнение сезонной волны.

 

Решение:

Определим:

 

1. Средние запасы сахара за каждый месяц года, квартал, полугодие и год:

Для определения  средних запасов сахара используем формулу средней арифметической простой:

- средние  запасы сахара за каждый месяц  года:

(т.)

(т.)

(т.)

(т.)

(т.)

(т.)

(т.)

(т.)

(т.)

(т.)

(т.)

(т.)

Далее для  расчетов используем формулу средней  хронологической:

- средние  запасы сахара за каждый квартал:

(т.)

(т.)

(т.)

(т.)

 

- средние  запасы сахара за полугодие:

(т.)

(т.)

- средние  запасы сахара за год:

(т.)

 

2. Индексы  сезонности  на каждый месяц:

Применяем формулу  :

Расчеты проведём в таблице 3.    

                                                                                                              

 

Таблица 1

Месяц	Среднемесячные запасы сахара	Индексы  сезонности, %
Январь	33,5	87,01
Февраль	36	93,51
Март	37,5	97,40
Апрель	39	101,30
Май	44	114,29
Июнь	47	122,08
Июль	45,5	118,18
Август	42,5	110,39
Сентябрь	37,5	97,40
Октябрь	34,5	89,61
Ноябрь	33,5	87,01
Декабрь	31,5	81,82

3. Уравнение сезонной волны методом гармонического анализа (первая гармоника):

Модель  сезонной волны имеет вид y_t = a₀ + a₁cost + b₁sint

Параметры уравнения  могу быть найдены по формулам:

;    ;    .

Найдём промежуточные  значения и

 

Таблица 2

Расчет  параметров модели сезонной волны

 

Месяц	y	t	t	cost	sint	уcost	уsint
Январь	33,5	0	0	1,00	0,00	33,5	0
Февраль	36	π/6	0,523599	0,87	0,50	31,32	18
Март	37,5	π/3	1,047198	0,50	0,87	18,75	32,625
Апрель	39	π/2	1,570796	0,00	1,00	0	39
Май	44	2π/3	2,094395	-0,50	0,87	-22	38,28
Июнь	47	5π/6	2,617994	-0,87	0,50	-40,89	23,5
Июль	45,5	π	3,141593	-1,00	0,00	-45,5	0
Август	42,5	7π/6	3,665191	-0,87	-0,50	-36,975	-21,25
Сентябрь	37,5	4π/3	4,18879	-0,50	-0,87	-18,75	-32,625
Октябрь	34,5	3π/2	4,712389	0,00	-1,00	0	-34,5
Ноябрь	33,5	5π/3	5,235988	0,50	-0,87	16,75	-29,145
Декабрь	31,5	11π/6	5,759587	0,87	-0,50	27,405	-15,75
Итого:	462	-	-	-	-	-36,39	18,135

Тогда,

Найдём коэффициенты a₁ и b₁:

=

=

 

Составим  уравнение:

.

 

 

Подставим фактические  значения t в полученную первую гармонику ряда Фурье:

Таблица 3

Месяц	Периоды, t	Yt
Январь	0	32,435
Февраль	0,5236	34,7347
Март	1,0472	38,097075
Апрель	1,5708	41,5225
Май	2,0944	44,162075
Июнь	2,618	45,2878
Июль	3,1416	44,565
Август	3,6652	42,2653
Сентябрь	4,1888	38,902925
Октябрь	4,7124	35,4775
Ноябрь	5,236	32,837925
Декабрь	5,7596	31,7122
Итого:	-	462

 

Построим  график исходных данных и первой гармоники  ряда Фурье:

 

 

 

4. Прогноз необходимого запаса сахара на каждый месяц первого полугодия следующего года, используя уравнение сезонной волны

y_январь = 38,5 -6,065cos(2π) +3,0225(2π) = 32,435

y_{февраль} = 38,5 + 6,065cos(13π/6) – 3,0225sin(13π/6) = 34,759

y_март = 38,5 + 6,065cos(7π/3) – 3,0225sin(7π/3) = 38,085

y_апрель = 38,5 + 6,065cos(15π/6) – 3,0225sin(15π/6) = 41,522

y_май = 38,5 + 6,065cos(8π/3) – 3,0225sin(8π/3) = 44,15

y_июнь = 38,5 + 6,065cos(17π/6) – 3,0225sin(17π/6) = 45,264

 

Вывод:

По полученным расчётам,  необходимые запасы сахара каждый месяц первого полугодия  следующего года будут расти.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2.

Для изучения безработицы была проведена 5% механическая выборка, которая дала следующие  результаты:

Группы безработных по продолжительности  отсутствия работы, (мес.)	Число безработных, чел.
До 3	6
3 – 6	21
6 – 9	70
9 – 12	115
12 – 15	60
15 – 18	21
18 и более	7

 

Определить:

1)  Среднюю  продолжительности отсутствия работы;

2)  Пределы,  в которых можно среднее время  отсутствия работы и долю безработных  более 1 года (с вероятностью 0,954).

Решение:

Для расчета необходимых показателей, перейдём от интервального ряда к  дискретному, определив середину интервала.

Для этого вычислим середины каждого  интервала по формуле:

,  где  - верхняя и нижняя границы интервала соответственно, значения представим в таблице 1.

 

 

Группы безработных по продолжительности  отсутствия работы, (мес.)	fi	xi	хifi	(xi-x)2*fi
0 – 3	6	1,5	9	478,469
3 – 6	21	4,5	94,5	738,463
6 – 9	70	7,5	525	600,943
9 – 12	115	10,5	1207,5	0,5635
12 – 15	60	13,5	810	565,494
15 – 18	21	16,5	346,5	773,743
18 – 21	7	19,5	136,5	575,854
Итого	300	-	3129	3733,53

 

1. Средняя продолжительности отсутствия работы:

  (мес.)

       Следовательно, средняя продолжительности  отсутствия работы составляет 10,43 месяца.

 

2. Пределы, в которых можно среднее время отсутствия работы и долю безработных более 1 года (с вероятностью 0,954):

 

 

 Пределы  для средней:   

или

Предельная  ошибка выборки для средней:                                           

    

  Дисперсия:

             ∑(x_i- )²f_i          3733,53

σ²  =  ————— = —————— = 12,445

                  ∑f_i                   300

 

N = (300*100)/5 = 6000

P = 0,954 → t = 2

 

∆_x =

 

Пределы для  средней:   =  10,43 ± 0,397  или

10,43 – 0,397 10,43 + 0,397

           10,033 10,827

 

Доля безработных  более 1 года:

 W =  (60+21+7)/300 = 0,293 (29,3%)

 

Пределы для  доли:

или

 

Предельная  ошибка для доли:

=

 

Пределы для  доли:

Р = 0,293± 0,051 

0,293 – 0,051 Р 0,293 + 0,051

0,242 Р 0,345

или

24,2% Р 34,5%

 

 

Вывод:

 

Среднее значение продолжительности отсутствия работы по выборочной совокупности будет  равно 10,43 месяца. Доля безработных  более 1 года по выборочной совокупности составит 29,3%.  Средний размер продолжительности  отсутствия работы в генеральной  совокупности колеблется в пределах от 10,033 до 10,827 месяцев, а доля безработных  более 1 года – в пределах от 24,2% до 34,5% с вероятностью 95,4%.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3.

 

Изъятие денег  из денежного обращения области  по месяцам года характеризуется  следующими данными:

Месяц	Базисный год	Отчётный год
Январь	14,3	365,9
Февраль	0	211,5
Март	15,8	307,7
Апрель	2,2	157,4
Май	5	243,0
Июнь	18,1	281,4
Июль	24,8	269,7
Август	91,0	423,6
Сентябрь	79,1	293,1
Октябрь	118	392,8
Ноябрь	123,8	350,7
Декабрь	242,8	377,6
Итого:	734,9	3674,4