Контрольная работа по "Статистике"

Линейная зависимость (y_t=a_o+a₁t) выбирается в тех случаях, когда в исходном временном ряду наблюдается более или менее постоянные абсолютные цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.

Параболическая зависимость (y_t=a_o+a₁t+a₂t²) используется если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют.

Экспоненциальные зависимости (у = ехр/а₀ + а₁t) применяются, если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный прирост (устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста), либо, при отсутствии такого постоянства, - устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста ).

Оценка параметров зависимости  может быть сделана методами избранных точек, наименьших расстояний, наименьших квадратов. В большинстве расчётов используют метод наименьших квадратов, рассматриваемый в курсе математической статистики. По этому методу, например, для нахождения параметров прямой линии необходимо решить следующую систему уравнений:

Для линейной зависимости параметр а₀ обычно интерпретации не имеет, но иногда его рассматривают как обобщённый начальный уровень ряда; а₁ - сила связи, т.е. параметр, показывающий, на сколько изменится результат при изменении времени на единицу.

 

Проведем поиск линейной зависимости  методом наименьших квадратов. Для расчетов построим таблицу

 

Таблица 7.2

Сводная таблица для линейной функции

Месяц	Уфакт	t	t2	У t	Урасч линейн	(Уф - Ур)	(Уф - Ур)2
1	225808	1	1	225808	233296,4615	-7488,4615	56077056,2130
2	238008	2	4	476016	234671,2867	3336,7133	11133655,5577
3	237808	3	9	713424	236046,1119	1761,8881	3104249,7188
4	238808	4	16	955232	237420,9371	1387,0629	1923943,5914
5	241008	5	25	1205040	238795,7622	2212,2378	4893995,9167
6	240808	6	36	1444848	240170,5874	637,4126	406294,8066
7	242208	7	49	1695456	241545,4126	662,5874	439022,0793
8	244308	8	64	1954464	242920,2378	1387,7622	1925884,0286
9	242808	9	81	2185272	244295,0629	-1487,0629	2211356,1788
10	245108	10	100	2451080	245669,8881	-561,8881	315718,2503
11	246508	11	121	2711588	247044,7133	-536,7133	288061,1521
12	247108	12	144	2965296	248419,5385	-1311,5385	1720133,1361
ИТОГО	2890296	78	650	18983524	2890296	0,0000	84439370,6294

 

Такая процедура позволит упростить расчеты при решении системы нормальных уравнений. При данных обозначениях и линейной форме графика у (t) она будет выглядеть следующим образом:

,

где n –– количество точек (уровней) в исходном ряду динамики;

а₀ и а₁ –– коэффициенты регрессии;

y – фактические значения исходного ряда.

Выразим отсюда a0 и a1.

 

==1374,83

=231921,61

 

Найдя значение а₀ и а₁, можно построить уравнение

У(t)=а₀+а₁∙* t

У(t)= 231921,61+1374,83 * t

 

Подставляя сюда значение t_i, получим выровненный ряд динамики и теоретические значения показателя (У_расч).

 

Выводы:

Линейная прогноз для фонда  заработной платы по месяцам описывается  формулой У(t)= 231921,61+1374,83 * t , где t - номер месяца в году, а Y - прогнозируемый размер фонда заработной платы.

 

Задание 8

 

Индексным методом определить влияние  на изменение фонда заработной платы в декабре по сравнению с январем средней заработной платы на одного рабочего и их численности.

Таблица 8.1

Показатели оплаты труда на предприятии  за январь и декабрь

Месяц	Численность рабочих (на конец месяца), чел.	Фонд заработной платы, тыс.руб.	Средняя заработная плата, тыс.руб.
	q	pq	p
Январь	11768	225808	19,19
Декабрь	13558	247108	18,23

 

Индексный метод широко применяется  для анализа роли отдельных факторов в динамике какого-либо сложного явления, изменение которого обусловлено действием нескольких факторов, выступающих как множители совокупного результата. Если, например, величина объёма товарооборота равна произведению количества продажи товаров на их цены, то индекс товарооборота равен произведению индекса физического объёма на индекс цен:

Индексный метод позволяет также  представить абсолютный прирост  стоимости как результат влияния отдельных факторов: изменения цен и количества:

Общее изменение  стоимости равно алгебраической сумме изменений за счет каждого фактора:

Индексной системой часто пользуют для расчета третьего показателя, если известны два других, входящих в систему.

В общем виде, если а = б*с*д*е, то

I_а = I_б * I_с * I_д * I_е

Dа = (б₁– б₀)*с₁*д₁*е₁ + б₀*(с₁ –с₀)*д₁*с₁ +б₀*с₀*(д₁  -д₀)*с₁  +б₀*с₀*д₀(е₁-е₀)

 

Оценим влияние изменения численности и средней заработной платы на изменение фонда заработной платы.

= 18,23*13558-19,19*13558 = -13015,68

=  19,19*13558-19,19*11768 = 34350,1

=-13015,68+34350,1=21334,42

=247108-225808=21300

Проведем расчеты индексов для численности заработной платы, фонда заработной платы и средней заработной платы.

Индекс заработной платы 

Ip = 18,23/19,19=0,95

 

Индекс численности рабочих

Iq = 13558/11768 = 1,1521

 

Тогда индекс изменения фонда заработной платы будет равен

Ipq = 247108/225808=1,0943

Ipq = Ip * Iq = 0,95*1,1521=1,0945

 

Вывод:

За счет изменения средней заработной платы в декабре по сравнению  с январем фонд заработной платы  изменился на -13015,68 тыс.руб. (т.е. в 0,95 раза), а за счет изменения численности на 34350,1 тыс.руб.  т.е. в  1,1521 раза). В общем фонд заработной платы вырос на 21300 тыс.руб. т.е. в 1,0943 раза.

 

 

Задание 9

С помощью корреляционно-регрессионного анализа  изучить связь между  первым и вторым признаками. Для  этого:

а) построить эмпирическую линию  регрессии:

б) оценить тесноту связи между  признаками;

в) найти уравнение связи, график которого представить в той же системе координат, что и эмпирическая линия регрессии.

г) сделать выводы

 

Парная  регрессия характеризует связь  между двумя признаками: результативным и факторным. Аналитическая связь между ними описывается уравнениями:

• прямой у_х = а_о + а₁х

          •         гиперболы

• параболы и т.д.

Определить  тип уравнение можно, исследуя зависимость  графически. Однако существуют более  o6щиe указания, позволяющие выявить уравнение связи, не прибегая к графическому изображению, если результативные и факторные признаки возрастают одинаково, примерно в арифметической прогрессии, то это свидетельствует о том, что связь между ними линейная, а при обратной связи – гиперболическая. Если факторный признак увеличивается в арифметической прогрессии, а результативные - значительно быстрее, то используется параболическая, или степенная регрессия.

Оценка параметров уравнений регрессии  осуществляется методом наименьших квадратов. Сущность этого метода заключается в нахождении параметров модели, при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических значений результативного признака от теоретических.

Системы нормальных уравнений для  нахождения параметров регрессии имеют вид:

- для линейной зависимости 

- гиперболы 

- параболы 

 

Параметр а_о в уравнениях регрессии - постоянная величина и, как правило, экономического смысла не имеет. Другие параметры при х называются коэффициентами регрессии, которые показывают на сколько единиц в среднем изменится у при изменении х на одну единицу.

 

 

Таблица 9.1

Сводная таблица для построения линейной регрессии

	Уфакт	x	x2	У x	Урасч линейн	(Уф - Ур)	(Уф - Ур)2	y2
1	678808	11298	127644804	7669172784	677181,7731	1626,23	2644613,97	460780300864,00
2	679708	11438	130827844	7774500104	678350,5167	1357,48	1842760,92	462002965264,00
3	679808	11438	130827844	7775643904	678350,5167	1457,48	2124257,58	462138916864,00
4	680008	11938	142515844	8117935504	682524,6010	-2516,60	6333280,65	462410880064,00
5	680408	11988	143712144	8156731104	682942,0094	-2534,01	6421203,86	462955046464,00
6	679908	11938	142515844	8116741704	682524,6010	-2616,60	6846600,86	462274888464,00
7	686108	12158	147816964	8341701064	684361,1981	1746,80	3051316,84	470744187664,00
8	686708	12338	152226244	8472603304	685863,8685	844,13	712558,05	471567877264,00
9	686008	12238	149768644	8395365904	685029,0516	978,95	958339,97	470606976064,00
10	686908	12838	164814244	8818524904	690037,9528	-3129,95	9796604,42	471842600464,00
11	685108	12858	165328164	8809118664	690204,9162	-5096,92	25978554,29	469372971664,00
12	700008	13088	171295744	9161704704	692124,9949	7883,01	62141768,77	490011200064,00
	8209496	145556	1769294328	99609743648	8209496	0,00	128851860,18	5616708811168,00

 

Такая процедура позволит упростить  расчеты при решении системы  нормальных уравнений. При данных обозначениях и линейной форме графика у (t) она будет выглядеть следующим образом:

,

где n –– количество точек (уровней) в исходном ряду динамики;

а₀ и а₁ –– коэффициенты регрессии;

y – фактические значения исходного ряда.

Выразим отсюда a0 и a1.

 

==8,3482

=-15992104,96

 

 

Найдя значение а₀ и а₁, можно построить уравнение

У(t)=а₀+а₁∙* x

У(t)= -15992104,96+8,3482 * x

где x - численность рабочих на конец месяца

у - выпуск продукции

 

Количественно зависимость изменения  теоретического значения у_х от изменения х, которую выражают коэффициенты регрессии, часто бывает удобнее выразить в относительных величинах. Для этого исчисляют коэффициент эластичности (Э). Он характеризует на сколько процентов увеличивается у_х при увеличении х на один процент и рассчитывается по формуле:

Для количественной оценки тесноты  связи при линейной форме широко используют линейный коэффициент корреляции:

=

===

==0,818

где n – число наблюдений.

Коэффициент корреляции принимает  значения в интервале от -1 до +1. Принято  считать, что если ½r½<0,3, то связь слабая; при ½r½=(0,3-0,7) - средняя; при ½r½> 0.7 - сильная, или тесная. Когда ½r½= 1 - связь функциональная.

В случае наличия линейной и нелинейной зависимости между двумя признаками для измерения тесноты связи применяют так называемое корреляционное отношение или индекс корреляции (h). Индекс корреляции построен на сравнении разницы двух дисперсий и . -дисперсия, измеряющая отклонения фактических (эмпирических) значений (у) от теоретических (у_х), и характеризует остаточную вариацию, обусловленную прочими факторами, Дисперсия измеряет вариацию, обусловленную фактором х.

 

Индекс корреляции изменяется в  пределах от 0 до 1 и пригоден для  измерения тесноты связи при любой её форме. Более того, выравнивая значения у по разным функциям, можно по величине дисперсии, характеризующей остаточную вариацию судить о том, какая функция в наилучшей степени выравнивает эмпирическую линию связи.

 

 

Вывод: между первым и вторым показателями (Выпуск продукции и Численность рабочих) существует сильная корреляционная связь описываемая уравнением У(t)= -15992104,96+8,3482 * x где x - численность рабочих на конец месяца, у - выпуск продукции. Изменение численности на 81,835% объясняет изменение объема выпуска продукции.