Исследование активных RC-фильтров

 

Учитывая, что  ,      выражение (2.2) примет следующий вид:                               

Умножив  числитель и знаменатель дроби  на сопряженное знаменателю, получим:    

Выражение для АЧХ примет вид:

Выражение для ФЧХ:

      Построение графиков для АЧХ  и ФЧХ передаточной функции  H₂(jω) второго звена производится в том же порядке, как для звена первого:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

                   Рис.2.4 График АЧХ второго звена в линейном масштабе.

 

Рис.2.5 График АЧХ передаточной функции второго звена фильтра в логарифмическом масштабе

 

Рис.2.6 График ФЧХ передаточной функции второго звена

2.3. АЧХ и ФЧХ передаточной функции фильтра.

 

Выражения для комплексной передаточной функции  фильтра получим на основании (1.26), подставив в него :

                                                                                                                      (2.3)

 

 

 

Построим  графики АЧХ и ФЧХ передаточной функции средствами Mathcad.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.7 График H(ω) в линейном масштабе

 

 

Рис. 2.8 График АЧХ передаточной функции фильтра

в логарифмическом  масштабе

 

Выражение для ФЧХ передаточной функции  фильтра:

                                       Ө(ω) = Ө1(ω) + Ө2(ω)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                 

    Рис.2.9 График ФЧХ передаточной функции фильтра.

 

По графикам можно сделать вывод, что АЧХ  и ФЧХ передаточной функции при  каскадном соединении первого и  второго звеньев соответствуют  частотным характеристикам фильтра  высоких частот.

3.Переходная характеристика первого звена фильтра.

Переходной  характеристикой называется реакция  электрической цепи при нулевых  начальных условиях на единичную  ступенчатую функцию.

Расчет  переходной характеристики в операторной  форме произведем по формуле:

                                                  ,                                             (3.1)

где - изображение переходной характеристики по Лапласу.

Для дальнейшего  расчета следует воспользоваться  обратным преобразованием Лапласа.

В Mathcad была получена следующая переходная характеристика, зависящая от времени:

                                             

 

        

  

 

Построим  график h1(t) переходной характеристики.

 

 

 

Рис. 3.1 График переходной характеристики первого звена фильтра.

3.1 Расчёт допустимой величины  ступенчатого воздействия на входе фильтра.

 

Допустимая  величина ступенчатого воздействия  равна:

 

, (3.2)

 

где - заданное ограничение по напряжению на входе второго звена;

– максимальное значение .

Оценим  допустимую величину ступенчатого воздействия  на фильтр, если напряжение на входе  не должно превышать 0.1 В.

В

                                                          

 

 

Допустимая  величина ступенчатого воздействия  на фильтр – U_доп = 0.069 В

        Определим основные характеристики  динамического процесса при действии  на фильтр единичной ступенчатой  функции напряжения.

 Значения  характеристик, полученные по  графику.

а) период свободных колебаний –Т_св = 1.42·10^-3 - 0.25·10^-3 = 1.17·10^-3 с

б) частота  свободных колебаний –ω_св = 2π / Т_св = 5,370·10³Гц

в) затухание  – ∆ = 0.55 / 0.10 = 5.5

г) логарифмический  декремент затухания – ln(∆) = 1.7

 

        Значения характеристик, полученные путём расчёта:

а) период свободных колебаний – 

                           

                              Т₁ = 1.178×10 сек                 

б) частота  свободных колебаний – = Гц

       в) затухание - =  Δ ,      следовательно     Δ = 6.25

 

      г) логарифмический декремент  затухания –  = 1.833

 

Вывод: данные полученные из графика и в результате расчета отличаются незначительно.

Допустимая  величина ступенчатого воздействия  на фильтр U_доп = 0.069 В

4. Исследование устойчивости электрического фильтра.

 

В данной работе анализ устойчивости производится для фильтра и дополнительно  для первого звена.

Устойчивость  фильтра исследуется по расположению корней характеристического полинома или полюсов передаточной функции  цепи на комплексной плоскости. Устойчивость режима работы первого звена следует определить с применением частотного критерия Найквиста.

Рассмотрим  оба подхода к определению  устойчивости  рассматриваемой электрической  цепи. 

 

4.1.Определение устойчивости фильтра по расположению полюсов его передаточной функции.

 

Для определения  полюсов передаточной функции необходимо характеристический полином передаточной функции каждого звена фильтра

 приравнять  к нулю и найти их корни.

Знаменатель передаточной функции первого звена  фильтра (1.14) приравняем к нулю и решим полученное уравнение.

 (4.1)

 

 

 

 

 

 

Знаменатель передаточной функции второго звена  фильтра (1.24) приравняем к нулю и решим полученное уравнение.

 

 (4.2)

         

 

 

 

 

 

 

Все полюса расположены в левой полуплоскости  комплексной плоскости. Следовательно, данная электрическая цепь устойчива. Расположение корней характеристического  полинома  на комплексной плоскости  представлено на рис. 4.1.

 

 

 

 

л

 

 

 

 

 

 

 

                                                  Рис.4.1.

4.2. Критерий устойчивости Найквиста.

 

Найдём  выражение для передаточной функции  по петле обратной связи первого  звена фильтра.

Для определения передаточной функции  разорвем цепь обратной связи на входе  усилителя и замкнем входные  полюса первого звена фильтра. В результате получим схему, приведенную на рис.4.2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.2.

 

Представим  операционные усилители в виде управляемых  источников напряжения и укажем положительное  направление узловых напряжений. В результате  получим расчётную  схему, изображенную на рис. 4.3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.4.3.

4.2.1.Узловые уравнения схемы в общем виде.

Выберем узел №6 в качестве опорного узла. Тогда  В. Составим в комплексной форме узловые уравнения для узлов 1 и 4:

 

      Узел №1:

                                    (4.3)

Узел  №4:

                              (4.4)

Для данной схемы нужно составить два  уравнения связи:

 

            

                          (4.5)

           

                         (4.6)

4.2.2.Расчёт коэффициентов левой части уравнений(4.3) и (4.4):

,  ,  ,  ,  ,

,  , , , .

 4.2.3.Расчёт правой части уравнений:

 

                                                , .

 

 

4.2.4.Уравнения (4.3) – (4.6) с учетом найденных коэффициентов:

                                                           (4.7)

                                                (4.8)

                                                                                 (4.9)

                                                                                   (4.10)

4.2.5.Решение уравнений (4.7)-(4.10).

 

Из уравнения (4.7) выразим и сразу подставим (4.10):

                           ,                           (4.11)

Из уравнения (4.8) выразим . С учетом (4.9) получим:

                        ,                          (4.12)

Уравнение (4.12) подставим в (4.11) и выразим через :

                                (4.13)

В результате решения уравнений найдем комплексную  передаточную функцию по петле обратной связи:

  (4.14)

 

С помощью  среды Mathcad построим годограф по петле обратной связи первого звена фильтра (рис. 4.4.). Исходные данные:

 

 

                                        

            Рис. 4.4.

 

Поскольку годограф не охватывает точку (1; j0), то по критерию Найквиста данная цепь устойчива.

4.3 Расчёт коэффициента усиления на границе устойчивости.

 

Максимум  передаточной функции приходиться  на частоту :

 

               

 

Из этого  следует, что для устойчивости цепи коэффициент усиления должен быть . Если , то система будет находиться на границе устойчивости, при этом частота свободных колебаний будет .

 

Список  используемой литературы